Пересечение сферы с конусом

На рис. 368 построена линия пересечения сферы с конусом, направляющей линией которого служит параллель аЬ, а Ь сферы, а вершина ss находится во фронтальной меридиональной плоскости сферы. Эти поверхности заданы фронтальными очерками. [c.258]

Намечаем произвольно образующие конической поверхности. Из вершины, s.s проводим сферу радиусом R и строим линию пересечения сферы с конусом — сферическую индикатрису образующих конуса. [c.288]

Пересечение сферы с конусом [c.123]

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 10.2). [c.129]

На основании изложенного можно найти круговые сечения эллиптического конуса и эллиптического цилиндра (см. стр. 194). Пример дан на рио. 405. Взята некоторая сфера так, чтобы она имела двойное соприкосновение с поверхностью эллиптического конуса. В пересечении сферы с конусом получаются две плоские кривые — окружности в профильно-проецирующих плоскостях 7 и Р (показаны профильные следы этих плоскостей). Плоскости, параллельные плоскостям Г и О, дают две системы круговых сечений эллиптического конуса [c.279]

Итак, мы должны провести сферу, центр которой лежит, во-первых, на оси конуса, а во-вторых, на прямой /Сх. Такой центр Сг вполне определяется двумя этими прямыми, и мы можем провести сферу с центром Сх и радиусом Схв , на пл. V показана часть проекции с ры — дуга окружности. В пересечении сферы с конусом получается окружность, проецирующаяся в виде отрезка, проходящего через точку >1 пересечение же с кольцом — по указанной выше окружности, проецирующейся в виде отрезка на следе Рх . В пересечении этих прямых и найдена точка Г — проекция одной из точек искомой линии. [c.287]

В некоторых случаях бывает затруднительным определение опорных точек, необходимых для правильного построения линии пересечения. Так, на рис. 6.10 -пересечение конуса и сферы - линия пересечения построена вначале без определения точек Ей F неявные опорные точки) на пересечении профильного меридиана т сферы с конусом. Искать эти точки с помощью вспомогательной плоскости, проходящей через эту окружность, нецелесообразно, потому что плоскость пересечется с конусом по гиперболе. Но когда построены фронтальная и горизонтальная проекции кривой, легко отметить на них проекции указанных точек и найти их профильные проекции и F , необходимые для построения профильной проекции линии пересечения, на проекции меридиана т -окружности. [c.125]

Построить проекции крышки подшипника. Найти линии пересечения сферы с цилиндрами, сферы с плоскостями, цилиндра с конусом и цилиндра с цилиндром. Найти натуральную величину косого сечения и относительное положение отдельных элементов, взятых на детали (рис. 234). [c.160]

Характеристические же направления (7.2.76) ограничивают проекцию характеристического конуса с вершиной на данной координатной сфере на касательную плоскость к ней. Поэтому, кроме случая = 0, линии возможного пересечения координатной сферы с конусом Маха с вершиной на ней лежат внутри упа между линиями (7.2,76). [c.194]

Пример 2. Построить пересечение сферы с усеченным конусом (рис. 108). [c.103]

На рис. И, в изображено пересечение полусферы с конусом второго порядка, основание которого совпадает с большим кругом полусферы. Эти поверхности пересекаются по двум плоским кривым — окружностям, одна из которых совпадает с основанием конуса и полусферы, а опорные точки второй кривой определяются в пересечении контурных образующих конуса с очерком сферы — точки и [c.108]

При последовательном качении большого круга по основным конусам Кг и /Са получаем сопряженные сферические эвольвенты Эх и 5а, описываемые на сфере точкой Р. Если точки полученных сферических эвольвент Э и 5а соединить с центром О сферы, то получим сопряженные конические поверхности, очерчивающие боковые части зубьев касание их в момент зацепления будет всегда происходить в плоскости большого круга, часть которого, ограниченная линиями пересечения его с конусами головок, будет представлять собой плоскость зацепления. [c.291]

На рис. 207 показаны фронтальные проекции а и кривых второго порядка (в данном случае окружностей), полученных при пересечении сферы с эллиптическим конусом. Так как конус имеет круговое основание, а общая плоскость симметрии поверхностей параллельна П , то окружность а, находящаяся в плоскости, параллельной основанию конуса, является первой линией пересечения, а второй линией пересечения является окружность Ь. [c.171]

Точка оо пересечения перпендикуляра с осью конуса вращения (поверхности вращения) является центром вспомогательной секущей сферы соответствующего радиуса R. Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и данную поверхность по окружностям, фронтальные проекции которых— отрезки прямых. Точки пересечения окружностей принадлежат искомой линии пересечения поверхностей. [c.229]

Как и в предыдущем примере, описываем сферу с центром в точке О на оси конуса так, чтобы она имела двойное прикосновение с конусом. В точках М и V у обеих поверхностей общие касательные плоскости 2 и 2 Тогда линия пересечения распадается на пару окружностей АВ и СО, рас- [c.196]

В главе 6 рассматривается построение линии взаимного пересечения поверхностей на примерах соосных поверхностей вращения, взаимно перпендикулярных цилиндров, конуса с цилиндром, тора с цилиндром, сферы с цилиндром, двух соприкасающихся поверхностей второго порядка. [c.117]

Отметим, что центр 0- второй сферы сместился относительно центра Ох первой сферы. Каждому круговому сечению наклонного цилиндра, используемому для построения линии пересечения, соответствует свой центр на оси конуса. Это и является основанием для названия способа — способ сфер с переменным центром. [c.137]

Для определения точки ( 2) пересечения, которая является фаницей видимости на виде сверху цилиндра можно поступить следующим образом. Возьмём параллель конуса, лежащую в одной плоскости а(а2) с образующими, и отметим на ней точку К2. Из этой точки построим перпендикуляр к образующей конуса, в пересечении которого с осью /(/2) возьмём центр сферы 0"2- Если построить сферу радиуса R" = [0"2К2], то она будет вписана в конус и коснётся его по параллели точки К(К2). Эта же сфера пересечёт цилиндр по окружности в плоскости у"(у"2), пересечение которой с параллелью определит точку С(С2). Эту же точку можно определить без построения сферы и плоскости у", если из точки 0"2 провести прямую перпендикулярно направлению посредников у до пересечения с q2, т.е. С2 = Ц2П(0 2С2), а (0 2С2)-1у2. [c.213]

Промежуточные точки линии пересечения определены с помощью сфер, проведённых из центра О2, радиусы которых больше радиуса Rmi - радиуса наименьшей сферы, но меньше радиуса наибольшей сферы, которая может быть проведена через наиболее удалённую точки 1г линии пересечения. Ввиду того, что точка 2 определяется с помощью общей плоскости симметрии Ф(ФО, нет необходимости использовать сферу наибольшего радиуса. Определение промежуточных точек линии пересечения можно видеть на примере построения точек 5 и 6. Фронтальные проекции 52, 62 этих точек получены в пересечении линий 32 и Ьг, которыми изображаются фронтальные проекции соответствующих окружностей а и Ь. как принадлежащих одной и той же вспомогательной сфере-посреднику, соосной с данными поверхностями. Горизонтальные проекции 5ь 61 точек 5 и 6 построены при помощи окружности-параллели а конуса с осью i. [c.101]

Проведём проецирующую плоскость у(у2) параллельно круговому сечению цилиндра. Она рассечет цилиндр по окружности m(m2), которая изобразится отрезком внутри очерка цилиндра. Из проекции центра т2Пч2 окружности проводим прямую п(п2) перпендикулярно плоскости 7(72)- В точке О2 П2П/2 (пересечения нормали с осью конуса) будет центр сферы радиуса R (центр окружности, для которой прямая m2 является хордой). Точка пересечения очерка сферы с очерком конуса определяет положение параллели р(рг) пересечения сферы с конусом. Вторая точка пересечения очерков сферы и конуса, а следовательно вторая параллель, лежит за пределами опорной точки В2 и нам не нужна, т.к. она не будет пересекаться с проекцией m2 кругового сечения. В пересечении кругового сечения m(m2) с параллелью конуса р(р2) получим пару конкурирующих случайных точек 1, Г. На изображении отмечена проекция Ь = П12ПР2 точки 1 линии пересечения, а конкурирующая точка не обозначена, чтобы не загромождать изображение. [c.213]

Сравнивая эти результаты с соответствующей формулой для скорости движения точки L, приведенной в п. 165, видим, что для каждого утверждения, относящегося к движению точки L по ее сфероконической кривой, имеется соот-ветству1он ее утверждение, относящееся к движению точки I. Например, обозначая через S фокус сфероконической кривой, образованной пересечением сферы с конусом. мгновенных вращений, вндим на основании результатов примера 1, что проекция скорости точки / на перпендикуляр к дуге S I равна постоянному коэффициенту, умноженному на os LI. Этот постоянный коэффициент равен коэффициенту примера 1, умноженному на G iTAB. [c.128]

НИК. Линии, делящие пополам углы между диагоналями прямоугольника, и будут те образующие, по которым проведенная плоскость рассекает конус постоянных направлений. Так как эти образующие параллельны сторонам прямоугольника, то получаем следующее простое построение конуса постоянных направлений. Начертив на сфере следы конуса равного удлинения, соответствующего оси вращения, строим конус, и.неющий вершиной точку пересечения сферы с осью вращения, а основанием — два полученных следа-, найденный конус будет отличаться от конуса постоянных направлений только местом вершины. [c.49]

Зв Красивый способ решения задачи на пересечение сферы и конуса можно с успехом распростршить и ва случаи других поверхностей, как-то [c.279]

Действительно, круговое сечение цилиндра можно принять за параллель некоторой сферы. Например, окружность радиуса ell (рис. 263, 6) может быть параллелью многих сфер, центры которых располагаются на прямой, проведенной через j перпендикулярно к плоскости параллели. Если же мы на этом перпендикуляре возьмем точку в пересечении с осью конуса, то такую точку (с фронт проекцией 0 ) можно принять за центр сферы с радиусом 0 1, пересекающей цилиндр по окруж--НОШХааддаз li э конус вращения — по окружности с диаметром 2 3. Отсюда мы получаем точки, фронт, проекции которых сливаются в одну точку е (одна из этих точек — на обращенной к нам части линии пересечения, другая — на ей симметричной). [c.220]

Для определения точки С(С ) пересечения, которая является границей видимости на виде сверху цилиндра,можно поступить следующим образом. Возьмём параллель конуса, лежащую в одной плоскости с образующи.ми, и отметн.м на ней точку Кт. Из этой точки построим перяендщсуляр к образующей конуса, в пересечении которого с осью /(Ь) возьмём центр сферы О" . Если построить сферу радиуса R" = [0 2К2], то она будет вписана в конус и коснётся его по параллели точки К(К ). Эта же сфера пересечёт цилиндр по окружности в пппг.к-п-сти у Ху з), пересечение которой с параллелью определит точку 0(0 ). [c.190]

Через точки сопряжения очерковых линий проведены граничные, параллели а, Ь (окружности), по которым поверхности касаются друг друга, образуя плавные переходь . После среза заготовки головки двумя фронтальными плоскостями Г и Л передняя и задняя линии среза (их фронтальные проекции совпадают) составляются из дуги /—2—3 окружности (срез на сфере), дуг 1—6 и 3—4 кривой Персея (срез на торе) и дуги 5—6—4 гиперболы (срез на конусе), стыкующихся на соответственных граничных параллелях а и Ь. Промежуточные точки кривых строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей, перпендикулярных оси вращения х, как это показано для точек А В, являющихся точками пересечения параллели с с плоскостью Г. [c.103]

Промежуточные точки искомой кривой определяем также с помощью вспомогательных плоскостей. Плоскости, параллельные П , здесь не пригодны - они пересекли бы конус по гиперболам. Проведем произвольно в пределах между точками Л и 5 линию - проекцию плоскости е. Она пересекает сферу и конус вращения по окружностям. Радиус окружности - линии пересечения плоскости е с конусом - равен расстоянию от оси конуса до точки 2 , лежащей на контурной образующей конуса радиус окружности - линии пересечения плоскости е со сферой - равен расстоянию от оси сферы до точки 3 лежащей на его меридиане. На пересечении горизонтальных проекций этих окружностей находим проекции М промежуточных точек линии пересечения, проецируем на фронтальную проекцию плоскости и находим проекции М , затем - их проекции MjVi Му посредством координаты [c.124]

Чтобы конус вращещя пересекался вспомогательной секущей сферой по окружности, необходимо, чтобы центр такой сферы находился па оси конуса вращения. Точка пересечения перпендикуляра с осью конуса вращения является центром вспомогательной секущей сферы соответствующего радиуса. Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых — отрезки прямых. Точки пересече ния окружностей принадлежат искомой линии пересечения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса вращения. [c.25]

На чертеже границами поверхностей вращения являются линии касания или пересечения элементарных поверхностей. Их проекции в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси вращения, проводят через проекции точек сопряженния или пересечения образующих. Так, на рисунке 9.14 граница между сферой и конусом проведена через точку сопряжения дуги радиуса Е[ и образующей конуса. Эта точка определена с помощью перпендикуляра из проекции О центра сферы к образующей конуса. Граница между конусом и тором с радиусом образующей Л2 проведена через точку касания образующей конуса и дуги радиуса Л2. Тоска сопряжения определена с помощью перпендикуляра, проведенного из центра дуги радиуса Яг к образующей конуса. Граница между тором с радиусом образующей Яг и тором с радиусом образующей Яг проведена через точку сопряжения дуг с радиусами Яг и Я . Точка сопряжения найдена с помощью прямой, соединяющей центры дуг. Границы между тором с радиусом образующей Яг и цилиндром, между этим же цилиндром и тором с радиусом образующей Я, проведены через точки сопряжения дуг указанных радиусов с образующей цилиндра. [c.121]

Общие положения. Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения — окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. На рисунке 10.3 показана фронтальная проекция пересечения сферой радиуса Я поверхностей вращения — конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы радиуса К и параллельны плоскости V. Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость V в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. В данном параграфе рассмотрим применение вспомогательньгх концентрических сфер—сфер с постоянным центром. [c.131]

Построение линии пересечения конуса с тором. Заметим, что линия пересечения конуса с тором в данном случае симметрична относительно фронтальной плоскости, проходящей через оси пересекающихся поверхностей. Фронтальные проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпадают. Поэтому в дальнейщем изложении будут указываться построения проекций только видимых точек линии пересечения. Характерными точками искомой линии пересечения являются высщая с проекцией Г, низщая с проекцией е и ближайщая к оси тора с проекцией с. Проекция 1 определяется точкой пересечения фронтальных проекций очерков тора и конуса. Проекция построена с помощью сферы Она пересекает тор и цилиндр по окружности, проецирующейся в отрезок прямой, проходящей через проекцию 7(9 перпендикулярно их оси, и конус по окружности, проецирующейся в отрезок прямой, проходящей через проекцию 77 перпендикулярно оси конуса. Проекция с построена с помощью вспомогательной сферы минимального радиуса Кт, . Его находят как радиус сферы, касательной к одной из поверхностей вращения и пересекающей другую. В данном случае радиус такой сферы определен проекцией 6, в которой проекция образующей окружности 7 тора пересекает линию о о. Сфера радиуса 7 т,п касается тора по окружности с проекцией (5 7 и пересекает конус по окружности с проекцией Для построения проекции п произвольной точки линии пересечения конуса и тора пересечем их сферой 7 с центром в точке с проекцией о. Эта сфера пересекает конус по окружности с проекцией в виде отрезка 2 3, тор по окружности с проекцией в виде отрезка 4 5. В пересечении этих проекций находим проекцию а. Аналогично строят про- [c.132]

В некоторых случаях расположение, форма или соотноще-ния размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пересечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечения цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей верщиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы. [c.138]

Из точки О2 проведём перпендикуляр к очерковой образующей конуса. Его основание L2 будет принадлежать параллели касания сферического посредника радиуса Rmm [O2L2] с конусом, а с цилиндром эта сфера пересечется по параллелям m(m2) и m (m 2), пересечение которых с параллелью конуса определит точки р2 и Е2 линии пересечения. Цилиндр дважды пересекает коническую поверхность. Линии пересечения симметричны относительно общей плоскости симметрии, образованной осями /flq, и на фронтальную плоскость проецируются кривыми второго порядка (гиперболами). [c.209]

Для построения промежуточных (произвольных) точек используем плоскость Р( 2), которая пересекает эллиптический конус по окружности b(b2), проекцией центра которой будет точка К2. Так как вспомогательная сфера-посредник должна включать в себя окружность b(b2) и быть соосной с конусом вращения, то центр этой сферы 0(02) должен находиться на оси i. Для этого в точке К(К2) восстановим перпендикуляр к плоскости РСРг), в которой находится окружность b(b2), до пересечения его с осью i. Из полученного центра 0(02) проводим вспомогательную сферу, которая включает в себя окружность Ь(Ъ2). Эта сфера пересекает конус вращения по окружности а(а2). Окружности а и Ь, как лежащие на одной сфере, пересекаются в точках 3(3г) и 4(4i). Эти точки [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...