Где наблюдаются хаотические колебания

Первые эксперименты, в которых наблюдались хаотические колебания концентраций реагирующих веществ в реакции Белоусова — Жаботинского, проводимой в поточном реакторе, изложены в (520, 623, 634]. Для объяснения экспериментов Хадсона [c.348]

ГДЕ НАБЛЮДАЮТСЯ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [c.18]

Обратный эффект периодизации хаотических колебаний при гармоническом внешнем воздействии наблюдался в работе [28]. Было обнаружено, что в случае, когда автономный генератор работал в хаотическом режиме (например, при р, = 1,45 7 = = 0,21), а частота внешней силы близка к собственной (ю = 1), при В>Во 1,14 наступала синхронизация, при которой период колебаний совпадал с периодом внешней силы. Области синхронизации для уравнений (5.5) при 7 = 0,3 и ряде значений р, [c.323]

Интересные явления наблюдаются также при взаимодействии двух генераторов хаотических колебаний. В качестве первого примера рассмотрим два связанных генератора, описываемых уравнениями (4.2) с нелинейными функциями (4.18а) и (4.186) [223]. Система уравнений, описывающая взаимодействие таких генераторов, имеет вид [c.330]

Аналогичные эффекты наблюдаются и при взаимодействии генераторов хаотических колебаний, описываемых уравнениями (4.2), [c.331]

При чтении некоторых из этих ранних статей становится ясно, что хаотические колебания наблюдались в прошлом, но в то время для их анализа не было подходящих моделей. [c.80]

В такой цепи наблюдаются квазипериодические колебания, бло- фовки фазы движений, удвоение периода и хаотические колеба-0Я. [c.115]

До сих пор мы обсуждали то, что можно было бы назвать стационарными хаотическими колебаниями. Двумя другими формами непредсказуемых, нерегулярных движений являются перемежаемость и переходный хаос. В случае перемежаемости всплески хаотического движения, или шума, чередуются с периодами регулярного движения (рис. 5.20). Такое поведение наблюдал еще Рей- [c.186]

Удвоение периода Обычно имеется в виду последовательность периодических колебаний, в которой при изменении некоторого параметра происходит удвоение периода. В классической модели бифуркации удвоения периода (половинной частоты) происходят через монотонно уменьшающиеся интервалы управляющего параметра. После прохождения критического значения параметра (точки накопления) возникают хаотические колебания. Такой сценарий перехода к хаосу наблюдался во многих физических системах, но не является единственным маршрутом, ведущим к хаосу. (См. Число Фейгенбаума.) [c.274]

Как видно из (4.9), при хаотическом изменении разности фаз происходит простое сложение интенсивностей, т. е. явление интерференции наблюдаться не будет. Подобные колебания называются некогерентными. [c.70]

Если колебания случайно обрываются или происходит хаотическое изменение их фазы за время усреднения, то на опыте всегда будет наблюдаться сумма интенсивностей I Ij + I2, т.е. от- [c.177]

Важное отличие матового стекла от самосветящегося источника света состоит в следующем фазовые соотношения между световыми колебаниями в разных точках матового стекла нерегулярны, но неизменны во времени. Поэтому зернистая структура освещенности экрана также постоянна во времени. В случае же самосветящегося источника разность фаз колебаний в двух каких-либо точках его поверхности будет быстро изменяться, что приведет, очевидно, к хаотическому движению зерен и исчезновению зернистой структуры при экспонировании в течение достаточно большого интервала времени. Поэтому при использовании самосветящихся объектов в обычных условиях, с инерционными приемниками излучения, мы не наблюдаем зернистой структуры. Можно сказать, что фотографии, полученные с помощью матового стекла, отвечают мгновенному распределению освещенности, возникающей в случае самосветящихся источников. [c.110]

Молекулярная структура в твердом теле определяется сильным взаимодействием между молекулами, приводящим к колебаниям их около неподвижных центров, совпадающих с равновесными положениями молекул под действием силовых полей, образованных системой молекул. Эти неподвижные в пространстве положения равновесия являются устойчивыми. Они могут образовывать правильную, периодическую систему, что соответствует кристаллической решетке, свойственной микроструктуре кристаллических твердых тел, либо хаотически разбросаны в случае аморфного их состояния. В последнем случае из-за потери устойчивости возникает тенденция к переходу аморфной структуры в кристаллическую. Однако продолжительность этого перехода оказывается настолько значительной, что фактически наблюдаются как кристаллические, так и аморфные состояния твёрдых тел. Характерные свойства молекулярной (атомной) структуры твердого тела сохраняются по всей его протяженности, что позволяет говорить о наличии в этой структуре как ближнего, так и дальнего порядков. [c.12]

До сих пор мы рассматривали внешние воздействия, входящие в уравнения движения аддитивно (внешние силы). При параметрических внешних воздействиях на нелинейные осцилляторы наблюдаются не менее интересные эффекты. Возможные наборы бифуркаций и хаотических режимов для таких осцилляторов описаны в 4 главы 7 (в основном по материалам работ [60, 62—67]). Здесь мы остановимся на результатах других работ и обратим особое внимание на качественные стороны поведения системы и спектральные характеристики колебаний. Уравнение физического маятника с колеблющейся осью подвеса имеет вид [c.276]

Переход от периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров в случае а может происходить как путем бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, так и жестким образом [54, 222, 392]. Первый тип перехода наблюдался, например, при 26 = 1,1 А = 1,73 а = соо = = 1 7 = = 0,27 и увеличении параметра g. Получилась следующая последовательность бифуркационных значений g = 15,66 24,07 25,50 25,80 25,86), которая приводит к следующей последова- [c.296]

В случае б вид аттрактора и характер точечного отображения существенно отличаются от случая а (рис. 9.38). Зависимость х от X, построенная нэ основе точечного отображения на секущей плоскости х = —0,13 (рис. 9.38,6) по форме близка к параболе (рис. 9.38, в). Переход от периодического режима к хаотическому при изменении параметров наблюдался только путем бифуркаций удвоения периода. По сравнению со случаем а спектр колебаний в режиме хаоса является более узким, а корреляционная функция спадает медленнее (рис. 9.39). [c.300]

Это, конечно, не так. Достаточно вспомнить знаменитую работу Ферми, Паста и Улама [127], в которой фактически наблюдалось и хаотическое движение (см. рис. 5—7), хотя основное внимание авторов было привлечено к регулярным колебаниям в многомерной нелинейной системе. Хаотический аспект этой задачи исследовался позднее во многих работах (см., например, [135, 20%]).— Прим. ред. [c.348]

Первоначальная картина возникновения турбулентности, предложенная Ландау, была основана на представлении об иерархии неустойчивостей. При увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все новые и новые независимые частоты движения СО1, со2, СО3. . . . При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена схематически в табл. 7.2. [c.479]

В другом исследовании вынужденных поверхностных волн наблюдался цилиндрический объем воды радиусом 6,35 см и глубиной около 1 см [22]. Для изучения областей периодического и хаотического изменения высоты волн также использовалось возбуждение громкоговорителем. Например, хаотическое волновое движение было получено при частоте возбуждения около 16 Гц и амплитуде вертикальных возбуждающих колебаний около 0,15 мм. Авторы этой работы попытались объяснить свои результаты в рамках теории нелинейного взаимодействия двух линейных пространственных мод. Теоретический анализ этой задачи проведен Холмсом [78]. [c.124]

Как и в п. 2, можно осуществить инерционное наблюдение также непосредственно глазом, если наблюдать колебания с более быстрой хаотической модуляцией. [c.453]

Излагается новый бурно развивающийся раздел теории нелинейных колебаний — стохастические и хаотические автоколебания в динамических системах. Исследование этих проблем весьма актуально для многих областей пауки, позволяет по-новому взглянуть на известные явления, например турбулентность в жидкости, газе и плазме, предсказывать возможность слож-1ГОГО поведения конкретных систем разной природы. В книге приведено множество примеров механических, физических, химических и биологических систем, в которых наблюдаются стохастические и хаотические колебания. [c.2]

Примером хаоса в автономной механической системе являются колебания (флаттер), вызванные течением жидкости иад упругой пластиной. Это явление известно как флаттер пластины более подробное обсуждение механики этой системы можно найти в книге [28]. Такие колебания наблюдались во время первых полетов во внешних оболочках ракетоносителей Сатурн , которые доставили человека на Луну в начале семидесятых годов. В работах Кобаяши [93] и Фунга [39], опубликованных до этих полетов, были обнаружены непериодические движения. В одной серии задач, рассмотренных ими, анализировалось совместное действие сжатия в плоскости пластины и течения жидкости. Более поздние численные результаты показаны на рис. 3.12, где видны устойчивые траектории в фазовом пространстве при одних параметрах потока жидкости и сжимающей нагрузки и хаотические колебания при других условиях [c.91]

Ряд экспериментальных исследований хаотических колебаний был проведен на нелинейных цепях (см., например, гл. 3). Один из таких экспериментов был поставлен на И С-цепи с диодом. На рис. 3.7 показаны области субгармонических и хаотических режимов на плоскости вынуждающее напряжение — частота [92]. В этом примере области удвоения периода предшествуют хаотическим движениям. Однако внутри заштрихованной области хаотического режима наблюдалась субгармоника с периодом 5. Периодические островки в хаотических областях характерны для многих экспериментов по хаотическим колебаниям (см., например, аналогичное исследование Буко и др. [191, а также рис. 3.33). [c.168]

Ландауэр построил эту игрушку по воспоминаниям об аналогичном упражнении, которое ему довелось выполнять в 1945 г. на курсах по подготовке технических специалистов среднего звена по электронике для ВМС США. Это еще раз подтверждает высказанную мною гипотезу о том, что хаотические колебания наблюдались и в прошлом, но как своего рода курьез, так как не было теоретических основ для их серьезного изучения. [c.295]

В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В частности, проведен анализ простой модели — одномерного ансамбля не взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так, что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т. При некотором номере ] элемента режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний. Если каждый из элементов — автогенераторов — находился в режиме стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается развитие хаоса — интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре уменьшаются выбросы (спектр сглаживается ). В цепочке описанных автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный переход к хаосу через квазипериодичность сначала наблюдался квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим числом гармоник при дальнейшем движении вниз по потоку этот режим переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность колебаний возрастала, но при достаточно больших j она уже не изменялась — устанавливался режим пространственно однородного хаоса. [c.527]

Для понимания интерференции и дифракции электромагнитной волны вводятся квааимонохроматические волны ("хаотически модулированные колебания" ). При введении этих понятий законы возникновения и распространения электромагнитных волн дополняют условиями обрыва колебаний оптических электронов в атоме и другими причинами, onpeдeляюn ими время когерентности. В рамках этой схемы обосновывается когерентность колебаний для точечных источников свети в пределах одного цуга волн, а затем выявляются условия пространственной когерентности, при которых может наблюдаться стационарная интерференционная картина от реальных источников. [c.7]

Характер теплового движения молекул в жидкостях сложнее, чем в твердых телах. Согласно упрощенной, но, по-видимому, качественно верной модели, тепловые движения молекул жидкости представляют нерегулярные колебания относительно некоторых центров. Кинетическая энергия колебаний отдельных молекул в какие-то моменты может оказаться достаточной для иреодоления межмолекулярных связей. Тогда эти молекулы получают возможность скачком перейти в окружение других молекул, тем самым поменяв центр колебаний. Таким образом, каждая молекула некоторое время называемое временш оседлой жизни , находится в упорядоченном строю с несколькими ближайшими соседками . Совершив перескок, молекула жидкости оказывается среди новых молекул, выстроенных уже другим образом. Поэтому в жидкости наблюдается только ближний порядок в расположении молекул. Скачки молекул совершаются хаотически, новое место никак не предопределено прежним. Непрерывно и в большом количестве совершающиеся скачкообразные переходы молекул с места на место обеспечивают диффузию молекул и текучесть жидкостей. Если на границе жидкости приложена сдвигающая сила, то, как и в газах, появляется преимущественная направленность скачков и возникает течение жидкости в направлении силы. [c.11]

Более детальные исследования проведены Роуксом и Суинни с сотрудниками 105, 616, 617, 652, 656, 667]. При определенных значениях скорости потока ими наблюдался переход от периодических колебаний концентраций (рис. 9.91, а) к хаотическим (рис. 9.91,6). Здесь слева показаны колебания потенциала бромид-ионов, в середине — соответствующие спектральные плотности, а справа—двумерные аттракторы в координатах B t ) и 5(4+т), построенные по алгоритму Паккарда — Такенса. Отметим, что вид двумерного аттрактора существенно зависит от времени задатки т. Его деформация при изменении т для случаев, показанных на рис. 9.91, а и б, представлена на рис. 9.92 и 9.93 соответственно. На основе трехмерного аттрактора в координатах B tt), n(i,+ т), B ti+2x), проекция которого изображена на рис. 9.94, а, в [652] построено точечное отображение на секущей плоскости, перпендикулярной рис. 9.94, а и проходящей через штриховую линию- (рнс. 9.94, б). Поскольку все точки отображения расположены на одной прямой, оно является одномер- [c.348]

Следует заметить, что в некоторых физических системах при разных значениях параметров можно наблюдать все три типа предхаотических колебаний и даже больше. Преимущество отождествления конкретной структуры предхаотического движения с одной из этих классических моделей заключается в том, что каждая из них подробно исследована математически, а это может помочь лучше понять изучаемое хаотическое физическое явление. [c.69]

Экспериментальные исследования тепловой конвекции Р> лея—Бенара в замкнутом объеме обнаружили, что предвестниками хаотического состояния являются последовательности удвоения периода. Эти эксперименты проводились с гелием, водой и ртутью для широкого диапазона значений безразмерных чисел Прандтля и Рэлея. Бремя проведения этих опытов приходится на конец 70-х годов. Например, Либхабер и Маурер [108] наблюдали колебания с удвоением периода при конвекции гелия. Ряд экспериментальных статей опубликовала группа из Французской национальной лабора- [c.118]

Хаотическое биение сердца. Гласс и др. [40] поставили эксперименты по динамике спонтанных биений групп клеток из сердца эмбрионов цыплят. В отсутствие стороннего стимулирования период этих колебаний заключен между 0,4 и 1,3 с. Однако, когда в эти группы клеток с помощью микроэлектродов посылались периодические импульсы тока, наблюдались захват мод, квазипериодичность и хаотические движения. [c.125]

Полагаяг = ш/ и вводя дополнительное уравнениег = ш, их можно записать в виде автономной системы третьего порядка.) Множитель 1/2 делает собственную частоту малых колебаний в каждой потенциальной яме равной единице. Критерий хаоса при фиксированном коэффициенте затухания Ь = 0,15 и переменных/, ш был рассмотрен нами в гл. 5. Областью, представляющей интерес для исследования, является ш = 0,8 0,1 периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотического режима при / = 0,3. Имеется и другая интересная область б = 0,15 и = 0,3 и / > 0,2. Во всех исследованиях мы настоятельно рекомендуем читателю пользоваться отображением Пуанкаре. При использовании персонального компьютера высокой скорости обработки информации можно достичь за счет специальных ухищрений при составлении программы (см. рис. 5.3). [c.281]

Некоторые колебательные реакции чувствительны к свету (фотохимия). Под вoздeй твиe i света в них могут наблюдаться либо периодические концентрационные колебания, либо хаотические состояния. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...