Структурные числа матриц

СТРУКТУРНЫЕ ЧИСЛА МАТРИЦ [c.155]

Пусть Hk в матрице a[D,D], D = . d означает множество всех вторых индексов элементов a[k, /] из й-й строки, при которых a[k, j] =0- Другими словами, а [й, Яа] — вектор всех ненулевых элементов fe-й строки матрицы a[D,D], й е Z), Hk D. Будем называть структурным числом й-й строки матрицы a[D, D, или й-м элементарным структурным числом матрицы, выражение вида [c.155]

Будем называть определителем структурного числа матрицы величину [c.156]

Из построения структурного числа видно, что его можно определить не только для квадратной, но и для прямоугольной матрицы а [D, Z]. В частности, структурное число матрицы [c.157]

При использовании структурных чисел для решения системы уравнений удобно ввести понятие производной структурного числа матрицы по к, которую в отличие от производной структурного числа графа будем обозначать символом 8S/8k. Она равна структурному числу, полученному из 5 в результате удаления всех столбцов справа, содержащих число к. Если k не содержится в 5, то предполагается, что в правой ее части столбцы отсутствуют (имеется пустой столбец). [c.158]

Для проверки правильности составления структурного числа А вычислим число деревьев графа, равное определителю некоторой матрицы [9] [c.58]

В последнее время в инженерно-технических расчетах все более широкое применение находят различные топологические методы исследования систем (матрицы, теория графов, структурные числа). Использование этих методов во многих случаях позволяет упростить методику проектирования технических устройств, внести в процесс проектирования наглядность и, что самое главное, построить более простые и экономичные алгоритмы оптимального проектирования технических устройств с помощью ЭВМ. [c.3]

Основные практические трудности, возникающие при реализации графовых моделей на вычислительных машинах, связаны с выявлением в графах путей и факторов, с помощью которых находятся отдельные члены определителей матрицы системы уравнений. Эту трудность можно обойти, воспользовавшись теоретико-множественным описанием графовых моделей и соответствующими им структурными числами [2. 3]. [c.145]

Таким образом, раскрытие произведения структурных чисел графа равносильно отысканию его факторов. Это становится очевидным, если вспомнить, что каждый фактор соответствует некоторому члену определителя системы уравнений, причем всякий член определителя является произведением элементов матрицы с различающимися между собой вторыми индексами. С другой стороны, при раскрытии структурного числа выписываются столбцы с различными номерами, которые тоже по существу являются вторыми индексами, но только ненулевых элементов той же матрицы. Отсюда ясно, что операция перемножения элементарных структурных чисел равносильна выделению систем различных представителей из семейства множеств, стоящих в структурном числе справа от вертикальной черты и разделенных между собой горизонтальными линиями. [c.149]

В качестве примера найдем значения переменных Х, Х2, Ха из системы уравнений, расширенная матрица коэффициентов которой равна (4.4). Все производные структурного числа S(a [1 3, 1 4]) уже были найдены, поэтому выписываем члены определителей. [c.159]

Далее пусть Fi —множество первых индексов ненулевых элементов матрицы г-го столбца, то есть Л = 1,2, 3 , Я = 1,3 , F, = 2), И = 1.2 . По-строим структурное число вида [c.162]

Тогда структурное число такой матрицы, очевидно, можно построить непосредственно по кодам Кд. с и Ку. Для этого достаточно записать их столбиком [c.164]

В качестве основы для построения структурного числа механизма, как и раньше, возьмем матрицу скоростей й [Д Z]. Очевидно, ее структурное число равно [c.168]

Такого рода преобразования над матрицей a[Z),Z], очевидно, равносильны тому, что из структурного числа 5(Кд. с) необходимо, во-первых, выбросить все номера, имеющиеся в At, во-вторых, если Б каком-то месте справа от вертикальной черты в 5(Кд. с) имеется номер X, содержащийся в некотором Л , ое 0, е, фь фа-г , то % необходимо заменить множеством Л . [c.169]

Полученное таким образом структурное число будем называть модифицированным структурным числом механизма и обозначать его тем же символом, что и обычное структурное число, но с квадратной скобкой сверху —S. Это число, как видно из способа его построения, в качестве элементов справа может содержать не только отдельные числа, но и множества. Тем не менее раскрывается оно точно так же, как обычное чимо. Отличие состоит лишь во взятии производных 6S/6/ и в переходе от раскрытого структурного числа 6S/6/ к произведениям элементов матрицы a[D,Z], [c.169]

Учитывая, что для фактор-кода режима Ле = 4), = 3, 5 , Л-с= 2 , строим структурное число S матрицы скорости, модифицированное структурное число S и производные от S по вершинам 4 и 5 [c.170]

Набор компонентов, найденный таким способом, может оказаться недостаточным, если вначале не выделить из всех рассматриваемых составляющих такие, которые не вступают в химические реакции не из-за их стехиометрии, а по иным, например кинетическим, причинам. Такие вещества должны считаться компонентами вне зависимости от результатов анализа формульной матрицы системы (см. 1). С другой стороны, этот набор может быть и избыточным, так как формульная матрица не учитывает количеств составляющих, поэтому не-исключено, что они могут образовываться из меньшего числа веществ. Эти физические особенности выбора компонентного состава при решениях задачи на ЭВМ учитываются обычно программными средствами. Когда набор компонентов выяснен и их число оказывается меньше, чем число входящих в систему химических элементов (т. е. ранг llp,7llкомпоненты системы, так как это сокращает число переменных. Вместо реакции (21.1) в этом случ ае будет реакция [c.177]

Структурная чувствительность процесса разрушения в перлитных сталях объясняется следующими факторами. Фрагментация матрицы, вызванная фазовым наклепом, способствует появлению большого числа мест преимущественного зарождения микропор. Высокая плотность дислокаций в игольчатом сорбите обеспечивает интенсивный приток вакансий в пору и способствует более быстрому ее росту. Развитие процессов возврата приводит к ускорению деформирования металла при ползучести, появлению избытка вакансий тем в большей степени, чем выше исходная плотность дислокаций. Это также способствует быстрому росту пор. Высокая удельная плотность зародышевых пор и создание условий для интенсивного роста пор определяют наблюдаемый характер накопления повреждений в металле с сорбитной структурой. [c.18]

Представление композита в виде слоистого однородного материала приводит и к затруднениям практического характера. Например, возникает необходимость большого числа повторных испытаний композита даже при малых изменениях структурных параметров объемной доли волокон, содержания пустот в матрице и свойств компонент. Для определения полного набора механических характеристик конкретного композита может потребоваться проведение ряда сложных экспериментов. Однако несмотря на эти недостатки, в частности невозможность исчерпывающего понимания [c.250]

Если нулевое решение системы дифференциальных уравнений х = Ах неустойчиво, то среди собственных чисел матрицы А имеются числа с положительной вещественной частью. Построим механическую систему, структурно близкую к исходной, и подберем такие значения параметров этой системы, при которых ее движение будет устойчивым в заданном диапазоне скоростей. Для этого сделаем преобразование координат X = где а — вещественное число — параметр сдвига корней. Система уравнений возмущенного движения примет вид у = (А—аЕ)у, где [c.399]

Структурную картину и кинетику развития поверхностного рельефа изучали на продольных и поперечных сечениях образцов после нескольких циклов Первые термоциклы превращают полированную поверхность шлифа в матовую, вследствие образования следов скольжения в зернах матрицы (рис. 83). Число следов скольжения увеличивается от цикла к циклу. Распределение следов скольжения [c.199]

Роль дислокаций при старении железа детально изучена Скаковым [186—188]. Автор полагает, что место предпочтительного выделения фазы (е-карбид или цементит в Fe — С или а" и Y в Fe — N) определяется концентрационными и структурными факторами. Поскольку фазы выделения имеют то же координационное число, что и матрица, поверхностная энергия границ раздела такая же, как на границе различных модификаций при полиморфном превращении чистого металла, и при малых размерах частиц ею можно пренебречь. [c.234]

В некоторых случаях в зависимости от упаковки слоев в пакете, их строения и механических свойств появляется возможность путем различных упрощений исходных соотношений добиться более простых структурных формул для вычисления матриц жесткости и коэффициентов поперечного сдвига, что позволит не обращаться к общим соотношениям теории многослойных армированных оболочек. Рассмотрим одну из таких оболочек, выполненную из четного числа антисимметрично расположенных слоев. Считаем, что все слои оболочки имеют однотипное строение и различаются лишь углом армирования 7 - При зтом имеет место следующая зависимость [c.86]

Различаем повреждения по крайней мере двух видов единичные разрывы волокон, характеризуемые отношением xl i числа разрывов в рассматриваемом объеме V к общему числу структурных элементов в этом объеме, и повреждения матрицы, характеризуемые отношением суммы длин поврежденных участков границы матрица—волокно к общей длине волокон в рассматриваемом объеме. Эту меру повреждений обозначим ij a. Таким образом, описываем накопление поврежде-150 [c.150]

Структурные числа матриц, или матричные структурные числа, как и структурные числа графов, в конечном счете используются для подсчета определителей редкозаполненных матриц, т. е. матриц с большим числом нулевых элементов. [c.155]

Если Si — структурное число /-й строки, то по аналогии с произведением структурных чисел звезд графа определим произведение SkSi структурных чисел строк матрицы. Тогда под структурным числом матрицы будем понимать произведение структурных чисел всех строк матрицы, записанное либо в виде произведения сомножителей [c.155]

Заметим, что несмотря на одинаковую запись структурных чисад матрицы и графа, переход от номеров структурных чисел к элементам определителей матрицы у них осуществляется по-разному. Если область определения отображения, порождаемого структурным числом матрицы, соответствует первым индексам элементов матрицы, а область значений — вторым индексам, то для структурного числа графа область определения — это множество вершин графа, откуда исходят дуги фактора (пути), а область значений — множе ство вершин, куда входят эти дуги. В связи с этим члены определителя в случае использования структурных чисел матриц записываются непосредственно по соответствующим отображениям, а при использовании структурных чисел графов получаемые отображения служат для определения путей и факторов графа. Члены определителя получаются уже как сумма весов дуг, входящих в эти пути и факторы. Имея это в виду, найдем те же выражения для отношений Xk/Xi не из графа Г, а непосредственно [c.161]

Структурное число матрицы, очевидно, остается тем ще, Ц0 дифицированное структурное число механизма и его производные равны [c.171]

Таким образом, процессы отбора прикроете кристаллов в слое насыщения требуют для своего развития пространственной свободы . Границы зерен ограничивают объем материала, в котором происходит отбор. В мелкозернистом материале рост кристаллов новой фазы (карбида молибдена) происходит практически независимо в каждом зерне. Такая закономерность фазо- и кристаллообразования npfa получении диффузионных слоев показывает, что текстурообразование в них зависит от структурного состояния матрицы, а не только от обычно учитываемых параметров (температуры, состава среды и т.п.). К числу наиболее существенных отличий условий роста диффузионных покрытий следует отнести первое значительно большая плотность среды, в которой растут кристаллы второе — упорядоченное расположение атомов среды (кристаллическая решетка) третье - атомы среды взаимодействуют друг с другом, что ограничивает их подвижность четвертое — рост совокупности кристаллов происходит в результате диффузии атомов через растущую совокупность кристаллов. [c.116]

По форме и виду графита и типу металлической основы можно определ1Ггь характер кристаллизации и вид термообработки отливки. Структуру чугуна оценивают в соответствии с ГОСТ 3443-87, соответствующим 180 945-75. По шкалам ГОСТ 3443-87 можно провести комплексную оценку микроструктуры чугунов в литом состоянии и после термической обработки. Шкалы дают общее представление о формах графитовых включений, а в пределах одной формы - градацию по их параметрам. При оценке структурных составляющих можно определить их вид, форму, ориентацию, распределение, дисперсность, размеры и число. Так как в чугуне одной и той же марки могут присутствовать различные структурные составляющие матрицы, в стандарте предусмотрена оценка по каждому типу структур. [c.711]

Сделана попытка показать на ряде примеров многообразную картину не-упругого поведения, присущего композитам. Главное внпмаппе уделено чрезвычайной простоте характера квазистатического устойчивого течения и разрушения составных материалов, сочетающейся с крайне сложным распределением напряжений, деформаций и перемещений в компонентах материала. Показано, что при описании упругого, вязкого и пластического поведения композитов применение общих теорем и объединяющих концепций как на уровне структурных элементов материала,так и для материала в целом позволяет объяснить множество аспектов механического поведения, в том числе макроповедение (непрерывное, по терминологии автора) и поведение, связанное с возникновением разрывов волокон, прорастанием трещин, раскрытием пустот и разделением волокон и матрицы (дискреТ ное, по терминологии автора). [c.9]

В гл. 2 внимание сосредоточено на особенностях поведения композита с хрупкой полимерной матрицей, вызванных появлением и развитием системы микротрещины во всем объеме связующего. Именно эти процессы в основном ответственны за проявление композитами с хрупкой полимерной матрицей неупругих свойств. В главе обосновывается одна из возможных моделей деформирования и разрушения многослойных композитов при плоском напряженном состоянии. Развиваемую модель можно отнести к числу структурно-феноменологических. Феноменологический подход используется для описания поведения однонаправленного композиционного материала (монослоя), структурный — для рассмотрения многослойных композитов, составленных из разноориентированных монослоев. Основные [c.36]

Структурная оптимизация маршрутной технологии групповой сборки осуществляется с помощью сетевой модели, включающей в себя матрицу контуров, граф смежности операторов и элементов групповой сборки. Оптимизация по сетевой модели сводится к выбору кратчайшего пути в графе смежности сборочных операций с учетом логических ограничений. К числу таких ограничений отнесены вопросы окончательного выбора оптимальной структуры маршрутной технологии в неразрывном единстве с выбором оптимальных структурно-ком-поновочных схем агрегатного сборочного оборудования и структур технологических операций автоматизированной сборки по критерию технико-экономической эффективности, одним из показателей которой может быть трудоемкость. [c.307]

Торнбороу с сотр. [3] предложил модель, учитывающую возможность наличия контактов волокно — волокно в армированном тканью композиционном материале, состоящем из непрерывной полимерной матрицы и большого числа слоев ткани. Они предположили, что соседние слои ткани частично контактируют друг с другом. Для применения электрического структурного аналога этой модели были определены три основные траектории проводимости сплошная по части матрицы, короткая сплошная по самой ткани в местах контакта волокно — волокно и, наконец, прерывная по оставшейся части матрицы и ткани соответственно. Электрический аналог потока энергии в продольном и поперечном направлениях показан на рис. 7.4 [3]. Указанные на рисунке объемные доли матрицы и наполнителя были подобраны таким образом, чтобы полученные выражения соответствовали экспериментальным данным. Таким путем было выведено следующее эмпирическое уравнение, позволяющее рассчитывать коэффициенты теплопроводности слоистых пластиков в поперечном направлении (рис. 7.4,а) [c.292]

Впервые самопроизвольное формоизменение сплавов при изменении температуры было обнаружено в никельтита-новых сплавах и позднее — в сплавах на основе железа [169], в том числе и железомарганцевых [2, 4, 170]. Формоизменение проявляется после обработок, включающих деформации и отжиги, в виде самопроизвольной необратимой деформации тела при одном цикле изменения температуры, либо в виде обратимого формоизменения при циклическом изменении температуры. Важную роль в процессе самопроизвольного формоизменения играет нестабильность аустенитной матрицы, изменение фазового-состава по сечению, изменение плотности дислокаций и других структурных дефектов [170]. [c.144]

Представим композит как совокупность большого числа структурных элементов —отрезков волокон с примыкающей матрицей и длиной Здесь —характерная длина краевого эффекта в композите с упругой матрицей Л, — р Ejl2G. y - g (v,). Функция g (у,) при обычных значениях У/ имеет порядок единицы. Так, простейшая модель самосогласованного поля дает g (Vf) = (vf — l) поэтому оценочная формула имеет вид [c.150]

Пусть матрица в окрестности разрывов волокон и поперечных трещин деформируется упруго. Плотность рассеянных повреждений в этом случае полностью задана с помощью меры xj i == -, равной отношению числа разорванных волокон к общему числу структурных элементов. Пусть на стадни накопления рассеянных повреждений выполнены условия (4.31). Уравнение накопления повреждений в структурных элементах возьмем в виде (4.22) и примем s = onst. Тогда с учетом (4.35) и (4.82) получим [c.153]

Вероятность перерезания волокна или прослойки матрицы трещиной, зародившейся внутри них, можно задать некоторой аналитической функцией, зависящей или только от напряжений в компонентах (при активном растяжении), или от числа циклов приложения нагрузки с учетом амплитуды напряжений (при работе материала на усталость), или от времени выдержки под нагрузкой (при испытании материала на длительную прочность) (см. рис. 124). В данном случае имеется в виду квазихрупкое поведение компонентов, так как их разрушение представляется в виде мгно-венньрс актов, имеющих случайный характер и наступающих при выполнении определенных условий или заданных критериев. В силу проявления масштабного эффекта наступление отдельных актов разрушения должно происходить тем позже, чем меньше размеры структурных элементов. Таким образом, в предлагаемом подходе одним из главных факторов, [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...