Теорема Ли о системах в инволюции

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Если интеграл (к) не зависит явно от времени, то скобки Пуассона (Я, ф) равны нулю и система интегралов Н = к и ф = С1 находится в инволюции. Следовательно, в этом случае никаких новых интегралов посредством применения теоремы Пуассона найти нельзя. [c.368]

Лемма о соотношениях, выражающих инволюцию. Теорема предыдущего пункта приобретает особый интерес, если ее применить к канонической системе для этого необходимо обратить внимание на одно вспомогательное замечание. [c.285]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

ТЕОРЕМА ЛИ О СИСТЕМАХ В ИНВОЛЮЦИИ 521 [c.521]

Теорема Ли о системах в инволюции. В предыдущем параграфе мы рассматривали систему функций щ, U2,. . класса в некоторой [c.521]

Теорема Лиувилля. Если система уравнений Гамильтона имеет п первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах при помощи алгебраических операций, обращения функций, интегрирования и дифференцирования (для доказательства достаточно посмотреть, что делалось выше при эффективном пополнении). [c.266]

Теорема Лиувилля. Пусть система Гамильтона q = Tip, р = = —Tiq, (9, р) имеет п первых интегралов в инволюции Hk[q, р) (f = 1,. . ., п) (два первых интеграла находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю). [c.301]

Предположим, что гладкие функции Н и Г коммутируют (находятся в инволюции ) Н,Г = 0. Тогда Г — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н, и наоборот. JJ>a-зовые потоки и др этих систем также коммутируют на М. Так как Г, С , Н = , Я , С - С, Я , Г , то интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких функций на М (теорема Пуассона). [c.23]

Теорема 2. Если система с гамильтонианом Н = к имеет п аналитических интегралов в инволюции [c.127]

Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы, обладающей нерезонансным А, -мерным инвариантным тором. Предположим, что эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается, что спектр соответствующей матрицы Q содержит не менее 2г - к чисел вида г Х, и>), X е Z При к = 1 получаем теорему 4 из 8. Доказательство основано на том факте, что гамильтоновы поля v// ,..., vh являются полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3. [c.235]

Теорема 4. Геодезический поток на центральной поверхности второй степени в евклидовом пространстве — вполне интегрируемая по Лиувиллю система имеющая столько независимых интегралов в инволюции, каково число степеней свободы). [c.441]

Таким образом, в соответствии с теоремой Лиувилля, система (1.42) вполне интегрируема, так как обладает г функционально независимыми глобальными интегралами движения, находящимися в инволюции. Ниже мы дадим независимое кон--структивное доказательство этой теоремы, построив в явном [c.154]

Теорема 12. Частично усредненная с учетом г независимых резонансов гамильтонова система имеет п—г интегралов в инволюции, являющихся целочисленными линейными комбинациями первоначальных медленных переменных Ij. [c.187]

Теорема 2. Предположим, что неавтономная гамильтонова система с п степенями свободы допускает п + к независимых интегралов (2-4) (зависящих, вообще говоря, от времени), причем первые п — к из них находятся в инволюции со всеми интегралами (2-4) Тогда уравнения Гамильтона можно проинтегрировать с помощью квадратур. [c.193]

Интегрируемые системы классической механики. Гамильтонова система в 2от-мерном фазовом пространстве называется интегрируемой (см. [3]), если она имеет тп первых интегралов в инволюции. Теорема Лиувилля утверждает, что если траектории системы лежат в ограниченной части пространства, то локально можно ввести т первых интегралов [c.26]

Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли) если для канонической системы порядка 2я известны т интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных р, то ранг системы, от которого зависит определение общего реигения, понижается на 2т единиц (вместо т) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с п — т парами сопряженных яе-ременных. [c.311]

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти,-например, в книгах [И, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д и е К), являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей Vf.. Функции Fi,..., F находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма- Следовательно, группы (/, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено действие (/, на Ма. В силу условия 2), значения д х) х е Ма) определены при всех t . Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы (/, и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой п-мерной группы К" = ii,...,i g x) = g , ..д (х). Согласно условию 1), градиенты функций Fi,...,F независимы во всех точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,..., v также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма ВЫВОДИТСЯ, ЧТО действие группы К" на Мд.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма диффеоморфно фактормногообразию К"/Г, где Г — стационарная группа действия К" (она состоит из точек S Е К", для которых д х = х). Поля vi,..., v независимы, поэтому Г — дискретная подгруппа в К", изоморфная, как известно, О к п). Таким образом, Ма — х Равномерно меняющиеся глобальные координаты (р mod 2тг, у линейно выражаются через ii,..., i . Полагая tj = onst при всех j ф г, получаем решения гамильтоновой системы х = Vi x) как линейные функции времени ti = t. [c.85]

Теорема l[l]- Пусть М —связное, компактное, ориентируемое четномерное многообразие. Если гамильтонова натуральная система на Т М имеет к (dim М)/2 нез висимых линейных интегралов, находящихся попарно в инволюции, то х(М) 0. [c.152]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

Причина вырождения может быть в том, что число первых интегралов, определенных во всем фазовом пространстве, больше п (но не все они, разумеется, находятся в инволюции). Так, например, в задаче Эйлера о вращении твердого тела по инерции, имеющей три степени свс ды, существует четыре независимых первых интеграла. Их совместные уровни расслаивают трехмерные инвариантные торы на друмерные торы. Эта ситуация описывается обобщением теоремы 8. Обозначим Fu...,Fn+k независимые первые интегралы гамильтоновой системы с гамильтонианом Н и пусть по-прежнему М,= = хбЛ1 Fi x)=fi, Считаем Mf связным н ком- [c.131]

Почти для любого М число интегралов a системы Эйлера, независимых при ограничении на орбиту Од,, равно половине размерности Од,. Так как интегралы а,, находятся в инволюции, то уравнение Эйлера (по теореме Лиувилля) есть вполне интегрируемая гамильторюва система на орбите Од,. [c.311]

Вопрос о малости (Л) при доказательствах теоремы Лиувилля не представлял бы 1гнтереса если бы не тот общеизвестный факт, что Пуанкаре показал - динамические системы общего вида (в частгюсти, не имеющие первых иитегра юв в инволюции) иеиитегрируемы 2/ первых интегралов для них не существует). Если коэффициенты при с/1 ненулевые, [c.92]

Гамильтонова система с п степенями свободы и функцией Гамильтона Н ри. .., Рп, <7ь . <7п) называется интегрируемой если она имеет п первых интегралов h=H, /2,...,находящихся в инволюции. Известная теорема Лиувилля зт верждает (см. [7], [23]), что если п-мерное многообразие, получающееся при фиксировании значений этих интегралов /i = i, /2 = 02,.... ..,/ = Сп, компактно, а сами интегралы в окрестности точки (С],...,С ) функционально независимы, то это многообразие оказывается л-мерным тором. На нем можно ввести циклические переменные <рь. .., фп, в которых уравнения движения принимают простой ВИД i=/ (/i,. ..,/ )— onst, а самодвижение будет условно-периодическим с п частотами. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...