Главные оси симметричного тензора. Главные инварианты

IV. 7. Главные оси симметричного тензора. Главные инварианты. Основываясь на инвариантном определении п. 1.9 главных направлений тензора [c.876]

Симметричные тензоры с одинаковыми главными инвариантами называются подобными такие тензоры переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием (см. (5)а). Обратно, если два симметричных тензора переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием, то их главные инварианты совпадают, так что они подобны. Следовательно, левый и правый тензоры Коши — Грина подобны.—Прим. ред. [c.102]

Обозначим через в2, три корня уравнения (8) и упорядочим их таким способом, чтобы > 2 > е . В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (Ю) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат Хг. Коэффициенты являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (Ю) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни [c.25]

Три определенных выше инварианта, называемых в совокупности главными инвариантами, чрезвычайно важны из-за следующей теоремы представления симметричных тензоров. [c.29]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Заметим, что главные компоненты р симметричного тензора напряжений известным образом выражаются через инварианты тензора напряжений. Поэтому, если потребуется, можно составить уравнение поверхности текучести, соответствующей условию пластичности Треска, и в шестимерном пространстве Оно будет иметь достаточно сложный вид. [c.455]

Ряд особенностей симметричных тензоров второго ранга рассматривается на примере тензора напряжений в гл. V тензорный эллипсоид, главные оси, главные значения, инварианты тензора). [c.774]

Инварианты симметричного тензора второго ранга. Уравнение (1.82) инвариантно относительно выбора системы координат. Следовательно, его коэффициенты /i, /3, /3 составленные из смешанных компонент тензора, инвариантны. Они называются инвариантами симметричного тензора второго ранга. Первый, или линейный инвариант равен сумме элементов матрицы (Т /), стоящих на ее главной диагонали, [c.44]

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в п. 1.9, что корни полинома / з(А) не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора Ф(), ь Лг, з) является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома Рз( ), так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зав сят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры Q и Q имеют одни и те же инварианты. [c.821]

Отсюда, в частности, следует что производная любого инварианта симметричного тензора X второго ранга есть симметричный тензор, соосный с X. Кроме того, главные значения произ- [c.19]

Приведем еще формулы дифференцирования главных инвариантов симметричного тензора X второго ранга [c.20]

Для изотропного материала условие текучести будет симметричной функцией главных напряжений или инвариантов тензора напряжений и абсолютной температуры [c.148]

Явные выражения главных компонент симметричного тензора через его инварианты даны в 6 [c.81]

Заметим, что главные значения симметричного тензора заданного в декартовых координатах компонентами г /, в главных осях имеют компоненты г ( =1, 2, 3), выражающиеся через инварианты [c.216]

Скалярная функция ф(.в) называется изотропной, если она не чувствительна к повороту аргумента ( РВР ф(Jff) для любого тензора поворота Р. Симметричный тензор В вполне определяется тройкой инвариантов и угловой ориентацией главных осей (они же ортогональны). Ясно, что изотропная функция ф(Д) симметричного аргумента является функцией лишь инвариантов / , 1 , 1 она дифференцируется согласно (11.6), где транспонирование излишне. [c.25]

В теории тензоров большое значение имеют их инварианты. Так называют комбинации компонентов тензоров, остающиеся неизменными при переходе от одной системы координат к другой. Инвариантами симметричного тензора второго ранга будут, в частности, его три главных значения, равные экстремальным значениям компонентов тензора, стоящих на главной диагонали его матрицы. По аналогии с доказанным для тензоров деформации и напряжения можно утверждать, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат, в которой матрица симметричного тензора будет иметь вид [c.99]

Следовательно, QA=>BQ. Поэтому условие совпадения множества характеристических корней у А и у В достаточно в случае симметричных тензоров А и В для того, чтобы B = QAQ - Таким образом, скалярная функция, аргументом которой служит симметричный теизор, изотропна в том и только том случае, когда оиа представляет собой функцию характеристических корней,, или, что равносильно, функцию главных инвариантов. [c.538]

Величина oj) должна быть объективной, поэтому функция г должна удовлетворять условию инвариантности ijj(B) = = ijj(QBQ ) для всех ортогональных преобразований Q в Ж и Это соотношение выполняется тождественно, так как, согласно уравнениям (2.3.30), величина В объективная. Таким образом, If) есть изотропная скалярная функция симметричного тензора второго порядка В. Согласно хорошо известной теореме Коши такая функция может зависеть от В только через три его главных инварианта 1 , а = 1, 2, 3 [c.129]

Диагональные компоненты Х , Хц, х называются главными значениями симметричного тензора. Разумеется, их сумма есть первый инвариант тензора [c.207]

В статьях [132], [133 ] рассматривается двухосное напряженное состояние с симметричными циклами изменения главных напряжений в одной фазе. Выдвигается гипотеза о том, что в предельном состоянии квадрат первого инварианта тензора напряжений /1 (см. том I, главу I) является линейной функцией второго инварианта Jt [c.718]

Далее учтем, что сумма главных компонент симметричного тензора является инвариантом от1носительно поворота осей, т. е. при любом направлении декарт01вых осей [c.468]

Теперь можно легко ответить на вопрос о числе независимых инвариантов симметричного тензора второго ранга. Все они в главной системе координат должны быть фупк ]Ц-ями только трех компонент, и, следовательно, их число ле может быть больше трех, а из загшси инвариантов (4.28) в главной системе ясно, что все три найденных ранее инварианта независимы. [c.63]

Известно, что в трехмерном пространстве любой инвариант симметричного тензора второго ранга есть функция его собствен- -ных значений или, что эквив алентио, функция его главных-иива -риантов 1ь 1)2, 1з- Любой инвариант вектора есть функция его лины. ., . [c.18]

Так как скалярнозначная функция симметричного тензора есть функция его главных инвариантов, то в изотропном рипер-упругом теле упругий потенциал есть функция главных ннвзари-антов тензора Л, или, что эквивалентно, функцией главных ин- [c.45]

Тензор напряжений, как и всякий симметричный тензор второго ранга, имеет три независимых инварианта, за которые могут быть приняты главные напряжения сь, Tj. Нумерация главных напряжений выбирается так, чтош.1 выполнялись неравенства многих случаях в качестве инва- [c.7]

Вследствие того что Оц является симметричным тензором второго ранга, для него существуют такие понятия, как главные оси, главные значения, инварианты, поверхность скоростей деформации и девиатор скоростей деформации. Кроме того, для компонент тензора скоростей деформации можно написать уравнения совжстности, аналогичные уравнениям, полученным в гл. 3 для тензора линейных деформаций. [c.163]

Постулат изотропии и исследования по вопросам общей теории тензорных функций и функционалов, возникшие в связи с проблемами реологии пластических сред. Множество ш всех симметричных двухвалентных тензоров, которые можно определить для фиксированной точки сплошной среды, замкнуто относительно линейных композиций своих элементов и потому представляет некоторую шестимерную линейную систему. С точки зрения линейных свойств эта система вполне аналогична шестимерному евклидову пространстбу. Но между этими линейными системами имеется и существенное различие. Так, вектор в евклидовом пространстве (независимо от числа измерений пространства) имеет лишь один скалярный инвариант , в то время как элемент системы ш — три независимых таких инварианта. Это обстоятельство было главным аргументом одной из сторон в дискуссии о постулате изотропии (Д. Д. Ивлев, 1960 В. В. Новожилов, 1961). Позднее В. В. Новожилов более точно охарактеризовал специфику линейной системы ш и наметил путь построения ортонормированного базиса такой системы (1963). К. Ф. Черных (1967) детализировал эти соображения, построив конкретный пример такого базиса. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...