Гиперболоиды—Уравнения

Рассмотрим теперь самый общий случай трех степеней свободы и пусть й — параметр некоторых винтов системы. Если мы прибавим — к параметрам всех винтов системы, то расположение винтовых осей не изменится. Оси же всех тех винтов, параметр которых был равен ш, будут лежать на гиперболоиде, уравнение которого, отнесенное к главным диаметрам, будет вида [c.33]

В последнем случае распределение значений параметра винтов может быть получено из рассмотрения сопряженного гиперболоида, уравнение которого получается переменою знака у последнего члена ). [c.33]

Через точку касания М проходят две действительные ветви кривой I. Например, касательная плоскость 2 (рис. 166) у = а), проведенная к однополостному гиперболоиду вращения Ф (х + у )1а — = 1 в точке iW(0, а, 0), пересекается с последним по кривой второго порядка, распавшейся на две действительные прямые — образующие разных серий, проходящие через точку касания. Их уравнения [c.133]

Это действительно уравнение эллипсоида, так как отрезок 0/( имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль. Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка О расположена на самом отрезке. Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок ОК равен бесконечности. [c.272]

Полученное уравнение является уравнением гиперболоида ера-щения, что соответствует общему представлению о форме сопряженных поверхностей элементов высшей кинематической пары (см. гл. 9). [c.183]

Вводя обозначение г — / tg р, получим уравнение однополостного гиперболоида вращения в системе координат O x y z, начало координат которой сдвинуто относительно точки О на [c.183]

Аналогичным путем можно показать, что подвижным винтовым аксон-дом будет служить также однополостный гиперболоид вращения с осью симметрии О г. Уравнение этого аксоида в осях, связанных с телом, будет иметь вид [c.294]

Геометрически это уравнение определяет поверхность в и-мерном пространстве. Можно сказать более определенно, что оно определяет какую-то поверхность второго порядка для наглядности можно представить себе эллипсоид или гиперболоид в обычном трехмерном пространстве, но не следует забывать при этом о разнице в числе измерений. Следует отметить, что аналитическую геометрию поверхностей второго порядка можно строить с равным успехом при любом числе измерений. Теория таких поверхностей очень важна почти во всех разделах математической физики. Строгое математическое обоснование теории упругости, акустики и волновой механики может быть сформулировано при помощи аналитической геометрии таких поверхностей в пространстве с бесконечно большим числом измерений. [c.179]

Во-первых, если среди винтов, характеризующих возможные перемещения, имеются три винта с нулевым параметром, т. е. три оси простого вращения, то эти последние определяют собою некоторый гиперболоид, и образующие его второй системы будут нулевыми прямыми. Всякая другая ось возможного простого вращения лежит на этом гиперболоиде, так как она встречает все нулевые прямые. Уравнение этой поверхности в нормальных координатах будет иметь вид [c.32]

Пример 31, Определим параметр распределения касательных плоскостей по образующей однополостного гиперболоида вращения. Имеем уравнение поверхности [c.108]

Это геометрическое место, если оно действительное, представляет собой однополостный гиперболоид. Поверхность будет мнимой, если р больше наибольшего или меньше наименьшего из чисел р1, р2, Ра- Для осей винтов, параметр которых равен нулю, геометрическое место описывается уравнением [c.200]

Гиперболоид, на котором лежат оси винтов заданной системы, имеющих параметр р, определяется уравнением (8.17), соответствующий же гиперболоид взаимной системы, согласно выражениям (8.35), будет определяться уравнением [c.208]

Однополостный гиперболоид 257 Однородные уравнения дифференциальные 207 [c.579]

При векторном представлении канонического уравнения уравнение одной из образующих гиперболоида вращения может быть задано в виде [c.423]

Задача о разложении вектора (силы) по шести заданным направлениям может быть решена способом моментов. Для этого за оси моментов принимают линии, пересекающие четыре заданных направления. В этом случае в уравнения равновесия будут входить лишь два усилия, направления которых не пересекаются с выбранной осью моментов. Проводя вторую ось моментов, пересекающую следующие четыре направления, будем иметь второе уравнение с двумя неизвестными. Чтобы провести ось, пересекающую четыре заданных прямых, целесообразно воспользоваться линейчатой поверхностью гиперболоида. Выше было указано, что любая ось, движущаяся по трем заданным прямым, не параллельным одной и той же плоскости, образует гиперболоид. Четвертая прямая из 6 заданных будет пересекать поверхность гиперболоида в двух точках. Очевидно будет и вторая образующая, которая пересечет остальные три прямые. Четвертая прямая в этой системе также пересечет гиперболоид в двух точках. Равенство моментов относительно указанных двух осей дает два линейных уравнения для определения усилий по двум остальным направлениям. Однако решение поставленной задачи этим способом в общем случае довольно сложное. [c.227]

Движение капель за НА. При свободном движении в пустоте и заданной начальной скорости траектории капель были бы прямолинейными. Если допустить, что капли равномерно распределены по всему пространству и что все они выходят из НА с одной и той же скоростью, то при свободном движении их прямолинейные траектории лежат на поверхностях линейчатого гиперболоида вращения. Каждая из этих поверхностей, имеющая при выходе из НА радиус го, пересекается с меридиональной плоскостью по гиперболе, выражаемой уравнением [c.230]

Траектория частиц топлива, вылетающего из вращающегося сопла, представляет собой гиперболоид вращения. Угол образующей асимптотического конуса этого гиперболоида может быть определен из отношения суммы радиальной и тангенциальной составляющих скорости к осевой составляющей. Поэтому тангенс половины угла факела подсчитывается по уравнению [c.171]

Это уравнение семейства однополостных гиперболоидов вращения. Для конкретного течения величину полной скорости Шц и циркуляцию Г. можно считать заданными. Тогда каждой поверхности тока соответствует свое значение постоянной С. [c.263]

Поверхность во втором состоянии поэтому описывается уравнением второй степени и, вероятнее всего, окажется эллипсоидом, а не гиперболоидом либо параболоидом, в силу требования непрерывности деформации и сплошности материала. Материальные прямые, направленные вдоль основных осей эллипсоида, фактически совпадут с главными осями деформации в согласии со сформулированной выше теоремой (2.38). Они, естественно, будут ортогональными не только в начальном, но и в конечном состоянии. Доказательство их ортогональности в начальном состоянии мы оставляем читателю в качестве упражнения (см. упражнения к главе 2, задача № 2.) Решение, довольно пространное и весьма важное, помещено в главе 11. [c.49]

Соответствующие им поверхности называются эллипсоид [уравнение (2)1, однополостный гиперболоид [уравнение (Ъ), двуполостный гиперболоид [уравнение (4)], эллиптический параболоид [уравнение (5)1, гиперболический параболоид [уравнение (6)]. [c.215]

Уравнения (9.11) и (9.13) описывают аксоидные поверхности звеньев I и 2, являющиеся однополостными гиперболоидными поверхностями вращения. В этом легко убедиться. Приняв в этих уравнениях i/i = О и а = получим уравнения гипербол в сечениях, проходящих через оси О г иОага (рис. 9,5, а), а приняв = = 0 и Za = О — уравнения окружностей в горловинах гиперболоидов. [c.90]

Вставляя в уравнение (5.5) корни Я. и считая , ц, t, текущими координатами, будем получать уравнения центральных поверхностей второго порядка при k = ki — уравнение эллипсоида, при % = кг — уравнение однонолостного гиперболоида и при К = %з — уравнение двухполостного гиперболоида. [c.137]

Знаки плюс или минус в уравнении (г) и соответственно в уравнении (ПО) используются в зависимости от того, растягивающим или сжимающим является нормальное напряжение а . Если все три главных напряжения являются напряжениями одного знака, нужен только один из двух знаков, и поверхность (ПО) является эллипсоидом. Если же не все главные напряжения имеют одинаковый знак, то в формуле (ПО) нужно сохранить оба знака. При этом поверхность, представляемая теперь двумя уравнениями (ПО), состоит из сочетания двухполостного гиперболоида с однополостным 1иперОо-лоидом, которые обладают общим асимптотическим конусом. [c.231]

Если для определенности мы положим а > Ь > с, то при X < с уравнение (1) представит вещественный эллипсоид, при Ь > > с оно представит одно-полостный гиперболоид, при а>Х>Ь—двуполостный гиперболоид и, наконец, при X > а — мнимый эллипсоид. Через каждую точку пространства проходят три таких софокусных поверхности. В самом деле, если х, у, 2 рассматривать как заданные величины, то уравнение (1), третьей степени относительно X, будет иметь три вещественных корня, из которых один меньше с, другой заключен между с и й, и третий — между Ь к а. Это можно проверить, подставляя в левую часть уравнения указанные ниже значения X и замечая, что знаки левой части будут определяться следующей таблицей, в которой е — очень малое положительное число [c.454]

Вид поверхности, описываемой этим квадратным уравнением, можно исследовать путем приведения уравнения к каноническому виду. Переносом и поворотом осей координат уравнение (83) приводится к одной из 17 известных канонических форм. Из 17 поверхностей, которые могут быть описаны уравнением (83), допустимыми являются лишь те, которые удовлетворяют следующему основному требованию любая радиальная траектория нагружения должна пересекать поверхность прочности только в одной точке. Таким образом, мнимые поверхности, поверхности, распадающиеся на две части, гиперболоид, гиперболический параболоид и т. д. не могут быть выбраны в качестве поверхностей прочности. Существуют лишь две допустимые поверхности — эллипсоид и, возможно, эллипт 1ческий параболоид (последний случай не совсем обычен, так как здесь для некоторых видов напряженного состояния предел прочности может быть бесконечным) эти поверхности изображены на рис, 2, а и [c.451]

Найдем теперь значение для некоторых случаев. Эта задача относится к движению несжимаемой жидкости. Те исследования, которые мы произвели в 4 семнадцатой лекции относительно течений в несжимаемой жидкости по нормалям к софокусньш эллипсоидам, мы приложим к кубической трубке, сделав предположение, что поверхность сосуда вблизи отверстия и на бесконечно большом от него расстоянии, сравнительно с его размерами, есть однополостный гиперболоид. Составим уравнение этого гиперболоида [c.284]

Второй метод позволяет найти параметрические уравнения, по которым можно вычислить координаты любой точки искомой линии. Для определения линий пересечения поверхностей второго порядка используют проективные свойства пар поверхностей, разбитых на несколько классов 1) параболический цилиндр — поверхность второго порядка 2) двухнолостный гиперболоид — поверхность второго порядка 3) эллипсоид —сфера 4) эллиптический параболоид — сфера 5) двуполостный гиперболоид — сфера. [c.95]

Ось вращения и главная центральная ось инерции ротора в общем случае являются двумя скрещивающимися прямыми, поэтому расстояния между ними в любом перпендикулярном оси вращения сечении будут ординатами гиперболы (поверхность, описанная главной центральной осью инерции около оси вращения, есть однонолостныя гиперболоид вращения). Одно из решений можно построить на уравнении гиперболы. Для практического выполнения более удобно графо-аналитическое решение, которое и рассматривается. В решении используем векторы Ру1 и Руп, определяемые непосредственно на станке. Подставив их в уравнения (8), получим Р = —(Pyi + Руп), М = — Myi Ь Муп). [c.96]

Характеристическое уравнение Х=—7X t36=0 имеет корни Xj = 6, = Хз = — 2. Таким образом каноническое уравнение поверхности имеет вид (двуполостный гиперболоид) [c.209]

Хг 6, Хз = — 2, поверхность — двухпо-лостный гиперболоид каноническое уравнение поверхности [c.257]

Из аналитической геометрии известно, что это уравнение центральной поверхности второго порядка. Поверхность (1.74) и называется тензорной поверхностью. Например, это может быть эллипсоид, одно- либо двухполостный гиперболоид. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...