Инволюция

Доказательство. Зафиксируем время I и рассмотрим фазовый поток, обусловленный функцией их (следствие 9.3.2) по параметру я. Так как функции щ находятся в инволюции, то применение к ним указанного фазового потока оставляет их постоянными, и поток не нарушает уравнений м,- =0, — 1,..., я. Но тогда останется выполненным и уравнение Ег = 0. Поэтому /21 = 0. Аналогично для любого i получим 2, , = О или .Ег = 0. Последнее означает, что фазовый поток, обусловленный функцией Е2, не меняет функций и.,, а значит, сохраняет уравнение Г = 0. Поэтому Гх, Е2 = 0.0 [c.692]

Доказательство. Необходимость. Предположим, что функции <р , г = 1,..., п находятся в инволюции. Поскольку соответствующий якобиан не равен нулю, то можно разрешить систему уравнений [c.693]

Значит, в инволюции будут и функции рк — фк, к = , .п. Возьмем [c.693]

Проводя теперь преобразования формул предыдущего пункта доказательства в обратном порядке, убеждаемся в том, что функции рк — фк, к = 1,..., п находятся в инволюции, а значит в инволюции будут и функции <р,, г = 1,..., п.а [c.694]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Так как функции /,-, i = 1,..., п, независимы и находятся в инволюции, то по теореме 9.7.8 существуют такие переменные г = 1,..., п, что преобразование (р,я) —> (т) 0 будет каноническим [c.694]

Отметим, что пример 9.6.5 содержит систему интегралов в инволюции, удовлетворяющую теореме 9.7.9. [c.695]

Примечание. Предположим, что известна система интегралов канонических уравнений фь ф2,. .., фт- Если скобки Пуассона (ф,-, фй) для произвольной пары интегралов тождественно равны нулю, то система интегралов фь , Фт находится в инволюции. Если скобки Пуассона для произвольной пары интегралов из системы фь. .., фт определяются через интегралы этой же системы, то система интегралов фь Ф21 .. > фт образует группу. Существование систем интегралов, образующих группу. [c.367]

ИЛИ находящихся в инволюции, ограничивает общность метода интегрирования канонических уравнений движения, основанного на применении теоремы Пуассона ). [c.368]

Если интеграл (к) не зависит явно от времени, то скобки Пуассона (Я, ф) равны нулю и система интегралов Н = к и ф = С1 находится в инволюции. Следовательно, в этом случае никаких новых интегралов посредством применения теоремы Пуассона найти нельзя. [c.368]

Вырождение контактной структуры. В этом случае можно рассуждать так. Складывание определяет инволюцию медленной поверхности, переставляющую обе точки одного слоя. В окрестности точки складки медленная поверхность приводится к нормальной форме у=х расслоенным диффеоморфизмом у—медленная, х — быстрая переменная). Будем пользоваться на медленной поверхности локальными координатами (х, г), где Z — вторая медленная переменная. Тогда указанная выше инволюция запишется в виде х, z) (—х, г). [c.181]

Наконец, слагаемое с Е можно полностью уничтожить, ком.би-нируя С -диффеоморфизм плоскости (х, z), коммутирующий с меняющей знак х инволюцией, с С" — изменением нумерации кривых (параметра с). [c.182]

Для этого нужно сначала рассмотреть линию, где интеграль-. ные кривые касаются своих образов при инволюции. Эта линия (симметричная относительно оси л =0), кроме оси л ==0, содержит кривую, похожую на параболу 2 = — +. .. (рис. 67). [c.182]

На этой кривой имеются две инволюции одна представляет х и —X, другая — две точки на одной интегральной кривой. Различие между обеими инволюциями порядка х . [c.182]

Выберем координату х на кривой касания так, чтобы нормализовать обе инволюции. Будем нумеровать этой координатой и касающуюся в этой точке своего образа при инволюции интегральную кривую. Полученная нумерация позволяет сопоставить друг другу интегральные кривые семейств с ЕфО и с Е= =0 (те, которые касаются отраженных). [c.182]

Точке пересечения интегральной кривой семейства с ЕфО с номером Xi и отраженной кривой с номером Х2 сопоставим (топологически аналогичную) точку пересечения кривых с такими же номерами для стандартного семейства ( =0). Полученное соответствие продолжается до диффеоморфизма, коммутирующего с инволюцией и отображающего семейство линий с ЕфО на стандартное семейство. [c.182]

Будем говорить, что две функции от р, q, скобки Пуассона которых равны нулю, находятся в инволюции-, из тождества Пуассона—Якоби непосредственно следует, что если две функции v, w находятся в инволюции с одной и той же функцией и, то то же будет иметь место и для их скобок Пуассона (гг, w), [c.274]

Прежде чем доказывать это, заметим, что новый интеграл не будет обязательно независимым от двух других, предполагаемых известными он может даже оказаться иллюзорным, например, постоянной величиной, и, в частности, нулем (если Д и Д находятся в инволюции). [c.274]

Отметим еще, кроме того, что каждое из количеств движения Q находится в инволюции с остальными двумя и с моментом К, соответствующим той же оси достаточно принять во внимание тождества (46 ), (4б" ), чтобы убедиться, что как всякое количество движения Q, так и всякий отдельный момент К находятся в инволюции с квадратом модуля результирующего момента количеств движения [c.277]

Лемма о соотношениях, выражающих инволюцию. Теорема предыдущего пункта приобретает особый интерес, если ее применить к канонической системе для этого необходимо обратить внимание на одно вспомогательное замечание. [c.285]

ОНИ И В ЭТОЙ форме будут находиться в инволюции (предыдущий пункт), а если для каких угодно двух функций и, v положим [c.288]

TO условия (pg — tpa, P3 — рэ) = 0, выражающие инволюцию, принимают вид [c.288]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Проинтегрировать систему уравнений примера 9.6.5 с помощью теоремы 9.7.9 Лиубилля об интегралах в инволюции. [c.703]

Циолковского, 410 -Эйлера, 121, 407 Формулы Вине, 254 Формы бс1зисные, 325 Функции в инволюции, 692 Функционал, 598 -дифференцируемый, 599 Функция [c.712]

Рис. 29. Три последовательных бифуркации удвоения для диффеоморфизма плоскости. Бифуркации происходят при переходе от рис. а к рис. б, от 2 к d и от d к е. На рис. виг показаны перестройки неподвижных точек квадрата диффеоморфизма. На рис. г сплошными линиями показаны инвариантные кривые диффеоморфизма, а пунктирными — инвариантные кривые его квадрата на этих кривых диффеоморфизм действует как инволюция. На рис. д сплошными линиями показаны инвариантные кривые квадрата диффеоморфизма, а пунктирными—инвариантные кривые его четвертой степени. Кривые рис. е инвариантны относительно шестнадцатой степени диффеоморфизма. Неустойчивое многообразие каждой седловой неподвижной точки содержит в своем замыкании неустойчивые ыногообрагия всех седловых неподвижных точек, рождающихся при последующих бифуркациях. Нэ рис. е изображены лишь центральная и левая части множества неподвижных точек и инвариантных кривых шестнадцатой степени диффеоморфизма

Рассмотрим теперь, наряду с семейством линий Ф = onst, его образ при инволюции, меняющей знак х. В точках складки (x=0) линии обоих семейств касаются друг друга, причем порядок касания четен (как касания прямой и параболы нечетной степени). Если в изучаемой точке 6= 0, то порядок касания второй. [c.181]

Такая пара инволюций (единым) локальным С"-диффеомор-физмом кривой приводится к нормальной форме (например одна к х 1- - —X, другая к х х, где x -j-x =x +х Дюфур [140]). В аналитическом случае такая пара инволюций, несмотря на простую формальную нормальную форму, имеет функциональные модули (С. М. Воронин [56]). [c.182]

Шесть линий, таким образом связанных, Сильвестр называет находящимися в инволюции. Со статической точки зрения теория была развита Кэли, Спэти-свудом (Spattiswoode) и Сильвестром. [c.28]

Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли) если для канонической системы порядка 2я известны т интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных р, то ранг системы, от которого зависит определение общего реигения, понижается на 2т единиц (вместо т) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с п — т парами сопряженных яе-ременных. [c.311]

Применяя к этому случаю следствие из теоремы Лиувилля, указанное в п. 45, мы заключаем, что достаточно найти еще один интеграл, который не зависел бы от t и был бы отличен от интеграла Н = onst энергии и, кроме того, находился бы в инволюции с (т, е. не содержал явно 4 ), чтобы задача о движении твердого тела вокруг закрепленной точки была разрешена только посредством квадратур. [c.318]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 2 (1951) -- [ c.274 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) -- [ c.363 ]

Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля (0) -- [ c.96 ]

Особенности каустик и волновых фронтов (1996) -- [ c.201 ]

Теоретическая механика (1981) -- [ c.290 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...