Безразмерные переменные (числа подобия) и уравнения подобия

БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ [ЧИСЛА ПОДОБИЯ] И УРАВНЕНИЯ ПОДОБИЯ [c.152]

Исходные уравнения и их рещение, а также результаты экспериментального изучения конвективного теплообмена возможно и целесообразно представлять в виде зависимостей между безразмерными комплексами — числами подобия. Приведение математического описания процесса и расчетных соотношений к безразмерному виду позволяет выявить условия подобия и сопоставимости процессов, сокращает число переменных и постоянных величин, определяющих процесс при экспериментальном исследовании позволяет свести к минимуму число величин, которые необходимо варьировать в опытах указывает компактный и рациональный способ обобщения экспериментальных данных дает возможность, не рещая исходную систему дифференциальных уравнений, анализировать предельные случаи и устанавливать критерии подобия, которые характеризуют наиболее существенные особенности процессов в данных конкретных условиях. [c.204]

При приведении уравнения к безразмерному виду искомую переменную не всегда удается представить в виде соотношения одноименных величин, так как иногда в краевых условиях не содержится масштаба ее величины. Например, при исследовании теплоотдачи коэффициент теплоотдачи не входит в краевые условия и неизвестен ни в одной точке системы. В этом случае зависимая переменная вместе с масштабами других величин образует безразмерный комплекс, который представляет собой число подобия, но не является критерием подобия, так как содержит величину, не входящую в краевые условия. В этом случае решение [c.12]

Итак, методом анализа размерностей найдены безразмерные комплексы. В рассматриваемом случае ими оказались числа подобия Фурье и Био, найденные ранее [уравнения (20.7) и (20.9)] другим методом. Введем безразмерные —искомую переменную д/д,, и независимую переменную х/1 (одномерный случай). Тогда искомую обобщенную зависимость можно представить в форме [c.203]

Такое безразмерное решение [см., например, выражения (14.12 ), (14,14), (14.16) и (14.19)] называют уравнением подобия. В уравнении подобия различают определяющие числа подобия, содержащие независимую переменную (например, безразмерные координаты, безразмерное время в нестационарных процессах), и определяемое число подобия, содержащее зависимую переменную (искомую величину) определяемые числа подобия— Ки, Ей и т. д. [c.337]

Смысл получения критериальных уравнений, связывающих определяемые критерии с определяющими, состоит в том, что число новых безразмерных переменных и постоянных величин, входящих в основные уравнения, а также в начальные и граничные условия, оказывается меньше числа размерных величин, существенных для исследуемого процесса. А. А. Гухман подчеркивает, что для процесса важно не влияние отдельных факторов, а взаимодействие между ними, их относительное влияние. Теория подобия позволяет рассматривать сразу совокупное в целом влияние факторов на процесс. Интенсивность эффектов определяют соотношения операторов, входящих в дифференциальные уравнения. Например, р(Оц/Ут) отражает инерционную силу, а оператор — силу [c.233]

Основной смысл нормализации заключается в приведении физических уравнений к такой форме, в которой все безразмерные переменные и постоянные величины имеют вполне определенную контролируемую величину и допускают их приближенную оценку. Такой подход позволяет сравнивать отдельные члены нормализованных уравнений, отбрасывать второстепенные слагаемые и на этой основе упрощать постановку задач моделирования путем сокращения общего числа критериев подобия. Анализ возможных упрощений нормализованных уравнений и условия, при которых эти упрощения оказываются допустимыми, составляет предмет теории приближений [38]. [c.77]

Предположим, что два в общем случае нестационарных потока ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости подобны между собой. Тогда, по предыдущему, безразмерные начальные, граничные и другие условия единственности, так же как и сами безразмерные уравнения Стокса (38), должны быть одинаковыми для обоих сравниваемых между собою движений. Но, по предположению о существовании подобия, все безразмерные, обозначенные штрихами переменные в сходственных точках потоков одинаковы, следовательно, для совпадения дифференциальных уравнений остается потребовать, чтобы были одинаковыми числа подобия, т. е. [c.369]

Метод подобия и соображения теории размерностей могут служить не только для предсказания структуры безразмерных постоянных величин — чисел и критериев подобия, при помощи которых строятся закономерности, устанавливаемые после полного решения задачи, но и для упрощения самого решения. Так, например, из анализа размерностей можно, не решая уравнений, заметить, будет ли ъ р чи автомодельной или нет, а это позволяет заранее уменьшить число независимых переменных в уравнениях в частных производных, сводя их в случае двух переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Такие примеры приводились в предыдущих главах. В других случаях те же простые соображения позволяют до интегрирования уравнения сделать полезные выводы по поводу общего вида ожидаемого решения и структуры тех независимых и зависимых переменных, в которых решение будет выражаться. [c.375]

Отсутствие замкнутой системы уравнений турбулентного движения жидкости и, в частности, движения в пограничном слое не допускает рационального решения проблемы расчета турбулентного пограничного слоя. Если ограничиться приближенными, полуэмпирическими подходами и применением параметрических методов с большим, чем в изложенном в настоящем параграфе методе числом формпараметров, то на этом пути можно ожидать полезных результатов от расширения метода обобщенного подобия, изложенного в гл. IX для ламинарного пограничного слоя, на случай турбулентного пограничного слоя. В единственной опубликованной на эту тему статье ) можно найти вывод универсального уравнения в переменных обобщенного подобия, решением которого служит безразмерный универсальный набор профилей продольных скоростей в сечениях турбулентного пограничного слоя, не зависящий от распределений внешней скорости в различных частных задачах, и уравнения импульсов, служащего для нахождения распределения толщины пограничного слоя в заданном конкретном случае. Статья имеет программный характер и не содержит численного решения универсального уравнения. [c.614]

Метод подобия применим тогда, когда известно математическое описание процесса, т. е. дифференциальные уравнения процесса и их граничные условия. Путем деления всех независимых и зависимых переменных на некоторые их характерные значения (масштабы) осуществляется переход к безразмерным величинам. В результате математическое описание процесса приводится к безразмерному виду. При этом масштабы, а также физические константы, входящие в задачу, объединяются в безразмерные комплексы, называемые числами или критериями подобия. Ниже приведены наиболее употребительные числа подобия. [c.153]

Если две краевые задачи К)м и К)п таковы, что числа R тождественно совпадают, переменные у, 3 имеют одинаковую область изменения и совпадают и уравнения (23.28), т. е. операторы Яз, совпадают, то безразмерные решения (23.29) будут одинаковыми одна из таких задач — (К)н — и называется задачей натуры, другая — (/С)м — задачей модели. Безразмерные постоянные к называются параметрами подобия, сами явления в К)н и (/С)м — подобными. [c.287]

При использовании численного метода решения уравнений, входящих в математическую формулировку задачи, а также при использовании метода аналогий уравнения предварительно приводят к безразмерному виду. При этом не только уменьшается число переменных задачи, которыми необходимо варьировать в процессе ее решения, но и облегчается выбор режимов, которые необходимо подвергнуть исследованию, так как виды этих режимов определяются диапазоном изменения критериев подобия в машинах и аппаратах, для расчета которых выполняется исследование. [c.21]

В главе II говорилось о том, что можно, не решая уравнений, объединить физические величины в-безразмерные комплексы и получить вид безразмерных (критериальных) уравнений с меньшим числом переменных. Решение этих уравнений позволяет находить искомые величины. Точные критериальные уравнения отыскиваются путем проведения соответствующих экспериментов. Примером безразмерного критерия подобия является критерий (число) Рейнольдса, хорошо известный из гидродинамики [c.157]

Критерии подобия, входящие аналогичным образом в безразмерные уравнения и аналогично построенные из размерных параметров, выражаются одинаковыми числами. В результате аналогичные безразмерные поля зависимых переменных представляют собой тождественные распределения чисел в тождественных пространственно-временных границах. [c.73]

Совершенно очевидно, что теория подобия наиболее плодотворно может быть использована в том случае, когда невозможно проинтегрировать дифференциальное уравнение и найти зависимость между переменными в явном виде. Если дифференциальное уравнение может быть решено, то надобность в теории подобия по существу отпадает. Однако теория подобия приносит и в этом случае определенную пользу. Если решения представить в форме связи относительных переменных, то число переменных существенно сократится. Кроме того, решение в такой форме позволяет установить внутренние связи между переменными и параметрами, входящими в безразмерные комплексы, а тем самым более глубоко вскрыть физический смысл полученных решений. [c.34]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Изменение распределения скорости должно привести к появлению в жидкости вязких сил даже без заметного динамического взаимодействия струи с паром. Список безразмерных переменных следует дополнить числом Рейнольдса Яс—Wodivm и относительной длиной сопла L = —I jd. Комбинируя соответствующим образом переменные, уравнение подобия можно записать в виде [c.180]

Безразмерные переменные и критерии подобия. Решение Г, о> и г зависит от набора физических констант— входных данных задачи. Кроме коэффициентов а, V, Ря, ВХ0ДЯШ.ИХ в уравнения переноса тепла и завихренности, имеется ряд параметров, описываюш,их геометрию расчетной области, а также тепловой и гидродинамический режимы на границах и в начальный момент времени. Чтобы обобщить решение задачи и уменьшить число параметров, вводят безразмерные переменные. [c.13]

Как было отмечено в 3-2, число взаимно непреобразуемых безразмерных комплексов получается на единицу меньшим числа физически разнородных членов используемого уравнения. Разумеется, не все эти комплексы обязательно являются критериями подобия. Если в состав комплекса входит хотя бы одна из размерных переменных, будь то независимая (координата, время) или зависимая переменная, то комплекс не получает роли критерия подобия, а образует попросту обобщенную переменную. В зависимости от постановки конкретной задачи каждый данный комплекс может оказаться критерием подобия, но может им и не быть. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...