Модуль касательный секущий

Элементы матриц [С] и [D] представляют собой интегралы по толщине оболочки от эффективных жесткостей, зависящих от касательного, секущего модулей упругости и докритического НДС [186]. Интегралы вычисляем по формуле Ньютона — Ко-теса четвертого порядка. [c.83]

Подобно модулю упругости , характеризующему упрочнение материал в упругой области, в упруго-пластической области также существуют показатели интенсивности упрочнения. Наибольшее применение в расчетах на прочность нашли касательный модуль и секущий модуль . Геометрический-смысл этих модулей показан на рис. 4, о. Оба модуля с увеличением степени-пластической деформации, т. е. с ростом напряжения, уменьшаются (см. рис, 4,6). Практически касательный модуль Ег удобно определять с помощью зеркальной линейки, [c.30]

Если считать коэффициент Пуассона V = 0,5, то диаграмма а, (е,-) совпадает с диагра.ммой а (е), полученной для одноосного растяжения (или сжатия) образцов из данного материала. Обозначим через Ес секущий модуль, — касательный модуль, Т — приведенный модуль. Тогда с учетом указанного выше допущения имеем [c.113]

В п-мерном пространстве состояний п— мультипликаторов определяют поведение траекторий в п—1 различных направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории). Пусть близкий к 1 мультипликатор отвечает некоторому /-му направлению. Остальные п — 2 мультипликаторов малы по модулю поэтому по соответствующим им п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности (назовем ее 2), которой принадлежат 1-е направление и направление указанных касательных. Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при t- oo оказывается почти двумерным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут располагаться по обе стороны S и переходить с одной стороны поверхности на другую). Разрежем поток траекторий вблизи Е некоторой секущей поверхностью а. Каждая траектория, повторно пересекая о, ставит в соответствие исходной точке [c.169]

Найдем направление и модуль скорости движущейся точки. Когда А/ стремится к нулю, точка Mi стремится к точке М, а секущая — к своему предельному положению касательной к траектории в точке М. Следовательно, вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Для модуля скорости имеем [c.93]

Теперь вспомним, что же мы делали ранее с выражением нормального напряжения а . Мы с его помощью построили некоторую искусственную поверхность второго порядка. Для этого было сделано следующее. По нормали к секущей площадке откладывался некоторый отрезок г, обратно пропорциональный корню квадратному из модуля а . Координаты конца этого отрезка описывают поверхность второго порядка, уравнение которой, как известно, угловым преобразованием координат приводится к такому виду, что коэффициенты при попарных произведениях координат обращаются в нуль. Отсюда мы сделали вывод, что в любой точке напряженного тела всегда можно найти такие три взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения равны нулю. Эти площадки мы [c.37]

Здесь Е, и Et — соответственно секущий и касательный модули, определенные по диаграмме растяжения для точки М. Опыт на кручение при постоянной растягивающей силе выявляет разницу между различными теориями пластичности наиболее контрастным образом. По теории течения с гладкой [c.562]

Модуль Юнга вычисляется обычно как непрерывная первая производная или касательный модуль кривой деформирования и обозначается Вычисление касательного модуля на каждом этапе нагружения сводится к определению секущего модуля - сек-Это аналогично аппроксимации непрерывной производной ее конечной разностью. С уменьшением шага нагружения точность приближения и затраты машинного времени возрастают. Разработка процедуры, позволяющей непрерывно вычислять производную в процессе всего нагружения с минимальным машинным временем, имеет важное значение. [c.93]

Величина является секущим модулем на диаграмме (рис. 22.1,6), где = —интенсивность касательных на- [c.506]

Касательный модуль Gn используется для метода Ньютона и всех шаговых методов. Для метода переменных параметров G является секущим модулем и на основе (3.13) формула для принимает вид [c.111]

Р] переходит в матрицы [Д].[ ь].[Од]. >-держащие соответственно секущие и касательные модули и параметры, связывающие приращения напряжений и деформаций. Переменные параметры упругости имеют вид [c.255]

Ес, Ек — секущий и касательный модули [c.15]

Функция Г) неявно задается зависимостью касательного и секущего модулей El и Es от [c.90]

При этом секущий и касательный модули [c.19]

Учитывая соотношения для секущего и касательного модулей, а также для интенсивности напряжений [c.88]

Модуль упругости Е, или, точнее сказать, касательный модуль ), может быть, конечно, получен как производная функции (2.24) при соответствующем значении напряжения Чтобы подчеркнуть количественное отличие в значениях модулей, имеющее место при отсутствии остаточных деформаций (т. е. в каждом случае, когда разгрузка приводит к возвращению к нулевой деформации), Томпсон сравнивал модуль упругости Е при наименьших нагрузках с секущим модулем ) , и касательным модулем Е для последнего приращения нагрузки. В табл. 22 показано это сравнение. [c.153]

В исследовательских целях испытания на растяжение используются значительно шире, чем это предусмотрено ГОСТом для оценки однородности свойств металла различных плавок, полуфабрикатов, идентичности режимов термической обработки деталей. Следует отметить, что самый элементарный контроль по временному сопротивлению и удлинению позволяет одновременно получить широкую информацию о свойствах испытуемого металла, а именно, оценить его способность к равномерной и сосредоточенной деформации, а также (при условии записи диаграммы деформации) работу деформации и разрушения при статической нагрузке. При испытаниях с определением предела пропорциональности можно попутно, с очень небольшими дополнительными затратами времени, определить и значение модуля нормальной упругости Е — важнейшую расчетную характеристику конструкционного материала. Специально поставленные испытания на растяжение позволяют определить и другие, необходимые конструктору свойства касательный Et и секущий Ев модули в упруго-пластической области, коэффициент Пуассона [х и др. [c.24]

Диаграммы циклического деформирования при мягком нагружения позволяют получить кинетику деформаций, которая необходима для определения деформационных свойств материала при циклическом нагружении, а при жестком — кинетику напряжений при циклическом упругопластическом деформировании. По характеру изменения свойств при многократном упругопластическом нагружений материалы разделяются на три основных типа циклически стабильные, циклически упрочняющиеся и циклически разупрочняющиеся. Циклически стабильными называются материалы, у которых сопротивление многократному упругопластическому деформированию не зависит от числа циклов нагружения. Это означает, что модуль упругости, предел пропорциональности и текучести, секущий и касательный модули не зависят от числа циклов нагружения. [c.237]

Если ребра теряют устойчивость от продольного сжатия панели, то можно считать, что после этого они перестают воспринимать дополнительную продольную сжимающую нагрузку. При этом приведенный модуль нормальной упругости заполнителя изменяется. Если в формуле для Ех (14) положить Ер, = О, то мы получим соответствующее значение касательного приведенного модуля E . При решении задачи устойчивости панели в формулы критических нагрузок (см. стр. 269—289) в качестве Е следует вводить этот касательный модуль Е . В других случаях работы панели может понадобиться значение секущего приведенного модуля Е . Оно после потери устойчивости ребрами армировки изменяется с нагрузкой и может быть найдено по формуле [c.266]

При расчете панели с начальным искривлением на общую устойчивость при сжатии в направлении х или совместном сжатии в направлениях X и у сначала используют выражение Охг в виде формулы (14) и определяют критическую нагрузку по формулам, приведенным на стр. 269—289. Далее по формулам стр. 306—308 проверяют ребра на местную устойчивость от сдвига или сдвига со сжатием при такой нагрузке. Если ребра теряют устойчивость, расчет повторяют, вводя в формулы в качестве значение касательного приведенного модуля. В некоторых случаях, например при расчете панели на изгиб, в расчет по формулам, приведенным на стр. 290—296, следует вводить приведенный секущий модуль. [c.266]

Если диаграмма растяжения не имеет линейных участков (например, у пластмасс, армированных волокнами бериллия), то возможно определение лишь касательного или секущего модуля упругости. [c.74]

В случае превышения напряжениями предела текучести материала фиксируется возникновение пластической зоны в этом элементе, что требует численного обращения матрицы B ijkm в выражении (IV. 13) и вычисления касательного модуля из диаграммы деформирования материала. На последующих уточняющих итерациях касательный модуль заменяется секущим и производится уточнение приращений упругопластических деформаций по схеме метода переменных параметров упругости. В случае фиксирования разгрузки запоминается текущий предел текучести и переход к упругим соотношениям в выражении (IV. 14), т. е. касательный модуль сменяется модулем Юнга. Пластические деформации сохраняют при этом свои последние значения. [c.98]

Величины Gs и Gt называются соответственно секущим и касательным модулями. Величина О а, согласно формуле (16.1.5), представляет собою угловой коэффициент луча, выходящего из начала координат в точку (то, То), тогда как Gt dxjd a есть угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке. Таким образом, функция /г(то) легко находится, если известна диаграмма пластичности, полученная при каком-либо одноосном деформировании образца из данного материала. [c.541]

Пусть, например, экспериментально получена диаграмма деформирования с некоторой скоростью е (рис. 7.33). После выхода на напряжение Од = осуществлена выдержка соответствующая кривая ползучести показана иа том же рисунке. Тангенс угла наклона касательной к этой кривой в произвольной точке А определяет значение скорости неупругой деформации /)д. Для этого же момента времени секущий модуль Сд находится по известным г л, 8д. Продолжая луч ОА, найдем точку А диаграммы г (гв) и определим касательный модуль к ней Кл и отношение хд = = ОАЮА. В выражение (7.27) для скорости ползучести в точке А входит множитель Р (ед/9д). Учитывая, что 0д есть параметр диаграммы /° (9д), проходящей через точку А, нетрудно видеть. [c.208]

Линии уровня второго поля — лучи, проведенные из начала координат (С = onst). Значения К представляют тангенсы наклона касательных к линиям 0 = onst в точках, определяемых секущим модулем С. [c.53]

В реологическом уравнении (3.30) постепенное вовлечение в процесс неупругого деформирования всего элементарного объема (физически активргзация все большего числа систем скольжения) отражает параметр К (касательный модуль) с той же целью можно использовать С (секущий модуль) или изменение параметра Удквиста с момента реверса ( р ). Первые два из них связаны однозначной зависимостью, связь последнего с ними близка к однозначной, но все же зависит от программы нагружения однако использование при анализе повреждения в качестве параметра р изменения неупругой деформации с начала полуцикла, по-видимому, наиболее удобно (О < р 1 С Др). Например, уже простейший вариант функции [c.134]

При решении уравнений методом Ритца — Папковича-предполагалось, что секущий и касательный модули не зависят от прогиба. Значения у и п брались из решения линейной задачи [c.324]

Динамические механические свойства иногда выражают в терминах комплексной вязкости, а не модуля. Основные соотношения между ними приведены в гл. 1. Можно предположить, что динамическая вязкость как функция частоты связана с вязкостью расплава как функцией скорости сдвига у. Такую связь ввели Кокс и Мерц [77, 78]. Типичные данные по вязкости расплава полимера как функции скорости сдвига, полученные с помощью вискозиметров, например капиллярного типа или типа конус— плоскость [79], приведены на рис. 4.10 [3]. Из-за высокоэластич-ности расплава наклон кривой изменяется с увеличением скорости сдвига. Вязкость, определяемая по наклону касательной к этой кривой в любой точке, называется консистентностью 1) , а вязкость, определяемая по наклрну секущей, проведенной из начала коор- [c.100]

УПРОЧНЕНИЕ — прирост сопротивления деформации с увеличением степени пластич. деформации или в результате легирования (напр,, при введении Ми или Si в железо) и структурных изменений в материале (напр., при выделении фазы uAlj при старении дуралюмпна). У. характеризуется. модулем секущим и модулел1 касательным. Различают еще У., обусловленное формой детали пли образца (так паз, упрочнение формы), наир, при наличии круговой выточки на цилиндрич. стержне предел прочности (Т(, пластичных конструкционных материалов повышается, [c.378]

Центрально подобные кривые обладают следующим свойством связь секущего модуля С = rjz с касательным К = dj lde, одинакова для любой кривой деформирования. Если взять множество точек на диаграммах с разными значениями 9, характеризуемых одним секущим модулем С (точки Aj, А2,. .. на рис. А5.6), то для всех этих точек окажутся одинаковы и касательные модули К. Добавим, что отношения OAJOA и представляют значения коэффициентов подобия 9, отвечающих каждой из диаграмм. Зависимость К = ф(С) ниже будет необходима она получается по заданной кривой деформирования/ Если для последней известно аналитическое выражение, то для нахождения ф достаточно исключить из системы уравнений К = df x)/dx =f x) и С =f(x)lx параметр х. Формально можно записать [c.163]

Предположим, что после быстрого нагружения (ё = ё ) до уровня упругой деформации г = г и выдержки была получена изображенная на рис. А5.20 кривая ползучести. Тогда в произвольный момент времени (точка А) по тангенсу угла наклона касательной к кривой ползучести в данной точке состояния может быть определена скорость ползучести ра- Учитывая, что скорость ползучести является полем на плоскости г, е , по текущим значениям координат г, г для данного момента найдем секущий модуль Q. Продолжив луч ОА, получим точку А диаграммы г =/(е). Теперь легко находятся касательный модуль ЦС ) и отношение 9 = = ОАЮА. Таким образом, получены два значения для определения одной точки на кривой Ф(6ао) при данной температуре. Изменяя положение точки А, можно с помощью уравнения (А5.41) охватить диапазон изменения реологической функции, отвечающей интервалу г < у < Гд. Заметим, что вместо кривой первой стадии ползучести (при г = onst) для определения реологической функции могут быть использованы результаты испытаний на релаксацию ( = onst) либо данные промежуточного процесса длительного деформирования, реализованного при некотором значении параметра жесткости нагружения I. Это связано с универсальностью уравнения состояния (А5.41) и позволяет более свободно выбирать программу испытания. [c.186]

Рис. 2.70. Анализ значений модулей бериллиевой меди при растяжении (правая часть ри- нка) и сжатии (левая часть), выполненный Ричардсом (1952) по результатам испытаний ллера. Сплошная линия отвечает касательному модулю , а штриховая — секущему, ращают на себя внимание более высокие значения модулей при сжатии, что соответствует Формуле Хартига, — модуль упругости в фунт/дюйм , а — напряжение в фунт/дюйм .

При О= ,828-10 /iг/iж О, —0,б233-10 кг1см [28], где — секущий модуль сдвига, найденный с учетом наличия площадки текучести, уравнение (114) дает значительно завышен- ные пр сравнению с опытом. Расчет по 01 —0,0375 X X ДО кг/см — наибольшему на участке упрочнения касательному модулю приводит к удовлетворительному соответствию расчетных, и опытных диаграмм (х, 7). Расчетные точки (крестики на рисунке) для образцов 2 и 4 нанесены на рис. 41. Решение (114) получено для линейного упрочнения. Уравне- [c.88]

Рис. 4. Изменение касательного и секущего модулей алюминиевого сплава АМгб-Т

Судя по литературным данным [441 ] нелинейность закона упрочнения серых чугунов объясняется тем, что вследствие неравномерного распределения напряжений местные пластические деформации в материале наблюдаются уже при незначительных средних напряжениях. Следовательно, термин модуль Юнга в общепринятом понимании применительно кчугунам теряет смысл. Здесь можно говорить лишь о секущем или касательном (отнесенных к определенному напряжению) модулях. [c.310]

Кратковременный модуль упругости определяется как начальный модуль Едпо углу наклона касательной, проведенной из начала координат к кривой а — 8, полученной в стандартных условиях при малой скорости нагружения, или секущий модуль Е , по углу наклона секущей к кривой ст — 8. В качестве кратковременного модуля упругости часто используют величины динамического модуля. [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...