Решение основного уравнения задачи кручения

В случае поперечных сечений сложной формы решение задачи о кручении может оказаться весьма трудоемким. В этом случае весьма эффективно использование так называемой мембранной аналогии Прандтля. Суть.ее заключается в том, что основные уравнения задачи о кручении стержня и задачи о деформации упругой мембраны, условно натянутой на контур поперечного сечения стержня и подвергнутой равномерному поперечному давлению q (рис. 8.4), аналогичны. [c.177]

Для получения приближенных решений задач о кручении можно использовать и различные аналогии в теории кручения. Суш ность этих аналогий заключается в том, что основное уравнение теории кручения (уравнение для функции напряжений гр или уравнение для функции кручения ф) совпадает, с точностью до постоянных коэффициентов, с уравнениями для других задач механики и физики, которые легче решить, полностью или частично применяя эксперимент. Наиболее важной остается аналогия Прандтля (мембранная аналогия). Этими замечаниями мы и ограничимся, сославшись на книгу по кручению Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [4], где вопрос об аналогиях разобран достаточно подробно и где дана литература. [c.287]

При изучении курса Сопротивление материалов основное внимание сосредоточивалось на анализе напряженно-деформированного состояния прямолинейных стержней при осевом растяжении-сжатии, изгибе и кручении. Решение соответствующих задач было получено с использованием гипотезы плоских сечений. Вопрос о том, в какой степени такие решения согласуются со строгими решениями, удовлетворяющими уравнениям теории упругости, остался открытым. [c.128]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

Следовательно, полученное решение задачи кручения стержня круглого сечения удовлетворяет всем основным уравнениям теории упругости. [c.163]

Однако сперва мы пойдем по пути, использованному самим Сен-Вена-ном, который исходил из основных уравнений теории упругости, и сперва будем искать только точные решения. Конечно, мы должны тотчас же предостеречь читателя от переоценки точности этих решений. Хотя математическая задача о нахождении интеграла основных уравнений, удовлетворяющего требуемым граничным условиям, в некоторых случаях может быть решена совершенно строго, но из этого еще не следует, что такое решение безусловно надежно н с физической точки зрения. Это было бы действительно так, если бы предположения, на которых основан вывод основных уравнений, выполнялись строго. Однако обычно об этом не может быть и речи мы предполагаем, что материал изотропен, но материал, из которого изготовляют рассчитываемые стержни, обычно обнаруживает в разных направлениях разные упругие свойства, что как раз может быть довольно отчетливо замечено при испытании на кручение ). Это видно уже из того, что значение модуля сдвига G, найденное из опытов над кручением, не особенно точно согласуется со значением, выражаемым через упругие постоянные и /и по формуле (29) 2, как это должно было бы иметь место для изотропного тела. Точно так же и предположение об однородности материала или об одинаковости свойств его в разных точках оправдывается не всегда, например в двутавровых балках часто можно заметить довольно резко выраженную разницу между внутренней частью и наружным слоем. [c.51]

Гораздо меньше внимания уделялось распространению метода ГИУ на упругопластические задачи. Основные теоретические представления и уравнения были сформулированы в работах [3, 4], однако описано лишь несколько их приложений. В настоящей статье рассматриваются некоторые из этих приложений и приводятся подробности решения применительно к задачам упругопластического кручения и к плоским упругопластическим задачам, где особое внимание уделяется [c.68]

Поскольку из приведенных рисунков понятна основная идея метода, нет смысла останавливаться на подробностях ее практической реализации. Заметим, что для решения инженерных задач, описываемых уравнением Лапласа, успешно использовалась мембранная аналогия. Таким способом решались задачи о кручении стержней и задачи теплопроводности для систем, не выделяюш,их тепло. [c.98]

Можно указать два основных способа решения задач о кручении. Первый способ — за неизвестную функцию берется функция напряжений при кручении. Эта функция удовлетворяет уравнению (51.4) и на контуре поперечного сечения принимает постоянное значение (в частности, равна нулю). [c.268]

Можно принять за основную неизвестную функцию ф и выразив напряжения через ее производные, воспользоваться уравнением (57.3). Тогда мы получим уравнение для Ф, второго порядка, с переменными коэффициентами. Граничное условие запишется сложнее, а поэтому мы этим способом решения задач о кручении пользоваться не будем и уравнение и условие приводить также не будем. [c.289]

Обобщение основного энергетического уравнения на разрывные поля. Предыдущие результаты основаны на предположении непрерывности полей напряжения и скоростей. Между тем простые примеры (изгиб, кручение, плоская задача) свидетельствуют о том, что в предельном состоянии разрывы в напряжениях встречаются весьма часто. В схеме жестко-пластического тела неизбежны и разрывы скоростей. Наконец, иногда удобно строить приближенные разрывные решения. В связи с этим рассмотрим обобщение энергетического уравнения на случай разрывных полей. [c.288]

Ранее контактная задача о кручении упругого усеченного шара с закрепленной сферической поверхностью жестким круговым в плане штампом, расположенным на срезе шара, изучалась в [2-4]. При выводе интегрального уравнения этой задачи применялось интегральное преобразование Мелера-Фока на действительной оси. Для решения второй основной граничной задачи осесимметричной теории упругости для симметричной сферической линзы в [1] применялось интегральное преобразование Мелера-Фока в коштлекс-ной области. Здесь используется обобщенное комплексное интегральное преобразование Мелера-Фока. [c.239]

Речь идет также о методе дискретизации, который появился в последнее время наряду с методом конечных элементов и успешно применяется для решения задач теории упругости. Суть метода состоит в том, что основные уравнения теории упругости, которые описывают поведение неизвестных функций внутри и на границе рассматриваемой области, сводятся к интегральному уравнению. Неизвестные граничные значения связаны с известными значениями на контуре области через граничное интегральное уравнение. Впервые этот подход был применен к решению задачи кручения с помощью так называемых прямых методов теории потенциала (см. [46]) °). Развитием этой работы явился метод интегральных уравнений Риццо [47] для плоских задач теории упругости, который позднее был распространен Крузом [48] на пространственные задачи. [c.141]

В четырех предыдущих главах рассматриваются вопросы дискретизации тела, построения интерполяционного полинома для отдельного здемента и использование интерполяционных полиномов для дискретизованной области, а также дается вывод основных уравнений. Каждая из этих глав содержит исходную информацию, связанную с методом конечных элементов. В этой главе мы переходим от рассмотрения теории метода к его реализации. Ее цель — проиллюстрировать все этапы реализации метода. Эта цель достигается путем получения численного решения задачи о кручении стержня некругового сечения. [c.89]

Трудности, связанные с интегрированием уравнений упругого равновесия при заданных граничных условиях, оказались столь значительными, что их не смогли преодолеть для упомянутых основных задач теории упругости (растяжение, кручение, изгиб) даже такие великие математики, как Коши и Пуассон. Только Сен-Венан смог найти практически пригодное решение задач растяжения, кручения и изгиба призматических брусьев. Но это удалось ему потому, что он отказался от точного удовлетворения граничных условий в тех концах брусьев, где приложена действующая на брус нагрузка. Эти граничные условия удовлетворяются у Сен-Венана приближённо, на основании вышеупомянутого принципа, только для равнодействующей силы и момента равнодействующей пары заданной системы нагрузок. [c.105]

В 1932 г. вышла в свет работа В. Н. Беляева — первая в мировой литературе работа, посвященная стесненному кручению тонкостенных стержней с замкнутым профилем. В этой работе рассматривается стержень замкнутого прямоугольного сечения,, со-. стоящий из мощных поясов, тонких стенок и нйсоторого числа диафрагм. Для упрощения решения задачи В. Н. Беляев предложил считать стенку воспринимающей только касательные напряжения И не работающей, йа нормальные напряжения. В этой же работе дан анализ статической неопределимости системы, указана наиболее целесообразная основная система и получена удобная система уравнений трех осевых сил для определения лишних неизвестных. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...