Области непрерывных и разрывных решений

Области непрерывных и разрывных решений [c.124]

Таким образом, в зависимости от положения заданной концевой точки контура сопла в плоскости х, у могут реализовываться непрерывные и разрывные решения без торца и такие же решения с торцами. Для определения областей этих решений при х = 1,4 выполнены расчеты оптимальных осесимметричных сопел с плоской звуковой поверхностью. Результаты расчетов представлены на рис. 3.39а. [c.141]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Излагаемые ниже экстремальные принципы относятся к предельному состоянию (в момент возникновения пластического течения). При этом в теле, вообще говоря, будут как пластические, так и жесткие области. Последние испытывают лишь жесткие перемещения и в них скорость деформации равна нулю. Вследствие этого энергетические уравнения, аналогичные приведенным в предыдущих параграфах, можно писать по отношению ко всему телу (включая жесткие области). В самом деле, пусть тело содержит пластическую (Vn) и жесткую (VhO области, разграниченные поверхностью i , на которой предполагаем непрерывными скорости и компоненты напряжения (разрывные решения см. ниже). Для пластической части (это уравнение выводится аналогично уравнению (20.7)) [c.86]

Замечания. 1°. Возможности решения задачи 1.3.2 можно несколько расширить [Воротников, 1998], если использовать управления, являющиеся дробными функциями фазовых переменных. Такие управления, вообще говоря, разрывны в области (1.2.2) однако в качестве допустимых выбираются только те их них, для которых правая часть замкнутой системы (1.3.3) непрерывна и удовлетворяет стандартным предположениям относительно правой части системы (1.2.1). (В этом случае речь не идет об использовании разрывных управлений, приводящих к системам с переменой структурой [Емельянов, 1967 Уткин, 1981, Емельянов, Коровин, 1997].) В частности, демонстрируется [Воротников, 1998] возможность использования управлений, работающих в режиме неопределенность типа 0/0 при i-> оо. [c.52]

Основные представления об ударных волнах были даны в гл. I. Показано, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости допускают существование разрывных решений, которые описывают ударные волны. Гидродинамические величины плотность, давление, скорость по обе стороны поверхности разрыва связаны между собою разностными уравнениями, соответствующими дифференциальным уравнениям, которыми описываются области непрерывного течения. И те и другие уравнения являются выражением общих законов сохранения массы, импульса и энергии. Из законов сохранения следует, что на поверхности разрыва испытывает скачок (возрастает) и энтропия вещества. Величина возрастания энтропии в ударной волне определяется только условиями сохранения массы, импульса и энергии и термодинамическими свойствами вещества и совершенно не зависит от механизма диссипации, приводящего к росту энтропии. [c.359]

В ряде задач газовой динамики для идеального совершенного газа и во многих других случаях требование непрерывности по координатам искомых решений в области 3), занятой средой, приводит к отсутствию существования решений. Снятие требования непрерывности и допущение кусочной гладкости искомых решений обеспечивает при соответствующей постановке задачи существование и единственность решения. Получающиеся разрывные решения могут хорошо соответствовать реальным эффектам, наблюдаемым на практике. [c.353]

СЕ непрерывны и легко вычисляются, поскольку эти границы известны. Касательные составляющие скорости вдоль указанных линий раздела разрывны. Поля скоростей в пластических областях АВС, СОЕ определяются единственным образом решением начальных характеристических задач. Таким образом, поле напряжений и скоростей согласованы (можно показать, что в каждой точке поля рассеяние положительно). [c.170]

Кроме того, существует принципиальное ограничение применения метода прямых. В процессе сведения исходных уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям мы опирались на непрерывность искомых функций и их производных во всей области интегрирования. Но, как показано при описании метода сеток, температуры при скачкообразном возмущении на входе терпят разрыв, распространяющийся со временем прохода среды. Поэтому, строго говоря, метод прямых не следует применять при ступенчатых возмущениях для теплообменников, обладающих транспортным запаздыванием. Выделить разрывную часть решения удается только в простейших случаях. [c.90]

Существование и единственность указанного выше решения имеют место при выполнении условий гладкости дуги АВ и непрерывности начальных данных. Если же производные начальных данных разрывны в некоторой точке С, то упомянутые результаты будут справедливы лишь в треугольных областях АСР , ВСР". Решение можно строить и в остальной части области СР РР", но вдоль характеристик СР, СР" будут разрывны производные решения. Разрывы производных распространяются только вдоль характеристик, причем не могут исчезнуть вдоль последних. [c.151]

Ранее было показано, что при построении разрывных полей скоростей область П течения сплошной среды разбивается на несколько блоков. Внутри каждого блока строится непрерывное поле скоростей, которое, исходя из требований к разрывным КВ-полям скоростей, стыкуется с полями скоростей соседних блоков. При этом только на границах блоков происходит скачкообразное изменение вектора скорости. Построенные таким образом разрывные КВ-поля скоростей можно использовать как решение для последующей корректировки. В частности, введением на стыке блоков переходных зон можно осуществить "склейку" разрывных полей скоростей (п. П3.2) и получить с помощью склеивающих функций непрерывные во всей области С1 поля скоростей. Принципы создания склеивающих функций изложены в п. П3.2. Применение их для построения непрерывных полей скоростей на основе разрывных КВ-полей покажем на примере задачи о прокатке в условиях плоской деформации, рассмотренной в п. 1.2.6. [c.220]

Эффект пограничного слоя и разрывные решения идеальной кеплеровой задачи ([22], [23], [29]). Пусть М риманово многообразие, Е — его замкнутое подмногообразие, IV — нормальное расслоение над Т,, II — трубчатая окрестность I] в М, диффеоморф-ная г-окрестности нулевого сечения (так что (ж, у), ж < г, у Е Т., X ТуТ, можно считать координатами в и). Все векторные поля, о которых далее пойдет речь, принадлежат классу па своей области определения и зависят от параметра О непрерывно в точке а = О относительно топологии равномерной сходимости на компактах. [c.141]

Оптимальный закон управлспия не является непрерывной функцией параметров ф и 0, поскольку приращения обобщенных координат претерпевают разрывы на границах, разделяющих область В и области А и Б. Разрывность оптимальных по объему движения законов управления имеет место и для более сложных манипуляционных систем и обусловлена наличием разрывов частных производных функционала Й объема движения. Поэтому можно поставить задачу синтеза непрерывных законов управления, в той или иной степени приближающихся к оптимальным. Естественным подходом к ее решению представляется введение достаточно близкой к (2) гладкой функции [c.20]

Такие уравнения полезны как в методах решения задач, так и в случаях, когда внутри или на границе области движения некоторые функции и функционалы разрывны. Уравнения получаются интегрированием по I соответствующих интегральных (по объему) выражений рассмотренных выше законов сохранения массы, импульсов и энергии либо интегрированием по и по К их дифференциальных выражений Но в принципе более правильно считать такие разностно-интегральные уравнения МСС аксиомами, непосредственно согласованными с основным постулатом, определяющим функционалы, так как, по существу, в них допускается возможность не непрерывных (по х, () решений, т. е. решений замкнутой системы в обоби енных функциях. [c.166]

Пусть теперь О — произвольная двусвязная область, ограниченная контурами и Гг (Гг расположен внутри Г ). Рассмотрим функцию Лд, образующую крышу максимального объема над областью В. Пусть Г — замкнутая кривая, на которой значения функции Яо совпадают со значениями Хо на Гг. Кривые Гг и Г имеют общие точки. Случай, когда Гг и Г совпадают, соответствует двусвяз-ным областям специального вида. Предположим далее, для простоты, что Гг и Гх имеют только одну общую точку. Обозначим через В область, заключенную между кривыми Гг и Г1, а через В" — область, заключенную между 1 и Г] - Тогда в односвязной области В решение строится по формуле (8.21), причем р ( ) = 0. В областирешение также строится по формуле (8.21), но здесь уже функция р (з) однозначно выбирается из условия непрерывности функции Ыд при переходе через Г1. Отметим, что построенное таким образом решение в области В будет разрывным, причем разрыв функции Ыд идет по интегральной кривой поля V, соединяющей Г с общей точкой Гг и Г . [c.111]

Пусть точка Л расположена так, как это показано на рис. 3.22, и принадлежит области (4.12). Это означает, что в плоскости а,б, точка Л расположена ниже кривой УЗи, определяемой равенством (4.8) при п = 0. На рис. 3.23 точку Л отметим символом Ло в соответствии с индексацией 3.1.2. Очевидно, что из точки Ло для получения решения вариационной задачи необходимо перейти некоторым путем ЛоЛд в область (4.11) так, что точка Лд будет принадлежать этой области. При всяком допустимом непрерывном переходе по крайней мере часть кривой ЛдЛд принадлежит (рис. 3.24) области (4.12). Это означает, что участок ЛдЛд может быть проварьирован так, что величина х уменьшится. Остается использовать разрывный переход из одной области в другую. При безударных течениях допустим только изэнтропический разрыв (3.1.2), обусловленный фокусировкой характеристик первого семейства аНк в точке к (рис. 3.22). Такой переход в плоскости а,1 (рис. 3.23) производится по характеристике второго семейства ЛдЛ] и характеристике первого семейства [c.119]

Однако бывают случаи, когда диференцйальные уравнения дают в качестве решения разрывные функщ и. Тогда, если желательно иметь объяснение всех деталей разрывности, необходимо вернуться назад к дисконтинууму. Такой обратный переход к дисконтинууму необходим иногда и для непрерывных функций, именно --когда последние настолько сильно изменяются в пределах очень небольшой области, что их значения (в нашем примере—плотность") меняются внутри даже самых малых объемов которые еще можно рассматривать как физические индивидуумы. [c.16]

Аналогичное непрерывное решение с особыми точками в концах площадки контакта можно построить для тела, контур которого является вогнутым в сторону тела. Иная картина наблюдается для тела, контур которого выпуклый. Действительно, из формулы (2.7.1) и представлений 1 следует, что на контуре раздела упругой и пластической областей Ь должна равняться нулю касательная составляющая вектора напряжений, т, е. линии скольжения должны быть касательными к контуру Ь. Невозможно построить гладкий контур, опирающийся на выпуклую дугу границы тела, обладающий указанным свойством и удовлетворяющий условию 1тгп1 всюду на границе тела-(т п — граничная нагрузка), для любого конечного числа особых точек на границе тела. По-видимому, решение в пластической зоне всегда разрывно в этом случае. Этот результат созвучен результату А. А. Никольского и Г. И. Таганова в аэродинамике околозвуковых течений, согласно которому задача потенциального обтекания профиля с местной сверхзвуковой зоной является некорректно поставленной [81. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...