ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенный интеграл энергии. Функция Гамильтона из "Курс теоретической механики. Т.2 " Из предыдущего видно, что форма уравнений Лагранжа существенно зависит от выражения кинетической энергии системы через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.129] Конечно, То, коэффициенты Ьд и Пра надо рассматривать в общем случае как функции обобщенных координат и, возможно, времени, входящем явно в состав г, в случае нестационарных связей. [c.130] Следовательно, кинетическая энергия Т представима суммой трех функций, однородных относительно обобщенных скоростей. Первое слагаемое То не зависит от обобщенных скоростей, второе— Т есть линейная форма обобщенных скоростей и То — квадратичная форма обобщенных скоростей. [c.130] Если связи стационарны, векторы г,- не зависят явно от времени. Тогда То и Т[ будут равны нулю, и кинетическая энергия определяется квадратичной формой обобщенных скоростей. Конечно, эта форма будет положительно определенной. [c.130] Выражение кинетической энергии (11.27), вместе с формулами (И. 28а) — (II. 28с), обобщает все найденные нами ранее выражения кинетической энергии системы. [c.130] Если рассмотреть случай стационарных связей и сравнить выражение Т = То с выражениями кинетической энергии неизменяемой системы при поступательном движении, при движении твердого тела вокруг неподвижной точки и т. д., то становится ясным, что в одних случаях коэффициенты Про можно рассматривать как величины, аналогичные массе, в других — как величины, аналогичные моментам инерции, и т. д. Поэтому коэффициенты Про иногда называют коэффициентами инерции. [c.130] В правых частях этих уравнений находятся силы, не определяемые функцией П. [c.132] Как указывалось выше, из принципа Даламбера — Лагранжа можно вывести основные теоремы динамики системы. [c.132] Рассмотрим так называемый обобщенный интеграл энергии, который можно получить из уравнений 11. 31) или при дополнительных частных предположениях — из уравнений (11.32). [c.132] Возвратимся к равенству (II.33). Рассматривая это равенство, приходим к выводу, что оно является обобщенны.м выра-жение.м теоремы об изменении кинетической энергии несвободной системы, охватывающим случаи движения системы в консервативном поле при дополнительном действии сил сопротивления и наличии стационарных и нестационарных геометрических связей. [c.133] Остановимся теперь на частных случаях. [c.133] Если связи стационарны, то обобщенный интеграл энергии сводится к обычному интегралу энергии. [c.134] Постоянная к называется постоянной энергии и определяется из начальных условий. [c.134] Сделаем теперь несколько обобщающих замечаний. [c.134] Уравнения Лагранжа второго рода в форме (11.31) или (П. 32) при некоторых обобщающих предположениях о составе функции Е могут описывать различные физические процессы. Здесь мы не будем углубляться в этот вопрос, а заметим лишь, что почти все сказанное дальше в этом параграфе об обобщенном интеграле энергии остается справедливым и для более общих случаев физических процессов. Теряют смысл лишь заключения, основанные на разложении функции I на кинетическую и потенциальную энергии. Если такое разложение возможно, система называется динамической. [c.134] При доказательстве соотношения (11.36а) предполагалось, что функция Е не зависит явно от времени. Это, конечно, бывает в случае стационарных связей и стационарного силового поля. Но обратное заключение, вообще говоря, неверно. [c.134] Действительно, приведем пример системы с нестационарными связями, движущейся в стационарном силовом поле и имеющей функцию Лагранжа, не зависящую явно от времени. [c.134] Очевидно, связи, определенные уравнениями ( ), геометрические, причем вторая связь — нестационарна. [c.134] Из выражения (Н) видно, что I не зависит явно от времени, хотя связи (к) нестационарны. Если предположить, что угловая скорость со зависит от времени, функция L будет явно зависеть от времени и интеграл (II. 36а) не существует. [c.135] Вернуться к основной статье