Общие случаи пересечения плоскостей

Общие случаи пересечения плоскостей [c.56]

В общем случае две плоскости могут принадлежать одна другой или пересекаться. В первом случае практически это будет одна и та же плоскость. Во втором случае пересечение может быть в пределах чертежа в бесконечности — параллельность и под углом 90 — перпендикулярность. [c.64]

В общем случае часть плоскости может быть задана плоской замкнутой линией (треугольник, многоугольник, окружность и т. п.) кривой линией пересечения плоскости с поверхностью (см. 32) или каким-либо другим способом, но это не меняет основного плана решения таких задач. [c.99]

Задача построения линии пересечения тел вращения плоскостью (ее называют линией среза ), т. е. построение в общем случае промежуточных точек решается с помощью вспомогательных секущих плоскостей — посредников , перпендикулярных оси (см. построение точек Е и С на рис. 47). Эти плоскости- посредники — пересекают тело вращения [c.57]

Линией пересечения многогранника плоскостью в общем случае является плоский многоугольник. Такой многоугольник можно построить или по точкам пересечения с плоскостью -ребер многогранника, или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. Задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей. [c.113]

При пересечении между собой поверхностей второго порядка линиями пересечения в общем случае являются пространственные кривые линии. В некоторых частных случаях взаимного расположения поверхностей рассматриваемой группы линиями их пересечения могут быть кривые второго порядка. Известно, что поверхность второго порядка пересекается плоскостью по кривой второго порядка. [c.258]

Б. Принадлежность плоскости поверхности в общем случае невозможна (исключение составляют гранные поверхности, но тогда получается совпадение плоскостей). Возможно только касание — предельное положение пересечения. [c.55]

Шестая группа задач взаимное пересечение поверхностен. Решение задач этой группы выполняют по общему плану (см. п. 26.10 и рис. 46, 64. .. 69). При этом заранее можно отметить, что в случае пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями используют концентрические сферы, а во всех остальных случаях — плоскости. [c.59]

В общих случаях для построения линий пересечения поверхностей вращения применяют плоскости-посредники и сферы-посредники. [c.54]

В этом случае (черт. 419), проградуировав заданную прямую А В, проводят через нее вспомогательную плоскость. Далее определяют точки пересечения одноименных горизонталей плоскости и топографической поверхности. Множество найденных точек является линией пересечения плоскости и поверхности, а точка К, в которой пересекаются заданная прямая АВ с найденной линией сечения, и является точкой, общей для заданной прямой и топографической поверхности. [c.192]

Чтобы получить проекцию прямой линии, достаточно спроецировать две ее точки, так как в общем случае проекцией прямой линии является прямая. Для доказательства этого, возьмем на прямой а (черт. 25) две точки Л и й и спроецируем их на плоскость проекций л. Их проекции А и В определяют прямую а, которую можно рассматривать как линию пересечения плоскости л с плоскостью, определяемой заданной прямой а и проецирующей прямой А—А. Любая другая проецирующая прямая С —С, очевидно, находится в этой плоскости и пересекается с плоскостью л в точке, лежащей на прямой а. Таким образом, прямая а является проекцией прямой а. [c.11]

В общем случае для определения точек пересечения прямой линии и кривой поверхности используют метод вспомогательной секущей плоскости (см. гл. V). Он заключается в том, что через прямую линию проводится некоторая вспомогательная плоскость со (черт. 251), строится линия пересечения данной поверхности а и плоскости о) а Л которая в общем случае является кривой линией. Определяются точки M , ... пересечения этой кривой с прямой линией [c.71]

В общем случае для определения Линии пересечения двух кривых поверхностей применяют метод вспомогательных секущих поверхностей. Например, проводится ряд (семейство) секущих плоскостей (черт. 253), Каждая из них пересекает поверхность а по линиям семейства k, а поверхность р — цо линиям семейства /. Соответствующие линии этих семейств пересекаются в точках, принадлежащих обеим поверхностям, т. е. линии их пересечения [c.72]

Расстояние от точки до прямой линии равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Чтобы опустить перпендикуляр из точки А на прямую а (черт. 308, а), в общем случае через эту точку проводят плоскость у, перпендикулярную к прямой а. Любая прямая fti, bi, Ьз, этой плоскости перпендикулярна к прямой а, но только одна из них (Ьз) пересекает ее. Основанием перпендикуляра является точка В пересечения прямой а с плоскостью Y- [c.105]

Цилиндрические поверхности в общем случае развертываются теми же способами, что и призматические. На черт. 342 способом нормального сечения построена развертка боковой поверхности наклонного цилиндра вращения. Для этого цилиндр пересечен плоскостью а, перпендикулярной к его образующим, которая делит поверхность цилиндра на две части. [c.118]

Однако весьма часто заранее известен вид кривой, получающейся в сечении поверхности плоскостью. В этом случае линия пересечения может быть построена при помощи основных элементов, определяющих эту кривую. Так, сфера пересекается плоскостью всегда по окружности. Цилиндр вращения пересекается плоскостью, в общем случае, по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна или перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении получается соответственно пара параллельных прямых или окружность (рис. 165). [c.156]

Обычно в качестве вспомогательной плоскости выбирают проецирующую плоскость, проходящую через данную прямую, так как в общем случае линия пересечения поверхности с проецирующей плоскостью строится проще, нежели с плоскостью общего положения. [c.165]

При построении точек пересечения прямой с цилиндрической или конической поверхностями линии этих поверхностей, конкурирующие с прямой, в общем случае не будут графически простыми линиями. Можно избежать кропотливого построения этих линий, если в качестве вспомогательной плоскости использовать не проецирующую плоскость, проходящую через данную прямую, а плоскость общего положения, выбранную так, чтобы она пересекала данную цилиндрическую или коническую поверхность по графически простой линии. В случае цилиндрической поверхности вспомогательную плоскость проводят через данную прямую параллельно образующим цилиндрической поверхности, а в случае конической поверхности ее проводят через данную прямую и через вершину конической поверхности. В обоих случаях пересечение произойдет по образующим (прямым) поверхностей. Для построения этих образующих нужно найти след вспомогательной плоскости на плоскости основания цилиндра или конуса, а затем отметить точки пересечения этого следа с основанием цилиндра или конуса. Этими точками и определяются искомые образующие. [c.168]

Как уже указывалось, способ вспомогательных плоскостей общего положения рекомендуется применять при построении линии пересечения конических и цилиндрических поверхностей общего вида, а также и их частных видов — поверхностей пирамид и призм. В этих случаях вспомогательные плоскости удобно выбирать так, чтобы они пересекали обе поверхности по их образующим. Такими плоскостями будут плоскости общего положения. Эти плоскости в случае пересечения двух конических поверхностей должны проходить через прямую 8Т, соединяющую их вершины (рис. 192). В случае пересечения конической и цилиндрической поверхностей вспомогательные плоскости должны проходить через прямую ТТ, проведенную через вершину Т конической поверхности, параллельно образующим цилиндрической поверхности (рис. 193). [c.183]

Проецирующая прямая, проходящая через 5 и произвольную точку отрезка [АВ с /, лежит в плоскости Д. Проекции и Sj определяют прямую, по которой плоскость Д пересекает плоскость проекций lij. Поскольку [ЛВ] выбран на прямой I произвольно, то проецирующая прямая, проходящая через любую точку I, лежит в плоскости Д, а проекция этой точки лежит на прямой пересечения Д с П . Отсюда следует проекцией прямой в общем случае является прямая если [c.9]

Эта плоскость пересечет обе поверхности по образующим V, которые принадлежат одной плоскости и поэтому пересекаются. Точки пересечения образующих принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их лин и пересечения т. В общем случае таких точек и четыре. Если же плоскость Г касается одной или даже обеих поверхностей, то могут получиться две или одна точка, которые будут опорными точками. [c.125]

При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции.в общем случае в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость проецирующая). В частном случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому, чтобы упростить решение задачи, следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда представляется возможность заключить прямую в плоскость, параллельную плоскости проекции. [c.169]

Решение этой задачи даже в самом общем случае, когда и плоскость и прямая занимают произвольное положение в пространстве, легко сводится к простейшей задаче по определению линии пересечения двух плоскостей, из которых одна — проецирующая (см. 44, рис. 187, 188), с последующим определением второй проекции точки, принадлежащей плоскости, если известна одна из ее проекций (см. 40, примеры 1. .. 3, рис. 169. ..... 171). Для этого достаточно прямую заключить во вспомогательную проецирующую плоскость. [c.170]

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей. [c.40]

Угол между прямой и плоскостью определяется углом между этой прямой и ее проекцией на плоскость (см., например, угол а на рис. 4.23). Для построения угла между прямой и плоскостью в общем случае требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью провести из некоторой точки прямой перпендикуляр на плоскость определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью полученные точки пересечения прямой и перпендикуляра с плоскостью соединить прямой линией. Угол между прямой и построенной линией будет искомым. [c.50]

Сторону АВ, параллельную заданной плоскости Р, можно построить как линию, параллельную линии пересечения плоскости многоугольника и плоскости Р, или как линию пересечения плоскости многоугольника со вспомогательной плоскостью о, параллельной плоскости Р и проходящей через заданную вершину. Построение линии пересечения двух плоскостей в общем случае рассмотрено в 4.2, а для первого случая приведено выше (см. рис. 4.9). [c.53]

В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с плоскостью [c.56]

Для построения линии пересечения линейчатой поверхности плоскостью в общем случае строят точки пересечения прямолинейных образующих поверхности с секущей плоскостью, т. е. находят точки пересечения прямой с плоскостью. Искомую кривую проводят через эти точки. Примеры таких построений см. на рисунках 9.4, 9.8. [c.108]

Для построения линии пересечения линейчатой поверхности с плоскостью в общем случае применяют вспомогательные секущие плоскости. Точки искомой линии определяются в пересечении линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость. Примеры применения вспомогательных плоскостей рассмотрены ниже. Применение вспомогательной плоскости для построения линии пересечения двух плоскостей показано на рисунке 4.9. [c.108]

Линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят при помощи вспомогательных плоскостей, пересекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т. е. расположенные перпендикулярно оси тора или проходящие через его ось. [c.118]

Рассмотрим вектор АВ=а и ось Ох, не лежащие, в общем случае, в одной плоскости (рис. 3). Проведем через точки Л и В две плоскости, перпендикулярные к Ох и отметим точки а и 6 их пересечения [c.28]

В первом случае определяются точки пересечения рёбер одной поверхности с гранями (плоскостями) другой, а потом определяются точки пересечения рёбер второй поверхности с гранями первой. Полученные точки последовательно соединяют прямыми линиями. Здесь важно проследить за тем, чтобы соединяемые точки лежали в одной и той же грани первого и второго многогранника. При этом общая линия пересечения должна лежать внутри очерка как одной, так и другой поверхности. [c.126]

В общем случае следы плоскости пересекаются, и точка их пересечения FJ лежит на оси проекций. Задание плоскости ее следами на плоскос- [c.41]

Любая плоскость в общем случае мерес(ч<ает поперхности геометрических тел по плоской кривой или ломаной липии. Рассмотрим случаи пересечения плоскостью гранных тел и тел пранюиня. Часто такие сечения называют наклонными сечениями. [c.85]

В общем случае iio i роения линии пересечения поверхностей (например, цилиндрической, конической и др.) чаще всею применяются вспомогательные взаимно параллельные секущие плоскости или сферические поверхности. [c.106]

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или нарал-.гельна плоскости, или пересекает ее. Для более определенного суждения через прямую а (черт. 92) проводят вспомогательную плоскость 7 и устанавливают относительное nojro-жение двух прямых а и п, последняя из которых является лгинией пересечения вспомогательной 1ГЛОСКОСТИ 7 и данной а. Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналог ичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. [c.43]

Рассмотрим еще один частный случай пересечения плоскостей а и Р, когда масштабы падения их параллельны, а интервалы не равны (черт. 399). Искомая прямая будет в данном случае общей горизонталью, для построения которой нужно найти одну точку, общую заданным плоскостям. Так как одноименные горизонтали обеих плоскостей параллельны друг другу, то нельзя определить общие точки плоскостей а и так, как это сделано было на черт. 397. Для решения задачи вводим третью, вспомогательную плоскость у, и находим линии пересечения плоскостей any (прямая. 2 з)> а затем плоскостей /J и у (прямая iD ). Точка N 2 пересечения А2В3 и С, D4 и будет точкой, общей для двух данных плоскостей ан р. Через эту точку пройдет искомая линия пересечения плоскостей а и /i все точки этой прямой имеют отметку 4,2. [c.184]

Чертеж позволяет судить о взаимном положении изображенных на нем прямой 1НИИИ и плоскости только в том случае, если он определяет характер их общей К1ЧКИ (или совпадение их точек). При частном расположении прямой -линии или плоскости, как на черт. 106—112, о взаимном положении их можно судить непосредственно. Чтобы сделать это в общем случае, необходимо, как правило, определить их общую точку. Эта задача, т. е. построение тдчки пересечения прямой линии с плоскостью, будет рассмотрена в гл. V. [c.27]

В общем случае для определения линии пересечени. кривой поверхности с плоскостью применяют метод вспомогательных секущих плоскостей (см. гл, V). Проводится ряд (семейство) секущих плоскостей. Каждая из них пересекает кривую поверхность а по линии /г, а плоскость - по прямой линии / (черт. 238). [c.67]

Согласно общему плану ( 26), начнем вывод с рассмотрения с та ти ч е с ко й стороны задачи. Проведем поперечное сечение т — /п на произвольном расстоянии х от начала координат (рис. 235, а). В плоскости сечения (рис. 235, б) проведем координатные оси у и г. ось у совместим с силовой линией (линией пересечения силовой плоскости с плоскостью сечения), а ось г проведем на произвольной пока высоте, но перпендикулярно к оси у. Ось л направим перпендикулярно к плоскости сечения. Выделим в сечении элемент пло1цади dF, координать( которого у а z. В общем случае на элемент могли бы действовать напряжения стит. Однако при чистом изгибе все усилия и моменты, связанные с касательными напряжениями, — Qy, и Мкр — равны нулю. На основании выражений (3.29) — [c.240]

Сколько решений имеет задача В общем случае задача имеет бесчисленное множество решений, так как точек, подобных точке А на ребре Л5, можно взять бесчисленное множество и через каждую из этих точек, как мы видели, можно провести две плоскости, дающие в пересечении с поверхностью треугольники, подобные треугольнику AoBq q. Другими словами, имеются два семейства параллельных между собой плоскостей, которые удовлетворяют требованиям задачи. [c.69]

Решение задачи по определению линии пересечения плоскостей значительно упрощается, если одна из плоскостей занимает проецирующее положение. Из рис. 187 и 188 видно, насколько проще решается задача, когда одна из пересекающихся плоскостей — проецирующая, по сравнению с задачей (см. пример 1, рис. 183), в которой обе плоскости занимают общее положение. В этих случаях появляется возможность воспользоваться инвариантом (Ф с ( )/ (р I л, ) => Ф с hop, поэтому одна из проекций линии пересечения (I на рис. 187 и Г на рис. 188) нходит в состав исходных данных задачи (/ на рис. 187 и Г = fofj на рис. [c.130]

Проекциями сечения многогранников, в общем случае, являются MHoroyi ольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника. Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости). [c.131]

На чертежах ось изображают щтрихпунк-тирной линией. Образующая линия может в общем случае иметь как криволинейные, так и прямолинейные участки. Поверхность вращения на чертеже можно задать образующей и положением оси. На рисунке 8.12 изображена поверхность вращения, которая образована вращением образующей АВСО (ее фронтальная проекция а Ь с й ) вокруг оси ОО1 (фронтальная проекция о о ), перпендикулярной плоскости Н. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно линия пересечения поверхности вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями. На виде сверху (рис. 8.12) показаны проекции окружностей, описываемых точками А, В, Си О, проходящие через проекции а, Ь, с, д. Наибольщую параллель из двух соседних с нею параллелей по обе стороны от нее называют экватором, аналогично наименьщую — горлом. [c.101]

Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности плоскостью в общем случае находят точки пересечения образующих с секущей плоскостью, как это сказано (см. 9.1) в отноще-нии любых линейчатых поверхностей. При необходимости не исключается применение и вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих поверхность и плоскость. [c.109]

Пересечение конуса с плоскостью. Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямолинейных или круговых образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально-проецирующей плоекостью Р конуса с вершиной приведен на рисунке 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизонтальные проекции 5—7, —2,. .., з—12 образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью Р (Р у. с, ё, д, а также крайних точек а и Ь. Горизон- [c.114]

В общем случае полодия служит пересечением эллипсоида инерции и конуса второго порядка, имеющего те же плоскости симметрии, что и эллипсоид. Она состоит из двух различных замкнутых ветвей, симметричных друг к другу относительно неподвижной точки и одной из главных плоскостей эл.липсоида, и обладает четырьмя вер-щинами, для которых радиус-вектор г, выходящий из неподвижной точки, имеет максимум или минимум модуля. При движении одна из ветвей полодии катится по неподвижной плоскости Р. Вторая ветвь катится по плоскости, симметричной Р относительно неподвижной точки. Общий вид расположения полодий на эл.липсоиде инерции представлен на рис. 6.7.1. Имеем однопараметрическое по В семейство кривых. [c.469]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...