Тензор деформации податливости

Здесь Л — тензор модулей податливости е . —тензор пластических деформаций, определяемый как разность между тензором полных и тензором упругих деформаций. [c.284]

Принимая во внимание предположения (7.306) и сказанное относительно коэффициентов податливости А щ, на основании формулы (7.305) определим компоненты тензора деформации [c.199]

Механическое воздействие на тело является направленным и лишь при всестороннем сжатии или растяжении его можно характеризовать скалярной величиной давления, Для кристаллического тела благодаря взаимодействию атомов в пространственной кристаллической решетке каждый компонент тензора напряжений может в общем случае влиять на любой компонент тензора деформации. Такое влияние в предположении линейной упругости можно описать с помощью (1.144) или (1.145), а при переходе к матричной форме представления коэффициентов податливости, упругости и температурной деформации кристалла — посредством [c.61]

Если установлено, что материал можно считать упругим, то определяются модули или податливости. Например, для определения девяти постоянных ортотропного материала из статических экспериментов необходимо по крайней мере три образца, которые вырезаются в трех взаимно перпендикулярных направлениях, причем так, чтобы направление растяжения составляло 90 с одной из главных осей ортотропии и 45° с двумя другими. На рис. 7 показан вид сверху такого образца, причем главная ось анизотропии г—Хг направлена перпендикулярно плоскости чертежа к наблюдателю. При растяжении образца, показанного на рис. 7, замеряются деформации езз в направлении оси Хз, — в направлении силы Р и 8л- — в направлении, ортогональном действию силы Р. Тогда в главных осях ортотропии компоненты тензора деформации [c.40]

Заметим, что приведенный тензор модулей упругости при плоской деформации и приведенный тензор упругих податливостей при плоском напряженном состоянии совпадают с обычными тензорами модулей упругости и упругих податливостей соответственно. [c.139]

Тензором четвертого ранга [5] определяется зависимость между напряжениями и деформациями материала. Тензор податливости (1.1) содержит 81 упругую постоянную. Можно доказать, что тензоры напряжений, деформаций, податливости и жесткости должны быть симметричными. Это значит, что должны выполняться следующие равенства [c.9]

Для решения поставленной задачи выберем несколько систем отсчета Во-первых, используем ортогональный лабораторный базис л , у, г. В этом базисе целесообразно записывать окончательные выражения и соответствующие операции в терминах инженерной механики пластичности, например конфигурационные тензоры деформаций г и напряжений усредненные по характерным объемам V, включающим большое количество малых участков (объемов кристалла, в которых реализуется каждый конкретный элементарный акт деформации или разрушения. Во-вторых, применим кристаллофизический базис, задаваемый тремя некомпланарными единичными векторами и, v, w, который в общем случае условимся считать косоугольным, а в практических расчетах — близким к ортогональному. В кристаллофизической системе координат такие свойства удобно выражать как тепловое расширение и упругую податливость. Справочные сведения о подобных характеристиках обычно представляют именно в кристаллофизическом базисе. В-третьих, будем широко пользоваться различными локальными базисами (которые в общем случае можно считать и неортогональными), выбирая их каждый раз так, чтобы форма записи соответствующих физических законов реализации процесса была предельно простой и понятной по содержанию. Так, если деформация осуществляется кристаллографическим сдвигом по плоскостям с нормалью п в направлении /, условимся задавать ее в базисе I, т, п, где направления I, т я п образуют тройку единичных ортогональных по отношению друг к другу векторов. Примером другой локальной системы отсчета может служить базис а, Ь, с, в котором удобно записывать условия раскрытия трещин отрыва. При этом условимся орт а ориентировать вдоль направления сдвига, инициирующего отрыв (например, по схеме Стро [2П), а вектор с — вдоль нормали к плоскости трещины. Понятно, что в этой схеме тройка единичных векторов а, Ь, с не обязательно образует ортогональный базис, а орт а может совпадать с ортом I из локальной системы сдвига. Однако базис целесообразно брать все же ортогональным. [c.9]

Величина в квадратных скобках (4.17), очевидно, играет роль измененного из-за влияния пьезоэффекта тензора упругой податливости Жесткость пластинки при этом увеличивается, что вполне понятно, так как работа сил, прикладываемых к обкладкам пластинки, идет теперь не только на увеличение энергии упругой деформации [c.224]

Здесь Д — детерминанты коэффициентов жесткости (дг = с) и коэффициентов податливости (х = s), а Д д/ представляют дополнения к коэффициентам жесткости или податливости в соответствующих детерминантах. Чтобы определить последние, запишем, в соответствии с (1.13), упругое напряжение T j с помощью составляющих деформации Ski. Учитывая симметрию тензора деформации, т. е. Sn = S21, S13 = S31, S23 = S32, выражение для упругого напряжения можно представить как [c.18]

Если аналогичным образом выразить остальные составляющие тензора упругого напряжения через составляющие тензора деформации и, наоборот, составляющие тензора деформации с помощью составляющих тензора напряжения, то детерминант коэффициентов жесткости или податливости можно записать в виде [c.18]

Иначе определяется связь между полным и сокращенным обозначениями для составляющих тензора деформации (а) и тензора коэффициентов податливости (б) (см., например, работу [3]) [c.19]

Формально условие (3.71) не позволяет определить компоненты обратной матрицы. Однако, если учесть, что при деформациях растяжения-сжатия согласно (3.69) получается шаровой тензор напряжений, то матрица податливости, обратная (3.69), имеет идентичную с ней структуру. Различие состоит лишь в замене коэффициента К на /К- [c.80]

Здесь U — плотность источников тепла ац — тензор напряжений Sij — тензор малых деформаций — коэффициенты податливости изотермического состояния ац — тензор теплового расширения тела щ — вектор перемещений. Дифференцирование по пространственной координате обозначено запятой на уровне индексов с одновременным обозначением соответствующей координаты. [c.15]

Основные определения. Предполагается, что зависимость упругих свойств трещиноватой породы от действующих напряжений определяется деформациями не-сплошностей внутри породы - трещин и пор с малыми аспектными отношениями (далее - просто трещин). При очень больших напряжениях эти несплошности предполагаются закрытыми, и порода характеризуется тензором податливостей 6 = обратным тензору жесткости породы. При меньших напряжениях эти несплошности частично раскрыты. Это увеличивает податливость породы на некоторую величину так что полная податливость представляется суммой [c.243]

Здесь е - полный тензор скоростей деформаций, - собственная скорость ростовой деформации в отсутствие напряжений, - тензор податливости (обратный тензору упругости), N - тензорный коэффициент (не обязательно постоянный), отражающий влияние напряжений на скорость ростовой деформации. Соотношение (4.3) или его обобщения сохраняют силу, но под е теперь следует понимать не полную, а только упругую (быструю) деформацию. [c.17]

Подавляющее большинство методов определения эффективных характеристик композитов относится к области малых деформаций, описываемой линейно — упругими определяющими соотношениями. Наиболее часто при вычислении эффективных характеристик используется подход Хилла [13]. Он базируется на интегральных соотношениях между эффективными константами и микро — механическими полями. Эти соотношения позволяют аддитивно выразить тензор модулей упругости (или упругих податливостей) через характеристики фаз, их объемное содержание и коэффициенты перераспределения тензора деформаций (или напряжений) по фазам. [c.15]

Из формул (15) следует, что из 81 константы неодинаковыми остаются только 36. Поскольку eih Eu, система (12) состоит из шести строчек, а так как согласно (15) п12= п21, И13= И31, и2з= =Sii32 и т.д. аналогично для каждой строчки, из девяти коэффициентов Skiij в каждой строчке типа (12) остается только шесть. Итак, шесть уравнений (12) и в каждом по шесть неодинаковых коэффициентов податливости Skuj, т. е. всего 36. Аналогичные рассуждения справедливы и для Ски,-. коэффициентов жесткости также 6-6=36. Так как независимых компонент тензора напряжений и деформаций также шесть, то дальнейшие выкладки удобно вести в матричной форме, когда пня от 1 до 6 [c.22]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Две оставшиеся компоненсы Е ч з , характеризующие влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку квази . Между компонентами Е и "П, относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значении при угле поворота, меньшем чем л/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами Е и т) равен я/6. Дейст вительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что [c.193]

Деформации, обусловленные зависящими от времени напряжениями, определяются из интеграла (И), в котором вязко-упругие податливости Sijui выражены через главные податливости Sij, входящие в уравнения (17). Например, если оси координат совпадают с осями материальной симметрии и компоненты тензоров напряжений и деформаций обозначаются двойными индексами, то уравнение (17а) для осевой деформации ец принимает вид [c.113]

Оуэна с сотрудниками в большинстве случаев проводили испытания при растяжении на широких пластинах с надрезами. При сравнении результатов, полученных различными исследователями, возникают определенные трудности, обусловленные тем, что различные методы дают различные результаты и не известно, какой из них даст, так сказать абсолютные результаты . Например, в двух работах [109, 116] было установлено, что для материалов, содержаш,их 40% (об.) высокомодульных углеродных волокон, Кс примерно равен 40 МН/м /а при растяжении пластин с надрезом, независимо от длины надреза. С другой стороны, при испытании аналогичных материалов при четырехточечном изгибе образцов с надрезом найденные значения составляли величину около 16 МН/м 2 при отношении глубины надреза к толщине образца от 0,3 до 0,7 и значительно более низкие значения Л"е при меньших отношениях глубины надреза к толщине. Эллис и Харрис [116] сравнивали параметры вязкости разрушения, определенные различными способами, для материалов на основе эпоксидной смолы и высокомодульных и высокопрочных углеродных волокон. Они определяли общую работу разрушения ур, работу инициирования трещины уг (площадь под кривой нагрузка — деформация до максимальной нагрузки, при которой начинается быстрый рост трещины), а также критическую скорость высвобождения упругой энергии G по методу определения податливости образца с трещиной. Все измерения проводились при низкоскоростном изгибе образцов с надрезом. По данным Кс, полученным при растяжении и изгибе, используя уравнение (2.27), они рассчитали эквивалентные значения G . Для того, чтобы сделать это, необходимо было использовать податливость С, учитывающую ортотропный характер волокнистых композиционных материалов. Зих, Пэрис и Ирвин вывели полную форму уравнения (2.27) [4], в котором С является функцией всех констант в тензоре податливости. Для ортотропных материалов с одной резко выраженной осью анизотропии, таких как однонаправленные композиционные материалы с непрерывными волокнами типа углеродных, их уравнение может быть записано в упрощенной форме [c.134]

Природа всех объектов в теории оболочек тензорная. Действительно, недеформированная срединная поверхность с точностью до положения в пространстве определяется двумя тензорами — метрическим и тензором кривизн, обеспечивающими удовлетворение условиям Кодацци—Гаусса. Деформированная оболочка, при учете гипотезы о прямолинейной нормали элемента, определяется характером деформации срединной поверхности. Де юрмированная срединная поверхность, при условии задания недефэрмированной, определяется вектором перемещения или, по-другому,,— двумя тензорами — метрическим и кривизн деформированной срединной поверхности G , - Тензорную природу имеют деформации [как тангенциальная (мембранная) так и изгибная] , и напряжения или выражаемые через них погонные тангенциальные-(мембранные) усилия и моменты Л/ , Наконец, упругие свойства (упругие податливости или упругие жесткости) также имеют тензорную природу. [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...