Проблема двух тел

Проблема двух тел. Дейтрон [c.152]

Однако третий закон Кеплера в форме (6.10) еще не вполне точен. Он справедлив лишь постольку, поскольку можно пренебречь массой планеты т по сравнению с массой Солнца М. Теперь мы откажемся от этого пренебрежения и обратимся к собственно астрономической проблеме двух тел, которая лишь незначительно труднее, чем рассматривавшаяся нами до сих пор проблема одного тела. [c.65]

Проблема двух тел астрономическая 65, 109, 308 [c.366]

ДЛЯ мировые линии Wi, вместе с аналогичными уравнениями для W2, представляют удобную формулировку проблемы двух тел в РД, при условии, что — вектор, построенный из векторов (5.11) и из инвариантов, образованных из них. Легко видеть, что это требование выполнено для [c.31]

Проблема двух тел. Рассмотрим две частицы с массами тпи ni2, притягивающиеся или отталкивающиеся друг от друга с равными и противоположно направленными силами, действующими вдоль прямой, соединяющей частицы, и зависящими только от расстояния между этими массами. Рис. 13 иллюстрирует случай отталкивания. [c.142]

Однако хотя точные определения как бы ускользают от нас, не может быть сомнений в том, что проблема двух тел имеет простое решение, а проблема трех тел — нет. В случае проблемы двух тел мы имеем формулы, содержащие параметры мы можем, изменяя значения этих параметров, изучить то, что можно назвать математической структурой класса всех решений, достигнув интеллектуального удовлетворения и понимания. Более того, мы можем образовать точные живые мысленные образы поведения двух тел, так что их движение становится для нас почти столь же реальным, как движение детали машины, работающей перед нашими глазами. [c.197]

Динамика частицы, свободной или подчиненной связям. Движение относительно вращающейся Земли. Проблема двух тел. Проблема трех тел. Устойчивость. [c.440]

Но если бы движение тел Ро и Р было совершенно таким же, как в проблеме двух тел, то их центр тяжести двигался бы по прямой линии с постоянной скоростью, а сами тела Ро и Рх двигались бы относительно центра тяжести по неподвижной прямой вплоть до момента соударения. Мы можем уточнить это утверждение, сказав, что Ро и Рх в каждый момент находились бы на расстояниях от этого общего центра тяжести, обратно пропорциональных их массам, а квадрат их относительной скорости был бы равен выражению 2(шо + тх)1г2, увеличенному на некоторую постоянную, значение которой зависит от полной энергии системы относительно центра тяжести. Движение относительно центра [c.268]

Очевидно, такое движение с соударением в проблеме двух тел характеризуется следующими величинами во-первых, тремя координатами точки соударения в пространстве во-вторых, тремя составляющими скорости центра тяжести системы в-третьих, двумя угловыми координатами 9, ф, определяющими направление в пространстве касательной к кривой движения точки Рх в точке столкновения, которое совпадает с направлением линии движения Рх относительно центра тяжести системы тел Ро и Рх и, в-четвертых, постоянной энергии. Таким образом, всего для того, чтобы однозначно характеризовать состояние системы в момент соударения в задаче двух тел, нужны девять координат. Но для того, чтобы определить состояние движения системы до или после соударения, необходимо еще указать время т вблизи момента столкновения. [c.269]

Следовательно, мы получаем всего двенадцать координат, определяющих состояние движения, что, разумеется, соответствует тому факту, что в проблеме двух тел мы имеем систему дифференциальных уравнений двенадцатого порядка. [c.270]

Рассмотрим несколько внимательнее эти координаты в проблеме двух тел. Шесть координат, определяющих положение центра тяжести в момент наибольшего сближения тел, не подчинены никаким ограничениям. Этим мы хотим сказать, что системы этих шести координат находятся в одно-однозначном соответствии с окрестностью точки в шестимерном пространстве. Подобно этому две координаты, определяющие направление оси соударения, будут произвольными в том же смысле, т. е. будут в одно-однозначном соответствии с окрестностью точки в ( , )-сфере, и, разумеется, полная энергия и время т тоже могут принимать любые значения. С другой стороны, длина перигелия р будет всегда положительной, и когда р стремится к нулю, наше движение приближается к исходному движению, при котором имеет место соударение, независимо от значения координаты ф, определяющей положение плоскости движения. Введем теперь вместо р и ф новые координаты а и /9 следующим образом [c.270]

При / > 2 не существует формулы для сравнимой по простоте с (14.71), так как не существует способа рассмотрения проблемы I тел при /> 2, сходного с анализом сдвига фаз при рассеянии, применяемого в проблеме двух тел ). [c.341]

Под этими словами имеется в виду следующая специальная постановка задачи в проблеме двух тел. Будем считать, что в проблеме двух тел начальные условия ставятся в далеком прошлом, в момент времени оо, и что в это время составляющие систему частицы находятся сколь угодно далеко друг от друга. Тогда согласно условию асимптотической аддитивности каждая из них является свободной и движется с постоянным импульсом pi и, соответственно, рг, т., е. равномерно и прямолинейно. Именно эти равномерные и прямолинейные движения. [c.53]

Рассмотрим задачу, обратную изученной в 4. Именно, возьмем две точки с массами т w М, которые притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, и определим нх относительное движение. Поставленная проблема получила в астрономии название задачи двух тел. В применении к планете р и Солнцу s эта проблема представляет собой исследование механической структуры солнечной системы. [c.152]

Как известно, проблема двух и многих тел играет центральную роль также и в современной атомной физике. В атоме водорода электрон движется вокруг ядра (протона), как планета вокруг Солнца. Метод Гамильтона-Якоби поразительным образом оправдался также и в этой области. Этот метод непосредственно приводит нас к необходимости введения квантовых чисел. [c.312]

Если и = 2, имеем проблему двух тел ( 51), которая легко решается. Но при /г > 2 решение проблемы встречает большие математические трудности. Случай п = 3 (проблема трех тел) представляет особый интерес для математиков по этой проблеме имеется обширная литература ). [c.161]

В последние годы значительный интерес проявляется к проблемам, связанным с интенсивным вдувом, когда массовая скорость вдуваемого газа сравнима с удельным расходом газа в набегающем потоке (расходом газа набегающего потока, отнесенным к единице обтекаемой поверхности тела). Прежде всего это связано с тем, что при больших вду-вах происходит практически полное оттеснение внешнего потока от стенки. При этом пограничный слой можно считать состоящим из двух частей внутреннего слоя с почти постоянными температурой и составом газа и внешнего, в котором температура и скорость увеличиваются, достигая соответствующих значений в невозмущенном потоке. Случай больших скоростей вдува интересен в связи с проблемой входа тел в атмосферы планет со скоростью, равной второй космической или превосходящей ее, при которой радиационные тепловые потоки к телу достигают значительных величин. 109 [c.109]

Точное суммирование, разумеется, невозможно оно означало бы точное решение проблемы многих тел. По в случае слабо неидеальной плазмы достаточно учитывать лишь диаграммы низшего порядка по взаимодействию. Сильно связные диаграммы этого типа изображены на рис. 3.15. Ограничимся далее пространственно однородными состояниями. Тогда вклад первых двух диаграмм на рис. 3.15 равен нулю. Читатель может убедиться в этом, записав соответствующее аналитическое выражение, но результат очевиден. Действительно, вышеупомянутые диаграммы описывают влияние на частицы самосогласованного поля, но в пространственно однородных системах среднее самосогласованное поле обращается в ноль. Итак, остаются две диаграммы третьего порядка по плотности. Вместе с диаграммой (3.4.38) они определяют результат первой [c.223]

Дальнейший интерес к задачам небесной механики тел переменной массы в 20-х гг. XX века был связан с космогоническими исследованиями, а именно с проблемой эволюции звезд, и в частности двойных звезд. Решая космогонические задачи, связанные с вековой убылью масс. Джинс выдвинул отмеченную выше гипотезу (1.26) об интенсивности излучения массы звездами и провел некоторые расчеты для задачи двух тел с убывающими массами. При этом он исходил из традиционной постановки задачи динамики тела (точки), записывая уравнение движения в виде [c.43]

Сказанное наводит на мысль, что условие унитарности играет в рассматриваемой проблеме ключевую роль и побуждает к поиску такого динамического подхода, который в отличие от теории возмущений давал бы унитарную матрицу рассеяния на каждом этапе последовательных приближений. Такой метод был предложен ранее одним из авторов [4] и применялся в задаче двух тел и в квантовой теории поля (см. обзор [5 и более поздние работы [6]). [c.258]

Пример транзитивной динамической проблемы. Динамические задачи, обычно называемые интегрируемыми , представляют собой проблемы интранзитивного типа, в которых движения представлены кривыми, лежащими па инвариантных аналитических многообразиях одного или двух измерений в многообразии М. Например, в случае проблемы двух тел все движения будут периодическими и упомянутые инвариантные многообразия в М будут представлять собою замкнутые кривые. В интегрируемых случаях (см. 12,13) специальные аналитические соотношения достаточны для того, чтобы дать полное представление о движениях и об их взаимоотношениях. [c.240]

Предположим, что сталкиваются, например, тела Рд и Р1, тогда как Р2 находится от них на некотором расстоянии. Движение тел Ро и Р1 близ точки соударения будет, очевидно, существенно таково же, как в проблеме двух тел. Мы и хотим здесь пренебречь возмущающими силами, вызываемыми телом Р2 в течение того времени, когда тела Ро и Рх близки к соударению, т. е. заменить функцию и одним ее слагаемым тогпх1г2 и считать очевидным, что положение вещей будет при этом допущении существенно тем же, что и в рассматриваемом нами случае. [c.268]

Следовательно, в проблеме двух тел состояния движения вблизи какого-нибудь состояния соударения находятся в одно-однозначном непрерывном соответствии с окрестностью точки в двенадцатимерном пространстве. При таком представлении состояния движения при соударении составляют девятимерную поверхность, проходящую через данную точку. [c.270]

В 14 было показано, что исследование относительного движения в системе двух вз аимодействующих между собой точечных частиц с массами и Ша сводится к решению эквивалентной задачи о движении одной частицы с приведенной массой ц- = mitn / (гПх -Ь + во внешнем центрально-симметрическом поле. Эту часть проблемы двух тел называют задачей о движении в центральносимметрическом тле. Напомним, что, если т т = т, то можно говорить о движении легкой частицы массой т во внешнем центрально-симметрическом поле, создаваемом неподвижной тяжелой частицей т . Этот частный случай задачи двух тел мы и обсудим. [c.105]

Рассмотрев метод псевдопотенциалов для проблемы двух тел, мъжно теперь обсудить обобщение его на проблему N тел. Нижеследующие рассуждения не зависят от типа статистики. [c.306]

В инженерной практике при решении контактных задач возникают проблемы соприкосновения двух тел, между которыми действуют не только нормальные, но и тангенциальные силы, вызывающие сдвиг. Так, в фрикционных вариаторах (объектом исследования является многодисковый вариатор) рабочая поверхность контакта, помимо нормальной нагрузки (силы осевого нажатия), воспринимает и касательную нагрузку, определяемую величиной коэффициента трения. При этом на неустановчвшемся режиме работы вариатора произвольно направленная в плоскости контакта касательная нагрузка суммируется из окружной силы, определяющей передающую способность вариатора, и радиальной силы регулирования. В процессе регулирования передаточного отношения в контактных зонах приходится преодолевать как радиальную составляющую нормального усилия. прижатия, так и силу трения [1] [c.109]

Типичная проблема, к-рую приходится решать при изучении движения небесных тел, состоит в следующе.м. Известно иевозмущённое движение планеты вокруг Солнца (задача двух тел, или задача Кеилера). Требуется учесть возмущения орбиты планеты, возникающие под влиянием постороннего третьего тела (задача трёх тел) или неск. тел. Такими телами обычно являются другие планеты Солнечной системы. Вызываемые ими возмущения, как правило, малы напр., взаимодействие Земли с Юпитером, к-рый оказывает наиб, из всех планет влияние на орбиту Земли, не превышает 1/17000 от взаимодействия с Солнцем). Но точность астр, дан-J02 ных очень высока, поэтому во многих случаях оказы- [c.302]

Следует отметить, что применение механических устройств к геометрии встречало осуждение у философов-идеалистов и прежде всего у Платона. По этому поводу Плутарх в своих Сравнительных жизнеописаниях говорит Знаменитому и многими любимому искусству построения механических орудий положил начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, осязаемых примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних лишь рассуждений и чертежей затруднительно такова проблема двух средних пропорциональных — необходимая составная часть многих задач, для разрешения которой оба применили механическое приспособление, строя искомые линии на основе дуг и сегментов. Но так как Платой негодовал, упрекая их в том, что они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника,— механика полностью отдели-лась от геометрии [c.40]

Если бы Ньютон последовал советам Мальбранша, можно смело сказать, что не было бы Математических начал натуральной философии . Как математик он умел ставить проблемы во всей их абстрактной обш,ности, отвлекаясь от осложняюш,их моментов, но наряду с этим он нее ставил столь же математически вопрос о праве не принимать во внимание до поры до времени подобные осложняюш,ие моменты. Так, говоря о взаимодействии Луны и Земли, Ньютон считал возможным пренебречь действием Солнца, но одновременно он выяснял величину этого действия. Именно им были поставлены вопросы о возмущениях близких к круговому движению двух тел (Луны и Земли) под действием третьего, от них весьма далекого (Солнца). [c.172]

Может показаться, что решение Вертхейма — Тьеля ПЙ-урав-нения представляет лишь академический ишерес и никогда не может быть проверено экспериментально, поскольку система, твердых сфер не соответствует реальности. Это, однако, неверно, так как после появления быстродействующих ЭВМ были развиты принципиально новые методы исследования проблемы многих тел. Такие методы в некотором смысле занимают, промежуточное положение между теорией и зкспериментом, поэтому их часто называют численными экспериментами. В подобных экспериментах поведение системы многих тел моделируется с помощью относительно небольшого числа (от 50 до 10(Ю) движущихся частиц. Оказывается, что, когда условия эксперимента подобраны с должной тщательностью, зти малые системы ведут себя во многих отношениях так же, как и реальные большие системы. Термодинамические величины, полученные при таком моделировании, с достаточным основанием можно сравнивать с результатами реальных экспериментов. Все существующие численные эксперименты представляют собой разновидности двух основных методов, к краткому рассмотрению которых мы теперь перейдем. [c.300]

Новые крупные успехи в механике после Галилея и Декарта были достигнуты при исследовании проблемы удара. В 1652 г. Гюйгенс (в неопубликованной работе) устанавливает ошибочность всех семи правил Декарта, кроме первого, не только обращаясь к опыту, но и опираясь на выводы из принципов инерции и относительности. Гюйгенс уточняет постановку задачи, рассматривая прямой (центральный) упругий удар двух тел количество движения при суммировании он берет только по абсолютному значению, как и Декарт, но он обнаруживает новый важный закон — сохранение при упругом ударе суммы произведений величины каждого тела на квадрат скорости. Гюйгенс, очевидно, не знал ни тогда, ни позже работ Марци. В течение нескольких следующих лет он постепенно устанавливает все законы уп- [c.106]

Исследование гомоклинических структур и выяснение их роли в образовании сложных хаотических и стохастических движений детерминированных динамических систем. Кривые, названные А. Пуанкаре гомоклиническими и гетероклиническими [312], были обнаружены им в ограниченной проблеме трех тел — задаче о движениях трех притягивающихся по закону Ньютона материальных точек в предположениях, что это движение плоское и что одна из масс исчезающе мала и не оказывает влияния на движение двух остальных. (Эта проблема и после Пуанкаре неоднократно привлекала внимание многих исследователей.) [c.86]

По-видимому, впервые обратили внимание на обстоятельство, что с теорией реактивного движения происходит что-то не то , астрофизики в 20 — 30-х годах XX века в космогонических исследованиях проблемы эволюции звезд и, в частности, двойных звезд. Речь идет об известной дискуссии Лж. Лжинса — Э. Брауна по решению космогонических задач, связанных с вековой убылью масс, интенсивностью излучения массы звездами и задачей двух тел с [c.8]

Проблемы удара тела о жидкость делятся на две различные, но между собой тесно связанные части,— это удар плавающего в жидкости тела и удар тела, влетающего в покоящуюся жидкость. Начало теории удара плавающих тел можно отнести к работе Н. Е. Жуковскдго (1884 Полн. собр. соч., т. 3, 1936) об ударе двух шаров, из которых один плавает в жидкости. [c.45]

В случае п = 2, т. е. в случае двух тел, соответствующие уравнения вида (3) элементарно интегрируются в квадратурах. Полученш.1е анали-Т1гческие выражения позволяют сделать исчерпывающие заключения о возможном характере движен1ш, а также найти расположение тел в любой данный момент времени по заданным начальным условиям. Картина сразу же неизмеримо осложняется, когда мы переходим к п = 3 — проблеме трех тел - и тем более к п > 3. Как выразился французский математик Борель — в небесной механике, как в счете дикарей, много — равняется трем . [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...