Проведение плоскостей, касательных к кривым поверхностям

Проведение плоскостей, касательных к кривым поверхностям [c.224]

При изображении кривых поверхностей и при выполнении связанных с ними построений может оказаться необходимым проведение плоскости, касательной к поверхности. [c.224]

Следовательно, положение плоскости а, касательной к поверхности в данной точке А. можно определить двумя прямыми аиЬ, каждая из которых является касательной к кривой, проведенной по поверхности через точку А. На черт. 284 прямые а и Ь — касательные к кривым f и /. [c.130]

При решении задачи на пересечение поверхности прямой линией может оказаться, что данная прямая не пересекает, но лишь касается кривой, ограничивающей фигуру, получаемую при пересечении данной поверхности плоскостью, проведенной через прямую. В этом случае прямая является касательной к данной поверхности. [c.262]

В особых точках касательная плоскость или не определяется единственным образом, или не существует вообще. Точки, в которых можно провести единственную касательную плоскость, называют обыкновенными. Наконец, введем еще одно понятие — понятие нормали к поверхности. Так называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Очевидно, что задачи на проведение нормалей к кривым поверхностям, по существу, сводятся к задачам на построение касательных плоскостей. [c.199]

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой ее точке, называют плоскость, образованную касательными, проведенными к всевозможным кривым, пр1 надлежащим поверхности и проходящим через ту же точку . [c.176]

Перейдем теперь к определению касательных плоскостей к кривым поверхностям, проведенных через точки, не лежащие на поверхности. [c.65]

На рис. 401 показана обращенная к оси вращения часть тора, в точке сс которого построена касательная к нему плоскость. Точка сс находится во фронтальной меридиональной плоскости. Касательная плоскость Qv является фронтально-проецирую-щей и определяется касательными tit i и tit i, проведенными к фронтальному меридиану и соответствующей параллели. Касательная плоскость Qy пересекает поверхность тора по кривым линиям, которые между собой пересекаются в точке сс. Касательные tt к этим кривым линиям в точке их пересечения сс являются главными касательными поверхности тора в точке сс. [c.278]

Каждую бесконечно узкую ленту можно рассматривать принадлежащей торсу, который огибает касательные плоскости к поверхности, проведенные в точках построенной на поверхности кривой линии. Касательные плоскости определяются образующими поверхности, проходящими через точки касания, и касательными, проведенными в точках касания к кривым линиям, построенным на поверхности. [c.394]

Касательная плоскость 2 к поверхности Ф в точке М однозначно определяется двумя касательными проведенными к кривым т , [c.132]

Очевидно, что для построения касательной плоскости в данной точке поверхности с помощью прямых, достаточно в этой точке провести к поверхности две касательные прямые. Последние можно построить с помощью каких-нибудь двух простых по форме плавных Кривых, проведенных через данную точку М. (рис. 306). [c.248]

Если заставить катиться и вертеться без скольжения по неподвижной плоскости II произвольную поверхность второго порядка с неподвижным центром О, то геометрическим местом точек касания т на неподвижной плоскости будет обобщенная герполодия. Радиус-вектор герполодии, проведенный из основания Р перпендикуляра ОР к плоскости II, и касательная к этой кривой в т будут двумя сопряженными касательными катящейся поверхности. Для того чтобы радиус-вектор Рт не вращался все время в одном направлении или чтобы кривая имела точки возврата, необходимо, чтобы радиус-вектор мог совпадать с касательной. Эти два сопряженных, направления могут совпадать лишь тогда, когда поверхность второго порядка имеет противоположные кривизны, т. е. когда она является однополостным гиперболоидом (Дарбу, там же). [c.201]

Несмотря на многообразие методов решения задач проведения торсовой поверхности по двум заданным направляющим кривым, все они основаны на едином принципе образующие торсовой поверхности проходят через те точки направляющих кри-вых, касательные к которым лежат в одной плоскости. [c.29]

Рассечем винтовую поверхность канавки и фрезу плоскостями, перпендикулярными к оси оправки фрезы. В каждом сечении получится кривая — след пересечения винтовой поверхности с секущей плоскостью и некоторая окружность фрезы. Профиль фрезы можно рассматривать как состоящий из профилирующих точек, расположенных на соответствующих окружностях, т. е., другими словами, фрезу можно себе представить как целый ряд тонких дисков, сложенных вместе, причем на окружности диска лежит одна профилирующая точка. Каждая кривая сечения сверла имеет точку соприкосновения с соответствующей окружностью фрезы. Все точки соприкосновения сверла и фрезы, расположенные в заданных секущих плоскостях, образуют линию контакта, а сопряжение окружности определяют радиусы окружностей фрезы, на которых лежат соответствующие профилирующие точки. Зная радиусы окружностей фрезы, можем по ним построить и профиль фрезы. Таким образом, задача определения профиля фрезы сводится к построению кривых сечений канавки сверла и проведению окружностей фрезы, касательных к соответствующим кривым. [c.397]

Для проведения касательной в данной точке кривой удобно пользоваться линейкой с боковой зеркальной поверхностью, перпендикулярной плоскости линейки (такой прибор можно получить, приклеив к боковой поверхности обычной логарифмической линейки полоску разглаженного станиоля). Линейку, приложенную в данной точке кривой (поперек кривой), поворачивают до тех пор, пока продолжение кривой в зеркале не будет видно без заметного излома. Тогда направление линейки дает направление нормали, а перпендикуляр к ней — направление касательной в данной точке кривой. Если вместо зеркала используется полоска станиоля, кривую лучше предварительно обвести тушью. [c.168]

Касательной плоскостью к поверхности в данной точке называют плоскость, содержащую множество прямолинейных касательных, проведенных к кривым, проходящим через данную точку. Плоскость может касаться поверхности в точке, если поверхность выпуклая (рис. 110), и по прямой линии, если поверхность линейчатая развертываемая, например цилиндр или конус вращения. Плоскость, касаясь вогнутой поверхности в точке, может одновременно пересекать ее, например поверхность однополостного гиперболоида вращения (рис. 111). [c.81]

Касательная плоскость Р к поверхности Ф в точке М определяется двумя касательными и 2, проведенными к двум кривым линиям /1 и 2 поверхности, проходящим через точку М (см. рис. 110). В дифференциальной геометрии доказывается, что касательные и 12 К двум Кривым, проведенным на поверхности через точку М и имеющим экстремальные значения кривизны (максимальную и минимальную), образуют между собой прямой угол и являются так называемыми главными направлениями [1]. [c.81]

Из точки т ведем в соприкасающейся плоскости перпендикуляр к ОВ. Пересечение этого перпендикуляра с плоскостью Р и даст конец вектора ускорения точки В. Для нахождения ускорения точки С находим по предыдущему проекции этого ускорения на направления ВС я АС, пусть это будут отрезки Сп и Сш (фиг. 10). Через точки пят проводим плоскости Р и Р, соответственно перпендикулярные к сторонам АС и ВС. На линии их пересечения должен лежать конец вектора J —ускорения точки С. Далее необходимо рассмотреть, какую траекторию описывает точка С на поверхности, по к-рой она перемещается. Из плана скоростей мы имеем вектор ее скорости V(J (фиг. 11), т. е. направление, касательное к ее траектории. Проводим нормаль СК к поверхности через точку С. Находим сечение этой поверхности плоскостью, содержащей и ск, и центр кривизны О этого сечения. Возможные траектории для точки С будут иметь соприкасающимися плоскостями плоскости, содержащие V какая-нибудь из этих плоскостей пересечет поверх- ность по нек-рой кривой с радиусом кривизны тем же самым, что и радиус кривизны той неплоской кривой, для которой проведенная плоскость в данный момент является соприкасающейся. Если к нормальному сечению провести плоскость под углом а, то радиус кривизны д этого сечения выразится [c.159]

Можно доказать, что все касательные в точке А к линиям, проведенным на поверхности через эту точку, лежат в одной плоскости эта плоскость называется касательной к поверхности в точке А. Таким образом, касательная плоскость к поверхности в точке А (рис. 4) представляет собой геометрическое место касательных векторов к кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку А. Вблизи точки касания поверхность как бы сливается с касательной плоскостью. [c.14]

В виду того, что всякая кривая поверхность может быть образована многими способами посредством движения кривых линий, то, рассматривая в любой точке поверхности две различные образующие в том положении, которое они должны занимать, проходя через эту точку, мы можем провести в этой точке касательные к каждой из образующих плоскость, проведенная через обе касательные, есть касательная плоскость. Та точка поверхности, где пересекаются обе образующие и которая в то же время является общей для обеих касательных и касательной плоскости, есть точка касания поверхности и плоскости. [c.45]

Итак, чтобы определить положение плоскости неопределенными касаниями с заданными кривыми поверхностями, их должно быть, вообще говоря, три. Таким образом, если бы задача состояла в проведении касательной плоскости к заданной кривой поверхности, это условие было бы равносильно только одному из трех, которым должна удовлетворять плоскость можно было бы задать произвольно еще два условия, например, чтобы плоскость проходила через две заданные точки или, что равносильно, через заданную прямую. Если бы требовалось, чтобы плоскость была касательной одновременно к двум поверхностям, то были бы использованы только два условия можно было бы воспользоваться еще одним и, следовательно, поставить требование, чтобы плоскость проходила еще через одну заданную точку. Наконец, если плоскость должна касаться одновременно трех поверхностей, мы не можем располагать больше ни одним условием, и тем самым положение плоскости будет определено. [c.61]

Предположим, например, что центр шара радиуса А расположен в точке пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей опустим из некоторой точки его поверхности перпендикуляры на все три плоскости в обозначим их буквами X, у, г очевидно, что радиус шара, проведенный к рассматриваемой точке, будет диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами х, у, г, что его квадрат будет равен сумме квадратов трех ребер, и, таким образом, мы будем иметь уравнение у = А Если предположить, что точка меняет свое положение на поверхности шара, то и расстояния ее X, у, 2 до перпендикулярных плоскостей изменятся, но расстояние до центра не изменится, и сумма квадратов трех ее координат, всегда равная квадрату радиуса, будет сохранять то же значение между координатами этой точки будет продолжать существовать соотношение, выраженное уравнением х у = А Это уравнение, справедливое для всех точек поверхности шара, — и только для них — представляет собою уравнение его поверхности. Каждая кривая поверхность выражается своим уравнением и если не всегда легко выразить это уравнение в таких простых величинах, как расстояния дг, у, г, то всегда можно это сделать, пользуясь более сложными выражениями, как, например, наклонами касательных поверхностей или радиусами кривизны для нашей цели достаточно одного приведенного примера. [c.91]

Чтобы получить касательные к этим кривым в точках Р, р, построим горизонтальный след Р У плоскости, касательной в этой точке к первой цилиндрической поверхности затем построим след О У плоскости, касательной в той же точке ко второй цилиндрической поверхности прямая, проведенная из точки Р в точку У пересечения этих следов, будет касательной в Р. Наконец, проектируя У на ЬМ в точку у и проводя прямую ру, получим касательную в точке р вертикальной проекции. [c.126]

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный через точку касания. При этом под касательной плоскостью понимают плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через данную точку. [c.32]

Нормаль поверхности. Прямая п, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью поверхности в данной ее точке (рис. 309). Нормаль поверхности в данной ее точке можно рассматривать как линию пересечения нормальных плоскостей к двум кривым, проведенным на поверхности через данную ее точку. [c.291]

Резюме. Касательная плоскость в обыкновенной (не особой) точке поверхиости определяется касательными прямыми к двум любым кривым, проведенным на поверхности через данную точку. [c.293]

Напряжения в изогнутой пластинке или оболочке. Упругие усилия и моменты в изогнутой оболочке или пластинке, при значительном изгибе последней, могут быть определены тем жг приемом, которым мы пользовались в 294 для случая малой дгформации пластинки. Пусть будет кривая, проведенная на деформированной средней поверхности, V — нормаль к этой кривой, лежащая в касательной плоскости к поверхности и проведенная из точки в ту или другую сторону, выбранную определенным образом. Мы предположим, что положительное направление на кривой выбрано таким образом, что нормаль V, касательная к 5, и нормаль к поверхности, проведенная из Р в направлении, выбранном для нее за положительное, образуют правую систему. Через касательную к 5 в ЯJ проведем нормальное сечение деформированной средней к поверхности и отметим на нем плоский элемент, ограниченный нормалью к поверхности в точке и нормалью к (плоской) кривой, получающейся в сечении, в соседней ее точке P . Усилия, приложенные к этому элементу и развиваемые частью оболочки, находящейся по ту сторону от х, куда направлена нормаль V, на остальную часть, могут быть приведены к силе, приложенной в /э,, и паре. Средние значения этой силы и пары на единицу длины дуги Р Р1 получаются делением величин силы и пары на эту длину. Пределы этих средних значений суть упругое усилие и момент, отнесенные к кривой 5 в точке Р . Мы обозначим их так жг, как в 294, через Т, 5, Л/, //, О. Для того чтобы их определить, возьмем временно оси х, у, г, направленные соответственно по нормали V, касательной к кривой 5, и нормали 1 средней поверхности в точке PJ, и через Л ,,. .. обозначим компоненты напряжения относительно этих осей. Тогда, обозначая через / радиус кривизны нормального сечешя, плоскость которого проходит через-касательную к 5 в имеем [c.554]

Когда говорят об углах, составленных кривыми линия.ми и поверхностями, имеют в виду углы, образованные каштельными прямыми и плоскостями. Так, например, угол между двумя кривы.ми линиями в их общей точке измеряется углом, составленным касательными прямыми, проведенными в их общей точке к данным кривым линиям. Угол мбжду кривой линией и поверхностью в их обшей точке равен углу, составленному касательными прямой и плоскостью, пo тpoeннымJ в ОТОЙ точке соответственно к кривой линии и поверхности. [c.162]

С другой стороны, мы зидели выше, что с уменьшением г происходит выравнивание напряжений, заданных на боковой поверхности цилиндра. При нашем предположении, что нагрузка приложена исключительно иа круговом контуре сечения д =0, для всех остальных поперечных сечений х, при перемещении от наружной поверхности внутрь, сперва напряжения будут расти от. нулевого значения на боковой поверхности до некоторого максимального значения, после чего, при дальнейшем продвижении -внутрь, эти напрям<ения начнут уменьшаться. Укажем лишь, что геометрическое место точек, в которых нормальное напряжение з,. для соответствующего сечения достигает наибольшего значения, пересекает плоскость, проведенную через ось цилиндра, по кривой, образующей на контуре сечения О острый угол, причем касательные к ней в вершине этого угла идут внутрь цилиндра под углом 45° по разные стороны от сечения д =0. [c.194]

Часть этой кривой / // — четверть окружности, а потому верхняя поверхность овоида представляет полусферу. Секущая плоскость пересекает ее по полуокружности, проведенной из центра О (о ) радиусом аЬ — Ьс=о а =о с. Нижняя точка F f, f ) сечения получится, если иа горизонтальной проекции овоида из точки О провести окружность, касательную к линии се- [c.35]

Для того чтобы положение плоскости было определено, необходимо, чтобы она удовлетворяла трем различным условиям, каждое из которых эквивалентно условию прохождения через заданную точку вообще говоря, свойство плоскости быть касательной к некоторой заданной кривой поверхности, если точка касания не определена, эквивалентно только одному из этих условий. Таким образом, если ставится задача об определении положения условиями такого рода, то их надо иметь, вообще, три. Действительно, вообразим, что мы имеем три заданные кривые поверхности и плоскость, касательную в некоторой точке к одной из них, и положим, что эта плоскость движется вокруг поверхйости, не переставая ее касаться движение может происходить во всех направлениях, но точка касания будет двигаться по поверхности по мере того, как касательная плоскость будет менять свое положение, причем точка касания будет двигаться в том же направлении, что и плоскость. Положим, что это движение происходит в некотором направлении до тех пор, пока плоскость не встретится со второй поверхностью и не коснется ее в некоторой точке тогда плоскость будет одновременно касательной к двум первым поверхностям, но ее положение этим еще не определено. Мы можем предположить в действительности, что плоскость вращается вокруг обеих поверхностей, не переставая касаться той и другой. Она не будет больше, как раньше, иметь свободы двигаться во всех направлениях и сможет совершать движение только в одном направлении. По мере того как плоскость будет изменять свое положение, обе точки касания будут двигаться каждая по поверхности, к которой она принадлежит таким образом, если мы рассмотрим прямую, проведенную через эти дне точки, то движение точек относительно [c.60]

Рис. 309. Касгпельная плоскость определяется двумя касательными к двум кривым, проведенным на поверхности.

Поверхность 2 может содержать особенности в виде ребра возврата L. Все точки L являются особыми точками поверхности а (и, i )-, L — регулярная кривая. Сечение поверхности, проведенное под произвольным углом к L, отличном от нуля, имеет точку возврата на L. В точках ребра возврата L поверхность 2 имеет не касательную плоскость, а континген-цию в виде полуплоскости. Если Р — точка поверхности 2 вблизи точки Zg ребра возврата, то орт-нормали к поверхности [c.87]

Контуром собственной тени будет кривая, по которой заданная поверхность касается лучевого цилиндра. Каждый из световых лучей, касаясь поверхности вращения в некоторой обыкновенной точке А, должен принадлежать касательной плоскости к поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, задачу можно свести копределению геометрического места точек, в которых данная поверхность касается плоскостей, параллельных световому лучу. Для рещения так сформулированной задачи в поверхность вращения вписывают сферы и строят проекции тех окружностей, по которым каждая сфера касается данной поверхности. Так, сфера с центром в точке С касается поверхности вращения по окружности радиуса г. Радиус вспомогательной сферы, проведенный в искомую точку касания, должен быть нормалью к касательной плоскости. Значит, фронтальная проекция радиуса с а должна составлять прямой угол с одноименной проекцией фрон-тали касательной плоскости. В нашем примере касательная плоскость должна быть параллельна фронтально расположенным световым лучам. Вот почему на рис. 484 a перпендикулярна к фронтальной проекции луча. Точка А, в которой радиус пересекает окружность касания сферы и поверхности вращения, будет при- [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...