Центробежные моменты инерции. Главные оси инерции тела

Обозначим моменты центробежных сил относительно главных осей инерции тела через L, М, N, тогда [c.225]

Если в качестве координатных осей взять главные оси инерции тела для точки О, то все центробежные моменты инерции обратятся в нули и тогда [c.341]

Центробежные моменты инерции твердого тела относительно любых осей, проходящих через заданную точку О, можно определить, если известны направления его главных центральных осей инерции и моменты инерции тела относительно этих осей. Рассмотрим три случая вычисления центробежных моментов инерции твердого тела относительно осей, различным образом расположенных относительно главных центральных осей инерции. [c.106]

Если оси X, у, г являются неподвижными, то осевые и центробежные моменты инерции твердого тела переменны. Если оси х, у и 2 жестко связаны с движущимся твердым телом, то его осевые и центробежные моменты инерции постоянны. В случае, когда оси х, у, г являются главными осями инерции твердого тела в неподвижной точке, т. е. при = 7 , = О, формулы принимают вид [c.523]

Такие оси называют главными осями инерции тела в данной точке. Относительно этих осей центробежные моменты равны нулю и формула (122,23) приобретает простейший вид, [c.174]

Выберем систему координат 0 т1 , жестко связанную с телом, оси которой расположены по главным осям инерции тела. Тогда моменты инерции, через которые выражаются проекции Ко, будут постоянны и центробежные моменты инерции будут отсутствовать, что упрощает уравнения. Так как в расчетной системе координат положение наблюдателя не изменяется, то динамические члены уравнений остаются неизменными, но кинематические члены приобретают другой вид. Именно, уравнению (124.32), опираясь на теорему Резаля, следует придать вид [c.180]

Таким образом, если какая-либо координатная ось является главной осью инерции тела в точке, то центробежные моменты инерции. содержаш,ие координату по этой оси, равны нулю. [c.250]

За подвижные оси координат примем главные оси инерции тела для его неподвижной точки О. Тогда по отношению к таким осям координат все центробежные моменты инерции тождественно равны нулям [c.450]

Если со о, то система приведется к равнодействующей лишь тогда, если ось t, является главной осью инерции тела. Если центробежные моменты инерции и не равны нулю, то система сил приводится к силовому винту. [c.409]

Если за подвижные оси выбрать главные оси инерции тела в точке О, то, как известно, центробежные моменты инерции обратятся в нули и, следовательно, кинетические моменты относительно главных осей инерции определятся по формулам [c.698]

Необобщенные уравнения Эйлера относятся к осям координат, связанным с телом Т, для которых со = 2, и следовательно сОх = 2х со = Йу и со = Если при этом выбрать положение осей х, у, гв теле Т таким образом, чтобы они стали главными осями инерции тела Т, для которых центробежные моменты инерции равны нулю, то вводя обозначения [c.39]

Равенства (11) выражают условия того, что ось Oz является главной осью инерции тела для точки О (начала координат). Аналогично, если J y — Q, у 2 = 0, то ось Ох будет для точки О главной осью инерции и т. д. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е. [c.340]

Для каждой точки тела существует прямоугольная координатная система, для которой три центробежных момента инерции J y, Jy и равны нулю эти три оси называются главными осями, а соответ-ств ющие им моменты инерции — главными моментами инерции, которые обычно обозначаются через А, В и С (Л>Л>С). Момент инерции Jj для оси, образующей углы а, 8, y с главными осями инерции, равен [c.267]

Условия (9.1) и (9.2) будут удовлетворены только тогда, когда центр масс тела будет лежать на оси вращения, являющейся одной из его главных осей инерции. Если одновременно удовлетворяются равенства (9.1) и (9.2), то центробежный момент инерции относительно оси вращения и любой плоскости, перпендикулярной к оси вращения, равен нулю. Тело считается уравновешенным статически, если выполняется только условие (9.1), и уравновешенным динамически, если выполняется только условие (9.2), т. е. когда тело вращается вокруг одной из главных осей инерции, но эта ось не является главной центральной осью инерции. [c.163]

Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные оси Охуг, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются (см. 105, 132). С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел (см. 136), о центре удара (см. 157) и др. [c.271]

Так как оси х, у, г являются главными центральными осями инерции тела, то все центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю [c.108]

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции Jy и тела. = О, так как ось. х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела Q, является главной осью инерции в точке А. [c.265]

Следовательно, кинетическая энергия тела с неподвижной точкой в общем случае не равна сумме кинетических энергий трех вращений, происходящих относительно трех связанных с телом осей с угловыми скоростями, равными проекциям угловой скорости тела на эти оси. Такое простое соотношение получается лишь в том исключительном случае, когда оси, связанные с телом, совпадают с главными осями инерции для неподвижной точки. При любом ином выборе связанных осей необходимо учитывать еще дополнительные члены, обусловленные центробежными моментами инерции и выписанные в формуле (42). [c.186]

В том и только в том случае, когда оси, связанные с телом, направлены по главным осям инерции для неподвижной точки, центробежные моменты равны нулю и формулы (46) превращаются в обычные соотношения [c.187]

Если оси хну, проходящие через точку О, не являются осями эллипсоида, то ф О, т. е. если только одна из осей будет главной осью инерции в данной точке твердого тела, то в нуль обращаются лишь два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции например, если д — глав- [c.245]

ОСИ, которая И явится главной осью инерции. При наличии в твердом теле плоскости материальной симметрии надо одну из координатных осей направить перпендикулярно к плоскости материальной симметрии. Эта координатная ось является главной осью инерции твердого тела в точке пересечения с плоскостью материальной симметрии. При наличии главной оси инерции в данной точке твердого тела два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции, обращаются в нуль, и остается вычислить только третий центробежный момент инерции, не равный нулю. Так, если вдоль главной оси инерции направлена ось г, то = = 0 [c.246]

Иногда при вычислении центробежного момента инерции, например бывает удобно осуществить поворот координатных осей х и у. Этим приемом целесообразно пользоваться в тех случаях, когда повернутые оси и Jl] оказываются главными и осевые моменты инерции твердого тела относительно них, т. е. и 7,, известны, так как тогда искомый центробежный момент инерции оказывается функцией величин /д и /у . [c.246]

Центробежные моменты инерции тела относительно главных осей инерции в данной точке, таким образом, равны нулю. [c.250]

Верно II обратное положение если два центробежных момента инерции тела равны нулю, то одна из координатных осей является главной осью инерции тела в данной точке, в частности та, координаты по которой входят в выражение этих центробежных моментов инерции. Так, при J= О ось Ог — главная ось инерции тела в данной точке. [c.251]

Два центробежных момента инерции тела, содержащих координату 2, равняются нулю, отсюда ось Ог — главная ось инерции тела для точки О. Точка О — любая точка оси Ог и теорема, таким образом, доказана. [c.252]

Центр масс тела С принимаем за начало координат. Оси координат направляем по главным центральным осям инерции тела. Все три центробежных момента инерции равны нулю [c.252]

Для выражения центробежных моментов инерции через главные моменты инерции используем формулы преобразования координат точек тела при повороте осей координат вокруг точки О (рис. 36). Эти формулы получим проецированием на оси Охуг радиус-вектора точки М , разложенного предварительно на составляющие, параллельные осям двух систем осей координат в точке О. Имеем [c.278]

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (И), видим, что все центробежные моменты инерции в системе осей Ox y z обратились в нуль. Этим доказывается существование в каждой точке твердого тела трех взаимно перпендикулярных главных осей инерции они совпадают по направлению с осями эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции /ь /2, /з представляют собой главные моменты инерции. [c.286]

Докажем, что если какая-либо из осей, проведенных через данную точку тела, является главной осью инерции, то будут равны нулю те центробежные моменты инерции, в которые входит соответствующая этой оси координата. [c.563]

Пусть оси X, у, 2 являются главными центральными осями инерции тела (рис. 334). Возьмем на оси г точку О, лежащую на расстоянии к от центра масс С тела. Так как оси х, у, г являются главными осями инерции тела, то все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е. [c.565]

Распорядимся сдвигом фаз б так, чтобы при б = бо оси Xi, у1, Z, связанные с твердым телом Т, были главными осями инерции, для которых центробежные моменты инер- [c.25]

Главными центральными осями инерции тела (звена) называются три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в таких направлениях, что центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю. [c.58]

Этот момент зависит, таким образом, от момента инерции относительно оси Ог и от центробежных моментов инерции тела относительно осей Ох и Оу. Его выражение упрощается, если Ог есть главная ось инерции для точки О, так как оба центробежных момента инерции обращаются в этом случае в нуль и остается [c.62]

Резюме. Уравнения Эйлера, описывающие величину изменения вектора угловой скорости вращения твердого тела относительно осей координат, жестко связанных с телом и направленных вдоль его главных осей инерции, могут быть интерпретированы как условия обращения в нуль результирующего момента сил следующих трех категорий сил Эйлера, центробежных сил и внешних сил. [c.130]

По диаграмме Мора можно таким образом определить моменты инерции относительно всех осей, которые лежат в одной координатной плоскости (в дан ном случае з плоскости х, у), и центробежные моменты относительно всех пар взаимно-перпендикулярных плоскостей, линии пересечения которых совпадают с одной из осей координат (в данном случае с осью z). Из фиг. 73 следует, что существует два главных направления оси х, при которых момент инерции достигает экстремальных значений. При этом соответствующие центробежные моменты равны нулю. Однако следует учесть, что в данном случае ось х не будет главной осью инерции тела, если одновременно с этим линия пересечения взаимно-перпендикулярных плоскостей (в данном случае ось г) не является главной осью инерции. Для того чтобы какая-либо ось, например г, была главной осью инерции, необходимо, чтобы одновременно центробежные моменты равнялись нулю. И, наоборот, если известна одна из главных осей, то можно при помощи кругов Мора по двум известным моментам инерции относительно двух взаимно-перпендикулярных осей и одновременно перпендикулярных к главной оси и по центробежному моменту относительно этих осей определить две другие главные оси и величины главных моментов инерции. [c.171]

Остановимся на условиях (13.31) несколько подробнее. Условие лгс = О, г/с = О означает, что центр масс тела находится на оси вращения. Если оно выполнено, то говорят, что тело статически уравновешено. Как видно из приведенного анализа, для уничтожения динамических реакций одной статической уравновешенности тела недостаточно. Необходимо, кроме того, чтобы центробежные моменты инерции относительно оси вращения равнялись нулю хг = 0, / /г = 0). Тзким образом, для того чтобы при вращении тела вокруг неподвижной оси не возникали добавочные динамические реакции, необходимо и достаточно, чтобы ось вращения была главной центральной осью инерции. [c.304]

При изучении движения твердого тела около неподвижной точки мы будем пользоваться подвижной системой осей координат. Такой метод изучения был впервые применен Л. Эйлером, и он имеет следующие преимущества осевые и центробежные моменты инерции относительно подвижных осей являются величинами постоянными, и мы сможем их определять обычными приемами интегрального исчисления не ограничивая общности решения, подвижные оси координат можно выбрать так, чтобы они совпадали с главными осями инерции для точки О, Соотношения (2) и (5) существенно упрощаются, так как для главных оссй инерции центробежные моменты инерции будут равны нулю. [c.435]

Если подвижные оси являются главными осями инерции тела для неподвижной точки, то центробежные моменты инерции обращаются в нуль, Jxy-Jxг yz формулы оказывэются простыми [c.190]

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси г характеризуется обращением в нуль двух центробежных моментов инерции и Jy . Ось Ог, для которой центробежные моменты инерции Jxz, Jijz, содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, на-зьюается главной осью инерции тела для точки О. [c.270]

Для вычисления центробежного момента инерции, в качестве системы вспомогательных осей координат возьмем главные центральные оси инерции цилиндра Сх у г (оси его симметрии). Систему осей координат Сх у г можно получить из системы Сху1х2х, путем поворота ее на угол а вокруг оси Сх , совпадающей с осью Сх . Формулы преобразования координат любой точки тела при повороте осей (рис. 266) в случае произвольного тела можно выразить в форме [c.356]

Динамической уравновешенностью называется случай обращения в нуль динамическй) реакций. Динамическре реакции обратятся в нуль, как следует из (29), если р вны нулю центробежные моменты инерции -f XI и /.1/21 I- S донолнительно к статической уравновешенности ось вращения Ог дол>Ир Й быть главной осью инерции для любой точки О этой оси. Так как центр масс в этом случае расположен на этой оси, то ось вращения при динамической урсшйозешеннасти является главной центральной осью инерции. При вращении тела вокруг главной центральной оси инерции динамические реакции обращаются в нуль. Следовательно, силы инерции точек тела, со.здающие динамические реакции, в этом случае образуют равновесную систему сил. Главный вектор и моменты сил инерции и равны нулю. Момент сил инерции при этом может быть отличным от нуля. [c.364]

Центробежнью моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. 2. Когда оси, связанные с телом, направлены по главным осям инерции для неподвижной точки, центробежные моменты инерции равны нулю. [c.99]

Доказательство. Допустим, что ось Ог является осью симметрии однородного тела (рис. 14). Найдем центробежные моменты инерции Дг и 7,, и докажем, что они равны пулю. Как известно, равенство нулю этих моментов ннерцнн является необходимым и достаточным условием, чтобы ось 02 являлась главной осью иыерцип. [c.84]

Эти главные моменты зaви ятJ таким образом, от центробежных моментов инерции тела относительно осей координат Ох и Оу. Если ось г есть главная ось инерции для центра О, то эти два центробежных момента инерции равны нулю и главные моменты центробежных сил относительно трех осей обращаются в нуль. Таким образом, центробежные силы имеют равнодействующую, проходящую через точку О. Отсюда получаем следующую теорему [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...