Преобразование Н к тригонометрическому виду

На свойство линейности интегрального преобразования общего вида (6.2) обращалось уже внимание, оно очевидно (интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла) и с его помощью было получено изображение (6.4) дифференциального уравнения (6.1). Используем это свойство для получения изображений тригонометрических и гиперболических функций. [c.203]

Преобразование тригонометрических функций вида 1 Sin а (ios о) и т. д. [c.70]

Тогда после подстановки ряда с достаточно большим числом членов в исходное уравнение принципиально возможно, произведя соответствующие тригонометрические преобразования, получить систему алгебраических уравнений для отыскания коэффициентов йп и Ьп- Таким путем в принципе можно находить значения а и и определять их зависимость от параметров системы и характера воздействующей силы, которая может быть представлена в виде ряда Фурье с компонентами частоты р, 2р, Зр,. .. [c.99]

Производя простые тригонометрические преобразования, представим правую часть (7.1.5) в виде [c.257]

Теперь со всей очевидностью возникает еще одно затруднение, связанное с необходимостью вычислять тригонометрические и гиперболические функции комплексного аргумента. Это не является непреодолимой трудностью для данной конкретной задачи, но может причинить неприятности во многих других случаях. Например, решение для круговой пластины содержит функции Бесселя, а с функциями Бесселя комплексного аргумента нельзя выполнять элементарные математические опера-дии, в том числе и на вычислительных машинах. Во всяком случае, очевидно, что получать точные решения некоторых идеализированных задач возможно, и не следует преуменьшать важность этого обстоятельства. После выполнения алгебраических преобразований выражение (1.7) можно привести к виду [c.22]

Выражение (31) разложим на простые синусоидальные составляющие с постоянными амплитудами путем простых тригонометрических преобразований. Это разложение имеет вид [c.339]

Применяя тригонометрическую формулу преобразования гиперболического косинуса разности двух углов, приводим выражение (4-156) для п корней к виду [c.200]

В уравнении (4) матрицы G, G зависят от и типа краевых условий. Элементы матрицы преобразования для составной конструкции Л , связывающей перемещения и усилия на ее краях I и II, являются экспоненциально-тригонометрическими функциями. Амплитуда этих функций экспоненциально возрастает с ростом длины составляющих конструкцию оболочек и достигает величины С ехр где — безразмерная суммарная длина оболочек, С — постоянная, зависящая от геометрии оболочек и не зависящая от их длины. С ростом матрица становится плохо обусловленной и ее точное обращение становится невозможным даже с помощью ЭВМ. Действительно, так как матрица является матрицей перехода от края I к краю II, то обратная ей матрица (Л ) является матрицей перехода о т края II к краю I и по условиям взаимности ее элементы совпадают с элементами матрицы с точностью до некоторых коэффициентов, не зависящих от произведение (Л ) дает единичную матрицу, элементы которой 1 и О являются при больших I малыми разностями больших чисел порядка С ехр 2 . Это наглядно видно, например в случае оболочек, для которых решение дифференциальных уравнений выражается через функции А. Н. Крылова, и матрица содержит в качестве ядра матрицу функций А. Н. Крылова, обладающую свойством ( ) = Y (— I). Однако можно показать, что при решении системы (4) независимо от вида краевых условий достаточно обращения только одного блока второго порядка матрицы Л , которое может быть выполнено точно (при той же длине конструкции). Например, если по краям составной конструкции из [c.78]

В тех случаях, когда решение задачи теории оболочек сводится к решению уравнений в обыкновенных производных (например, если решение строится в одинарных тригонометрических рядах или если рассматриваются деформирования частного вида, определенным образом зависящие от одной из криволинейных координат), комплексное преобразование облегчает получение общего решения задачи, поскольку при его использовании интегрируется система, как уже говорилось, вдвое более низкого порядка, чем при решении тех же задач в вещественной форме. [c.67]

Представляя решения системы и действующие внешние нагрузки в виде тригонометрических рядов, после интегрирования и некоторых преобразований с использованием зависимостей между амплитудными значениями нагрузок и радиального перемещения кругового кольца получим разрешающую систему в виде [c.90]

Пользуясь формулами тригонометрических преобразований, можно привести выражение (11.14) к виду [c.320]

После очевидного тригонометрического преобразования последние равенства принимают вид [c.178]

Для возможности дальнейшего преобразования системы уравнений движения (например, усреднения) необходимо найти аналитическое представление зависимостей аэродинамических коэффициентов от пространственного угла атаки а. В связи с этим часто прибегают к аппроксимации аэродинамических характеристик степенными или тригонометрическими рядами. Если аэродинамические характеристики задаются на всём интервале возможных значений угла атаки [0,тг], то целесообразнее использовать тригонометрические ряды. Как было отмечено в параграфе 1.1, зависимость Сг (у) является чётной, а зависимости с (о ), гпа (у) — нечётными, и их представления в виде отрезков рядов Фурье содержат члены соответственно по косинусам или по синусам [c.54]

После тригонометрических преобразований формулы (4.3.7) выражение для интенсивности окончательно примет вид [c.274]

После тригонометрических преобразований получим радиальную компоненту индукции в зазоре в виде поля бегущей волны [c.334]

Сопоставляя полученное выражение с формулой (42), видим, что угол 2 , отличается от угла 2яо на 90° и, следовательно, углы а и 2 отличаются один от другого на 45°. Иными словами, площадки действия экстремальных касательных напряжений делят пополам углы между главными площадками. Если подставить в формулу (41) значения тригонометрических функций угла пг, выраженные при помощи выражения для tg 20 через Чу и х, после некоторых преобразований получим формулу (45). [c.92]

Аналитическое описание такой кривой проще всего сделать при помощи разложения ее в тригонометрический ряд Фурье. При этом совместим начало координат с вертикальной осью зубца, тогда угол Фо характеризует вращение якоря. Разложение магнитной индукции в ряд Фурье произведем на одном зубцовом делении и после преобразований запишем в виде [c.46]

Здесь параметр преобразования Лапласа имеет вид fe = с + t S-, Зафиксируем конечный интервал [О, Т] изменения независимой переменной t. Учитывая, что тригонометрические функции периодические с периодом 2я, и задавая переменной интегрирования значения = [c.156]

Дело может обстоять, например, так. В формулировку математической задачи (например, в правую часть дифференциального уравнения) входит функция, записанная не в виде тригонометрического ряда но, приступая к решению математической задачи, мы изменяем запись этой функции, представляя ее в виде тригонометрического ряда. Такое изменение записи функции есть математическое преобразование, возможность которого основана на определенных математических теоремах оно ничего не меняет в физических условиях задачи. Именно это преобразование мы имеем в виду, когда говорим о спектральном разложении как математической операции. [c.495]

Решение этих уравнения будем искать в виде = А8ш[ф п — 1)], где Аж ф — некоторые постоянные. Тогда уравнение (2а) выполняется автоматически, а из уравнения (2Ь) после простых тригонометрических преобразований следует [c.134]

После тригонометрических преобразований это выражение примет вид [c.22]

С учетом зависимостей (1.64) после тригонометрических преобразований уравнение (1.63) примет вид [c.24]

После преобразования выражения для простого гармонического колебания с учетом функции (1.74) и тригонометрического выражения sin а sin р = 0,5 [ os (а — р)— os(a- -p)] она имеет вид [c.28]

Выполняя простые тригонометрические преобразования, приводим уравнение (1) к следующему виду для больших значений [c.249]

Третье уравнение системы (II. 283а) после несложных тригонометрических преобразований приобретает вид [c.302]

Преобразование уравнения (8.9) к уравнению Фредгольма второго рода. Это преобразование описано в разд. 7.6 и дается выражениями (7.65) —(7д68), в которых гиперболические функции нужно заменить соответствующими тригонометрическими, а во вторую формулу (7.67) и (7.68) вместо функции fi(a) нужно подставить правую часть уравнения (8.9) —функцию (—тщ). Мы рассмотрим ниже случай, когда радиус основания штампа Ri постоянный. В этом случае величина тщ будет постоянной, и поэтому функция F(ao) (7.67) будет равна нулю. При этом второе уравнение (7.66), соответствующее функции F(ao), станет однородным и дает тривиальное решение /2=0. Значит, решение (7.65) применительно к уравнению (8.9) можно взять в виде [c.329]

Суммируя уравнения по N лопастям, получаем N дифференциальных уравнений движения в невращающейся системе координат. Заметим, что те же операции использовались при преобразовании параметров движения. Преобразование уравнений, однако, этим не заканчивается. Следующим шагом является применение такой же процедуры, как и в способе подстановки, упомянутом ранее. Периодические коэффициенты уравнений движения во вращающейся системе координат записываются в виде рядов Фурье, а для параметров движения и их производных по времени применяется фурье-преобразование координат. Затем произведения гармоник сводятся к их суммам с использованием тригонометрических соотношений. Далее приравниваются коэффициенты при 1, os if,,,, sin ll m,. .., os n m. sinnilJm, (—1) " в правых и левых частях уравнений для получения требуемых дифференциальных уравнений. При этом возникает некоторое затруднение, поскольку в отличие от предыдущего случая с рядом Фурье здесь нужно получить только N уравнений. Таким образом, каждая из гармоник os 1 т и sin I tip,,, при I > N/2 долл<на быть переписана в виде произведения гармоник нужных номеров (/ < N/2) и гармоник с час тотой NQ. Рассмотрим, например, вторую гармонику, появляющуюся в уравнениях для трехлопастного несущего винта. Из соотношений [c.332]

Как уже указывалось, для симметричных граничных условий и нагружения пройде всего поместить начало координат в середину пролета балки (см. рис. 2,13), Взяв в (2,47) только нечетные значения т, подставив (ж + а) вместо х в ряд ро синусам, проделав тригонометрические преобразования и воспользовавшись симметричными (с четными стейвнями) степенными членами, запишем выражение (2.471) в виде [c.98]

Таким образом, нахождение преобразования Крылова — Боголюбова в тригонометрической форме (в виде периодических функций относительно у) возможно, если искать pemei e системы сравнения (118) с начальными условиями ж (О, ц,, Р) а (0, [Л, р), у(0, р) /(0, Р). [c.52]

В заключение отметим, что, хотя преобразование Крылова — Боголюбова (39) имеет тригонометрическую форму, тем не менее некоторые члены рядов (39) могут достичь больших значений по абсолютной величине из-за наличия условия (37). Это условие обусловливает появление малых знаменателей вида (о) —>.) в.выражениях для и, и больших периодов 7 = 2л(о) — Л) в тригонометрических функциях. Если "у < 1, то такие явления не наблюдаются. Кроме того, для неавтономного осциллятора Ван-дер-Поля преобразование Крылова — Боголюбова дает квазп-периодическое относительно t репгение, так как в случае рациональной несоизмеримости и X функции ц,, Vi, щ, Vz,. .. будут, вообще говоря, квазипериодическими функциями времени. [c.71]

Аналогичная задача для сплошного вала была рассмотрена в работах Ю. И. Травкина [244—246]. Задача решена в парных тригонометрических рядах, от которых затем совершается переход к квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Производлтся преобразование бесконечной алгебраической системы, основанное на представлении медленно сходящихся рядов в виде решений интегрального уравнения Абеля. [c.225]

Задача теперь состоит в том, чтобы решить линейное интегральное уравнение (8.7.9). Для случая Д = -1 в работе [115] было отмечено, что путем подходящей замены переменной к это уравнение можно преобразовать в уравнение с разностным ядром. Этот результат был обобщен [245] на область Д < -1, а затем [263] на область Д < 1. Имеются и более сложные модели, которые могут быть решены с помошью анзаца Бете [18, 20, 21, 27, 43, 144, 162]. о каждом случае такое преобразование к разностному ядру существует. (См. также замечания, сделанные после (8.13.77) и (10.4.31), имея в виду, что тригонометрические функции являются частными случаями эллиптических функций.) [c.148]

Здесь характеристика направленности для я каналов выражается через В Спомогательную характеристику аправленности (для т каналов), функцию смещения и косинус суммы их фазовых функций. При уменьшении затухания импульса и приближении его формы к обычному гармоническому колебанию характеристика аправленности (52) переходит в обычную л-ка-яальную характеристику направленности для гармонических волн, в чем можно убедиться, произведя необходимые тригонометрические преобразования и имея в виду, что при а-+0 j - 0 и -> 0- Таким образом, [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...