ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сдвиги на торах из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Этн упражнения представляют пример класса систем, называемых одометрами. Мы вновь встретимся с ними в 15.4. [c.43] Замечание. Можно доказать это утверждение чисто алгебраически, используя классификацию всех замкнутых подгрупп Т и проводя индукцию по размерности. Мы предпочитаем аналитический подход, который предвосхищает некоторые весьма полезные методы, используемые в анализе гладких динамических систем. Этот подход будет разрабатываться далее в 4.2. [c.44] Прежде чем перейти к доказательству этого предложения, установим некоторые общие критерии топологической транзитивности. [c.44] Лемма 1.4.2. Пусть f X— X —непрерывное отображение локально компактного сепарабельного метрического пространства X в себя. Отображение f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств ЦУсХ существует такое целое число N = N U,V), что пересечение f U) П V непусто. [c.44] Доказательство. Пусть отображение / топологически транзитивно, т. е. орбита некоторого элемента ж 6 X плотна. Тогда, в частности, эта орбита пересекает и Ц к V, поэтому / (ж) е U, f (х) 6 V, где для определенности т п. Следовательно, множество f U)nV непусто (напомним, что f 4A) = ж 6 Х /(ж) е А ). [c.44] Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44] Следствие 1.4.4. Если отображение f X- X топологически транзитивно, то не существует непостоянной f-инвариантной непрерывной функции ip X Ж. [c.45] Чтобы доказать обратное утверждение, достаточно показать, что рациональная независимость величин 1,7 .7 влечет топологическую транзитивность 2 . Отсюда в силу предложения 1.3.4 следует минимальность сдвига Xf. [c.45] Вернуться к основной статье