След и детерминант

Здесь след и детерминант матрицы А соответствуют линейному дифференциальному оператору Л и, кроме того, введено обозначение [c.206]

Q, которые ЯВЛЯЮТСЯ унитарными и детерминант которых равен + 1. Следует подчеркнуть, что эти требования являются независимыми, так как свойство унитарности [формула (4.39)] имеет вид [c.128]

Отсюда следует, что детерминанты рассматриваемых квадратных матриц равны единице, и только три из четырех элементов каждой матрицы независимы [c.190]

Отсюда следует, что детерминанты в числителе и знаменателе дроби (46) имеют одинаковые знаки, а так как А < О, то г < 0. Таким образом, если г есть отрицательное число, определяемое формулой (46), то кривая С является циклом без контакта. Лемма доказана. [c.102]

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Видим, что третье уравнение есть следствие второго. Первое и четвертое уравнения — действительные. Второе уравнение — комплексное. Из него следует (3/8 — —у/а. С помощью этого соотношения преобразуем выражение для детерминанта [c.104]

Следует также подчеркнуть, что эти и последующие выводы, являются следствием развитого выше термодинамического подхода к анализу фазовых переходов второго рода, т. е. вытекают из термодинамической модели. В основе этого подхода в действительности лежит лишь одно условие — требование обращения детерминанта D в нуль для каждой из фаз в точке фазового перехода второго рода. [c.250]

В формулах (3.21) и (3.22) Д и Д ь — детерминант и его алгебраические дополнения согласно следующему обозначению [c.66]

В (3.24) входит детерминант И и его алгебраическое дополнение О , согласно следующему обозначению [c.66]

Если мы положим / равным то первый столбец (31) будет равен нулю и, следовательно, [В, Ф ] = 0. Если же / одно из Ф или то либо (31) имеет два равных столбца и, следовательно, равен нулю, либо (31) является минором матрицы (29) с С7 + 1 строчками и также равен нулю, так как мы предположили, что (29) имеет ранг В. Таким образом, С. П. для В со всеми Ф и % равны нулю. В может исчезать также в сильном смысле, если сомножители элементов первого столбца равны нулю в слабом смысле. В случае, если это имеет место, мы вводим новый детерминант В, столбцы которого, кроме первого, являются любыми В столбцами детерминанта (29), а строчки — (В + 1) строчками (29). То, что мы всегда можем выбрать такой детерминант таким образом, чтобы не все сомножители элементов первого столбца обращались в нуль, следует из предположения, что ранг (29) равен В. Мы получим таким образом В, который является Ф первого класса и линейной [c.712]

В решении (5.10) величина б представляет собой детерминант фундаментальной системы и однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.4). Эта фундаментальная система, как было показано в главе 2, при х = г Р имеет следующий вид [c.165]

Таким образом, для нахождения необходимых и достаточных условий выполнения неравенства (77) в детерминанты (83)—(86) следует подставить ранее полученные выражения (80) и (81), после чего указанные детерминанты развернуть. [c.127]

Система (3.7) порождает класс нестационарных вихревых течений газа. Эти реше ния представляют интерес в следующем соотношении. В газовой динамике опре деленную роль играет класс течений с вырожденным годографом скоростей, когда четырехмерной области определения течения в физическом пространстве Ж2, жз, t соответствует в пространстве щ, U2, щ, в многообразие меньшей размерности. Яс но, что решения (3.9) имеют вырожденный годограф, так как ui и в функционально зависимы. Подсчитывая детерминант [c.175]

Из свойств детерминантов и определения т]у. следует, что [c.142]

Вблизи точки Нееля начинается упорядочение магнитных моментов и значения Ма и Мд не должны обращаться в нуль. Из этого условия следует равенство нулю детерминанта системы [c.255]

Теперь следует воспользоваться граничными условиями для и при X = а ъ уравнениях (12.22), в которых нужно использовать (12.52). Приравнивая детерминант полученных уравнений нулю, можно получить довольно сложное характеристическое уравнение для нахождения условий возбуждения колебаний, которое мы здесь не будем выписывать [5]. Условие поддержания колебаний получается в том случае, когда нагреватель расположен в [c.499]

Продольные и изгибные нормальные волны. Из общего решения задачи следует, что если детерминант Aiu = 0, то вектор смещения материала пластины определяется формулами [c.422]

Очевидно, что эта матрица содержит по крайней мере один детерминант третьего порядка, неравный нулю (например, с правого или левого края), следовательно, это — матрица третьего порядка, и соответствующее число независимых безразмерных произведений равно двум. Они вычислены путем приписывания любым двум показателям степени, например и Хв в обоих случаях, размерных величин подходящих значений, кроме двух нулей — например 1 и О для первого решения и О и 1 для второго. Тогда уравнения принимают следующий вид [c.12]

Следуя Семенченко [20], будем называть В адиабатическим детерминантом устойчивости, а производные (1.6) — адиабатическими коэффициентами устойчивости. Неравенства аналогичные (1.6) можно написать и для изодинамических производных [20] [c.16]

Элементы детерминанта устойчивости и скорость звука. Из равенства (1.8) с учетом конечности производной Uss — Т1с , Uss Ф О, следует конечность производной Ырц = — dp/dv)s на спинодали. Действительно, сделав в [c.252]

С другой стороны, авторам монографии [23] в случае упругого полупространства, так же, как и здесь для клина произвольного угла раствора, при помощи этого метода не удалось найти чисто мнимый корень уравнения D s) = 0, приводящий к особенности г (7 = 3/2 + г0,), обнаруженной для полупространства в статье [22] и для клина в п. 1 этого параграфа. По-видимому, это можно объяснить следующим образом. Поскольку обычно значение в, достаточно велико, а элементы матрицы (20) сильно убывают при Im s — 00, для вычисления детерминанта D s) приходится увеличивать порядок урезанной матрицы и фактически находить предел суммы бесконечно большого числа слагаемых бесконечно малых величин, для чего численный путь может оказаться не самым удачным. Тем не менее можно утверждать, что особенность, соответствующая [c.177]

Условие разрешимости этой системы относительно Л, В есть равенство нулю детерминанта, откуда и следует дисперсионное соотношение [c.186]

Рассмотрим множество положений твердого тела с одной неподвижной точкой, или, что одно и то же, множество всех ортогональных матриц с равным единице детерминантом. Введем здесь следующие обозначения для элементов ортогональной матрицы [c.49]

Так как эти соотношения представляют собой однородные уравнения относительно скобок, в них входяш,их, и детерминант системы не равен нулю, то из (5.4.14) следует, что ф, -ф удовлетворяют условиям Коши—Римана. Преобразование координат, осуш,ествленное выше, называется комформным. [c.75]

Для определения собственных частот колебаний следует решить детерминант (32). Р асчёт упрощается в случае (весьма частом), когда е = 0. Тогда 8 J = 8 з = О, и для частот получают [c.195]

Как мы видим, шпур этой матрицы ипсариаптен относительпо вращения системы координат. Легко показать, что ее детерминант также инвариантен относительно такого преобразования. Оба эти результата следуют и из хорошо известных теорем матричной алгебры. [c.504]

Правая часть этого уравнения численно равна шестикратному объему грехгранной пирамиды, образованной Землей Е и тремя положениями С. Объем этой пирамиды равен нулю лишь в том случае, если три положения С лежат в плоскости, проходящей через четвертую точку Е. Тот же результат выражается проще следующим образом детерминант Д (а поэтому О) равен нулю ли иь в том случае, если три видимые положения С. наблюдаемые из Е, лежат на дуге большого кр.га. [c.201]

Доказательство существования функции F (х, у), обладающей указанными в лемме свойствами, может быть, например, проведено следующим образом. Рассмотрим криволинейную систему координат, введенную в 7, п. 3, гл. V (см. (5.55)). Кривые v = onst являются замкнутыми кривыми, причем, очевидно, кривая W = О — это рассматриваемая замкнутая траектория Lg. В точках траектории L , т. е. при V = 0 и всевозможных и, детерминант [c.445]

Если бы этот детерминант был равен нулю, то не существовало бы обратного оператора В (это следует из правила Крамера) и равенствд (4.41) не имело бы смы< лй- [c.124]

Суммируя намагниченности подрешёток Ма и М ,, можно получить, что магн. восприимчивость X следует (при 7 >7 jv) закону Кюри—Вейса x= /(T—Q), где 6——С (а.- -у)12, т. е, 0<О. Полагая Я—О и нриравыи-вая детерминант системы однородных ур-ний (2) нулю, можно получить выражение д.пя темп-ры перехода Ti = y—a.) 2. Как видно из этих выражений, при а > О абс. значение 0 в АФМ должно быть существенно больше r v- Согласно опытным данным, 6 /7 дгж2- 3. Знаком и величиной 0 АФМ существенно отличаются от ферромагнетиков (ФМ), в к-рых [c.109]

Детерминант этой системы может быть вьфажен через его корни и имеет следующий вид [c.103]

Правая часть неравенства (40) указывает нижнюю границу для ковариационной матрицы ошибок оценивания. Эта граница не зависит от конкретного метода оценивания. Если можно найти оценки параметров, для которых в (40) достигается равенство, ю их можно называть нанлучшимн оценками. Неравенство Рао— Крамера остается справедливым и в более частных формах записи— для следа, детерминанта или максимального собственного значения ковариационной матрицы. [c.356]

Вычисляя детерминанты в обоих частях (7.14) и вспоминая, что det y J( i) = 1, в силу ортонормальности базиса в состоянии мы получим следующее выражение для модуля Но эквивалентного эластомера [c.176]

Для краев трещины, свободных от приложенных напряжений, получаем условия, при которых 090 (напряжение, нормальное к поверхности трещины) и (сдвиговое напряжение на поверхности трещины), когда 0 = 0, или 2л равны нулю. Из этого следует, что в вышеприведенных формулах F (0) = F (2я) == F (0) = = F (2л) = 0. В формуле Уиллиямса для F (0) существует четыре неизвестных постоянных 6,- (Ь , Ь , Ь , Ь ), и граничные условия дают четыре уравнения. Для существования решения детерминант из коэффициентов 6 четырех уравнений должен обращаться в нуль. В общем для V-образного надреза с углом а приравнивание детерминанта нулю приводит к уравнению собственных значений [c.71]

Хотя детерминант системы слишком сложен для оценки в общем виде, можно исследовать в деталях характер его полиномиальной формы (по степеням X) для сравнительно малых значений N и распространить эти результаты на общий случай методом индукции. Кроме того, можно разработать алгоритм поиска членов в определителе,.которые имеют наибольшие и наименьшие степени X. Поступая таким образом для значений X при УУ = I (в этом случае опускаются условия непрерывности на поверхностях раздела) 2, 3 и 4, приходим к следующим результатам 1) в детерминанте встречаются только члены с четными степенями X 2) наименьшая степень X равна 4 3) наибольшая степень X равна 2N -2. Хотя эти результаты не являются aб oлюtнo строгими, противоречащих им данных нет. Кроме того, число корней X согласованно с числом граничных условий на кромках, что обсуждается позднее. Особый случай представляет появление кратных корней для X. Поскольку кратные нулевые корни (т. е. тривиальное решение) всегда существуют, эту часть решения необходимо рассматривать отдельно. Для нее уравнение (80) заменяется полиномом третьей степени относительно . Обозначая функции, соответствующие кратным нулевым корням нижним индексом Но, установим, что для однородной системы дифференциальных уравнений, соответствующей уравнениям (67)—(71), не равные тождественно нулю функции определяются как [c.57]

Если не делать предположения о том, что вязкость и теплопроводность равны нулю и, таким образом рассматривать неизэнтропиче-ское движение газа, то следует решать систему уравнений (12.10). Выполнение граничных условий на стенках трубы приводит к системе уравнений, нетривиальным решением которой служит равенство нулю детерминанта этих уравнений. [c.478]

Аналогично могут быть найдены и другие ветви корней дисперсионного уравнения вблизи корней Следует заметить, что в тринадцатимоментном приближении кроме гидродинамических ветвей (11.33) и (11.34) имеются еще две ветви, получаемые из детерминанта (11.32) [c.207]

Следует отметить, что детерминант этой матрицы симметричен. Оба корня уравнения дают допустимые значения п . Взяв какой-либо один из них, получим решение, в котором отношение 2 можно определить при помош,и любого из уравнений (2). Поэтому найденный таким образом тин колебашш зависит от двух произвольных постоянных, а именно от абсолютной величины одной из амплитуд, например А- , и от начальной фазы е. Второй корень уравнения (3) приводит к другому решению аналогичного характера. [c.65]

Производная dp/dT характеризует наклон спинодали в координатах Т, р, она конечна, как и производная др1дТ)з. Из (9.23), (9.22) следует, что не только Пвз ф О, но и остальные элементы детерминанта устойчивости (1.5) не обращаются в пуль на спинодали, где 0 = 0. Критическая точка по-прежнему требует особого рассмотрения. Отмеченные выше свойства указывают на ненулевое асимптотическое значение скорости звука а на спинодали, поскольку [c.252]

Левые части системы (39) представляют собой тг-периодические функции угла -д. Они могут быть представлены сходяш имися рядами Фурье, а тождественное равенство нулю этих рядов влечет за собой равенство нулю всех в отдельности коэффициентов этих рядов. Таким образом, может быть получена бесконечная система алгебраических уравнений для нахождения восьми неизвестных h, а, п, g, Р, d, 7, с. Такая переопределенная система всегда совместна и имеет единственное решение относительно hi — /г os 2а, h2 — /г sin 2а, п, gi — g- os2 , 7, с. Это следует из доказанной выше теоремы об асимптотической устойчивости отсчетного многообразия, а также из линейности системы (39) по отношению к этим переменным. Для их нахождения из указанной переопределенной системы достаточно взять любые восемь уравнений с отличным от нуля детерминантом. Пользуясь условием, что г много больше /е, эту задачу можно решать приближенно. В частности, в нулевом приближении А = О, г = л/2Ео, и из системы (39) находим [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...