Конформное отображение односвязной области на круг

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ НА КРУГ 251 [c.251]

Конформное отображение односвязной области на круг [c.251]

Рис. 95. Методика конформного отображения односвязной области на круг. — определение симметричных точек А В, б —определение

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойствами сохранения углов по величине и направлению, постоянства растяжений малых окрестностей, называется конформным отображением. Из предыдущего следует, что отображение с помощью аналитической функции конформно во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Конформное преобразование есть преобразование подобия в малом, в том смысле, что оно сохраняет форму отображаемой малой фигуры. Так, с указанной точностью малый круг переходит в малый круг, а малый треугольник AB перейдет в малый треугольник А В С- (рис. 5.4), у которого соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. При практическом использовании конформных отображений наиболее употребительна задача отыскания функции, реализующей конформное отображение заданной области D на заданную область А. При этом возникают, естественно, вопросы, связанные с существованием отображения, его единственностью. Приведем некоторые результаты, дающие ответ на поставленные вопросы (предполагается, что читатель из курса математического анализа знаком с понятиями области, границы области, односвязной области). [c.185]

Для конформного отображения заданной односвязной однолистной, области на круг 2 1 (рис. 95 и 96) по контуру области на гори- [c.251]

Рис. 8.12. Конформное отображение односвязной конечной области плоскости г на внутренность единичного круга в плоскости С-

В частном случае конформного отображения заданной односвязной области на единичный круг гамильтониан и уравнения движения имеют вид [c.166]

В условиях теоремы указано, что границы отображаемых односвязных областей должны состоять более чем из одной точки. Это означает, что теорема не распространяется на расширенную плоскость и расширенную плоскость с выколотой точкой, для которых конформное отображение на односвязную область вообще не существует (например, на единичный круг). [c.186]

Наиболее удобные односвязные канонические области, применяемые для расчета решеток, изображены на рис. 25. В теоретических исследованиях и для редких решеток обычно используется внутренность единичного круга Zg с переходом бесконечностей перед и за решеткой, соответственно, в симметричные точки действительной оси Zg — — q и Zg = q (рис. 25, а). Чтобы подчеркнуть нарушение конформности отображения в этих точках и конкретизировать соответствие областей, принято говорить, что внешность решетки (в полосе одного периода) отображается на внутренность единичного [c.73]

Основной недостаток всех способов построения теоретических решеток, основанных на отображении круга с двумя симметрично расположенными особенностями, связан с отмеченной выше большой неравномерностью отображения в окрестности особых точек. Применение конформных отображений других канонических областей, например круга с одной из особенностей в центре или полосы, позволяет несколько расширить классы получающихся теоретических решеток, однако при отображении любой односвязной области форма теоретических профилей всегда существенно зависит от густоты решетки. [c.99]

Для решения краевых задач можно использовать конформное отображение единичного круга на рассматриваемую (односвязную) недеформированную область, осуш,ествляемое функцией [c.54]

Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования рещений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука. [c.99]

Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматриваются односвязные области, содержащие фиксированную точку 2о, и их конформные отображения на единичный круг, переводящие эту точку в центр. Через Гр обозначается линия уровня при отображении /, т. е. прообраз окружности йУ = р при этом отображении в частности, Fi = Г — граница отображаемой области D (рис. 32). [c.108]

При помощи дополнительного конформного отображения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область D с дважды гладкой границей Г, и пусть / — ее конформное отображение на единичный круг с нормировкой f(Zo) = О, f (zo) >0. Рассмотрим еще область 5 с границей Г и для любой точки обозначим через e( ) отрезок [c.109]

Это граничное условие служит для определения функций tf (z) и ф (z) в том случае, когда заданы напряжения на границе. Выбор постоянной в первой части (8.188) не влияет на напряжённое состояние упругого тела и может быть сделан произвольно. Полученные здесь основные соотношения (8.187) и (8.188) позволяют легко получить решение плоской задачи для внутренности круга. Если же нам задана односвязная область S, отличная от круга, то для решения подобной задачи можно воспользоваться конформным отображением области S на круг. [c.227]

Применение конформного отображения ) Задача кручения может считаться решенной, если мы сумеем отобразить область S на круг (в этом случае, конечно, S должна быть односвязной областью). Пусть, действительно, [c.505]

Применяя конформное отображение областей S ti S" на заданную область S, скажем на единичный круг (в случае, когда область S односвязна), получаем граничную задачу вида [c.605]

Из последнего параграфа было видно, что затруднения при отыскании решения, связанные с методом функции напряжений, облегчаются вследствие использования комплексного потенциала и соответствующего конформного преобразования однако наибольшее преимущество от использования комплексного потенциала получено благодаря методам, развитым Мусхелишвили ), позволяющим определять потенциалы непосредственно по граничным условиям. Эти методы применимы к телу, занимающему в плоскости Z односвязную область, конечную или бесконечную, которую можно отобразить с помощью конформного преобразования на круг или полуплоскость исследование многосвязных областей значительно сложнее и обсуждаться здесь не будет. Области, отображенные на круг или на полуплоскость, можно исследовать двумя методами первый основан на использовании обычных интегралов Коши, второй основан на более тонких свойствах интегралов Коши. Второй метод наиболее при- [c.104]

Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана г . Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости Z, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число /(0) дает два действительных числа само данное и arg/ (0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования, [c.154]

Впервые этот метод применил Г. В. Колосов Он показал, что интеграл бигармопического уравнения для функции напряжений, а также граничные условия в напряжениях или смещениях могут быть выражены через функции комплексного переменного. Ряд важных результатов получил Н. И. Мусхелишвили С помощью функций комплексного переменного можно легко получить решение плоской задачи теории упругости для внутренности круга. Если же задана некоторая односвязная область, отличная от круга, то в этом случае надо воспользоваться конформным отображением области на круг. Кроме того, использование интеграла тина Коши позволяет свести плоскую задачу теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для решения которого существуют хорошо разработанные приближенные методы. В некоторых случаях (например, для [c.252]

Предположим, что сечение стержня есть односвязная область 0+, и пусть функция 2 = (й( ) реализует конформное отображение единичного круга в плоскости на 0+. Осуществим замену переменных в выражении для F(z) и полученную таким образом функцию будем обозначать через /( ). Перепищем краевое условие (1.3) в виде [c.362]

Метод применим и для построения конформного отображения на круг т < 1 односвязных ограниченных областей О. Здесь нужно, кроме точки соответствующей да — 1, задаться еще точкои о, соответствующей се) = О, и организовать процесс так, чтобы боковые стороны квадратов сходились в одну точку го. Последнее можно заменить условием, что на предпоследнем шагу кривая ут-1, сглаживающая внутренние основания квадратов, близка к окружности малого радиуса с центром в точке 2о. [c.125]

Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам. 1. Изложенный в 84—87 метод решения применим, в частности, ко всем односвязным областям, конформные отображения которых на круг указаны в качестве примеров в 48. Из числа этих примеров случай бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием подробно рассмотрен нами в 82, 83. Случай конечной области, ограниченной улиткой Паскаля, рассмотрен в 63, где мы применили метод разложения в ряды применение метода 84 гораздо быстрее приводит к цели. Мы предоставляем читателю решение основных задач для этого случая только что указанным способом. Случай бесконечной плоскости с гипотрохоидальным отверстием ( 48, п. 4) подробно изучен при помощи метода 84 Г. С. Шапиро [1] в применении к некоторым практически важным задачам (см. еще в следующем параграфе о работах Г. Н. Савина). [c.333]

Отметим, что в работе А. Г. Угодчикова [1] составная область может представлять собой любую конечную односвязную область плоскости комплексного переменного. Для эффективного применения метода ]Иусхелишвили следует здесь, разумеется, заменить рассматриваемую область другой, близкой к ней областью, соответствующей некоторому полиномиальному отображению на круг. Это приближенное отображение строится методом электрического моделирования конформных отображений, разработанных тем же автором [6]. [c.590]

Метод степенных рядов применительно к задаче о кольцевых подкреплениях отверстий оказывается принципиально пригодным для эффективного решения каждый раз, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, конформно отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. Эффективное решение задачи для случая отображения вида (2) 153 было дано М. П. Шереметьевым [3], [7], который скомбинировал метод степенных рядов с методом интегралов типа Коши. Частный случай крепления в форме софокусного эллиптического кольца (п = 1) рассматривался позже в работах Ода (Oda [1 ] ) и Левина (Levin [1]). В первой из этих работ приводятся два численных примера применительно к задаче о давлении окружающих пород на крепь туннеля с круговым и эллиптическим поперечными сечениями. Во второй работе решение представлено в форме степенных рядов, достаточно удобных для численных расчетов. [c.591]

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4]. [c.599]

Всякая односвязная область, кроме всей плоскости (включая бесконечно удалённую точку) и плоскости с одной выключенной точкой, может быть взаимно-однозначно и конформно отображена на любую другую область такого же типа (например на внутренность единичного круга). Это отображение определяется единственным образом, если потребовать, чтобы заданной точке и заданному направлению в этой точке одной области соответствовали заданные точка и направление в этой точке другой области (теорема единственности). Если, например, отображаемая область в плоскости 2 содержит нулевую точку, то отобра- [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...