Мора Нормальные напряжения

Из сопоставления этих выражений с выражениями (7.7) и (7.8) видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейная деформация, а аналогом касательного напряжения—половина угла сдвига в соответствующей плоскости. Продолжая эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в напряжениях, построить круги Мора в деформациях. [c.251]

Изложение гипотез прочности. Рассмотрению подлежат гипотезы а) наибольших касательных напряжений, б) Мора и в) энергии формоизменения. Даже в качестве исторической справки, полагаем, нет смысла говорить о гипотезах наибольших нормальных напряжений и наибольших линейных деформаций (о первой и второй теориях прочности). Вероятно, имеет смысл излагать гипотезу наибольших касательных напряжений, затем [c.162]

Наибольшее касательное напряжение Т1,з= (ai—Оз)/2 определяется наибольшим и наименьшим главными напряжениями ai и 03. Для объемных напряженных состояний два других касательных напряжения Ti,2= (ai —02)/2 и Т2,з= (аг,—аз)/2 меньше Т1,з. По мере уравнивания главных растягивающих напряжений oi, аг и аз касательные напряжения будут уменьшаться и напряженное состояние будет приближаться к всестороннему растяжению. Такое напряженное состояние возникает или от кольцевых надрезов на круглых образцах в центральных зонах, или при местном быстром разогреве с поверхности. Соот-ветствуюш,ие предельные круги Мора смещаются вдоль оси а, удаляясь от начала координат (см. рис. 1.3). Для некоторого круга с центром D наибольшее главное растягивающее напряжение oi достигнет сопротивления отрыву 5к и разрушение произойдет от нормального напряжения. По гипотезе наибольших нормальных напряжений разрушение возникнет при условии [c.10]

I, Общие положения. Согласно теории О. Мора в момент возникновения текучести касательное напряжение т в плоскости скольжения функционально зависит от нормального напряжения в той же плоскости [c.562]

Плоскости скольжения в теории Мора предполагаются проходящими через направление напряжения Oj. (8.33) представляет собой уравнение огибающей предельных кругов Мора. А. Надаи ) обобщил идею О. Мора, положив, что в предельном состоянии текучести октаэдрическое касательное напряжение является функцией октаэдрического нормального напряжения ) [c.562]

Примем, что упругие элементы подчиняются закону Гука. Для определения перемещения / конца пластины воспользуемся способом Мора. Пренебрегая влиянием нормальных напряжений, [c.102]

Круг Мора для напряжений (рис, 4.15) строится аналогично кругу Мора для моментов инерции (рис. 2.21) с той лишь разницей, что при выбранном на рис. 4.14 направлении осей координат Ох и Оу положительные значения касательных напряжений откладываются вниз от горизонтальной оси. Заметим также, что в отличие от осевых моментов инерции J , Jy нормальные напряжения а, могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. Поэтому центр круга Мора для напряжений может быть расположен как справа, так и слева от вертикальной оси. [c.93]

Поскольку нормальные напряжения, откладываемые на оси абсцисс, равны нулю, от точки О (рис. 76, б) отложим вверх отрезок 0Д = =та=т, вниз — отрезок ODp=Tp=—т. Так как точки Da и Dp лежат на концах диаметра круга Мора, то радиус его равен ODa=r. Отрезки, отсекаемые окружностью на оси абсцисс, ОА и ОВ также равны радиусам и определяют значения главных напряжений [c.123]

Известно много гипотез разрушения при сложном напряженном состоянии, удовлетворяющих этим условиям. Ниже описаны подробно шесть следующих гипотез (1) гипотеза максимального нормального напряжения (2) гипотеза максимального касательного напряжения (3) гипотеза максимальной нормальной деформации (4) гипотеза полной удельной энергии деформации (5) гипотеза удельной энергии формоизменения (6) гипотеза прочности Мора. [c.132]

Гипотеза прочности Мора, предложенная Отто Мором в 1900 г., является дальнейшим развитием гипотезы максимального касательного напряжения, основанным на введении трехмерного круга Мора. Эту гипотезу удобно применять для материалов, прочностные характеристики которых в одноосном состоянии при сжатии отличаются от прочностных характеристик при одноосном растяжении. Прежде чем сформулировать гипотезу прочности Мора, необходимо вспомнить, как строится круг Мора в общем случае трехмерного напряженного состояния На рис. 6.9 приведен чертеж в плоскости т-а, на котором в соответствии с правилами построения круга Мора касательное напряжение т и нормальное напряжение а откладываются по ортогональным осям. [c.148]

ВИЯ скольжения (8.4.1) в этом примере эти линии проходят через начало координат, поскольку трещина не имеет сцепления. Числа в квадратных скобках относятся к номерам шагов, а стрелки показывают направления изменения напряженного состояния на контакте при совершении очередного шага. Таким образом, из рис. 8.22 можно видеть, что до образования выработки касательное напряжение на элементе 10 (см. рис. 8.21) равно нулю, а нормальное напряжение характеризуется точкой [0] на диаграмме Мора. На первом шаге нормальное сжимающее напряжение снижается, а величина касательного напряжения возрастает, как показано стрелкой, оканчивающейся в точке [1]. Эта тенденция сохраняется до шага [8], на котором достигается предельное условие и происходит скольжение. Скольжение продолжается на шаге [9], [c.234]

Предыдущее построение известно под названием круговой диаграммы Мора. Диаграмма сразу показывает, какое касательное напряжение связано с данным нормальным напряжением, и наоборот (с этой точки зрения знак касательного напряжения не имеет значения). На рис. 92 слева полуокружность АРВ проведена в случае двух положительных главных напряжений. Мы видим, что в этих случаях нормальные составляющие напряжения положительны на всех плоскостях. На рис. 92 справа полуокружность проведена для частного случая, в котором положительно, а р2 отрицательно и, кроме того, Pi- -pi = 0 (ср. гл. IV 119). Центр полуокружности, очевидно, совпадет с точкой О. [c.360]

Таким образом, мы имеем дело с величиной, но не направлением наибольшего касательного напряжения, связанного с данным нормальным напряжением. Обратимся к рис. 92 и увидим, что круговая диаграмма Мора дает как раз те сведения, которые нам нужны. Мы доказали ( 282), что нормальное напряжение, представляемое на этом рисунке отрезком ON, на различных плоскостях будет связано с касательными напряжениями, имеющими все значения, заключенные между величинами, представляемыми отрезками PN и RN. Таким образом RN дает искомое максимальное значение касательного напряжения. И если мы имеем дело с таким напряженным состоянием, в котором Pi р Рз> то нам нужно только построить полуокружность ERA, т. е. мы можем пренебречь промежуточным напряжением р . [c.372]

О. Мор принимает в расчет не только касательную, но и нормальную составляющую напряжений и окончательно формулирует первое свое положение так Предел упругости и предел прочности материала будет определяться напряжениями, возникающими в плоскостях скольжения и разрушения , касательные напряжения, возникающие в плоскостях скольжения, достигают в пределе с некоторым нормальным напряжением наибольшей величины, являющейся свойством материала . [c.82]

При любом соотношении между и мы можем, повышая напряжения, прийти к предельному напряженному состоянию (О. Мор применяет свою теорию как к пределу упругости, так и к разрушению), которое изображается своим предельным главным кругом. Так как для определенного материала при заданном нормальном напряжении имеется вполне определенное сдвигающее напряжение, могущее произвести сдвиг или разрушение, то последовательные предельные круги представят собой систему кругов взаимно пересекающихся. Кривая, обертывающая эту систему пересекающихся предельных кругов, будет заключать в [c.83]

Удобным способом приведения напряжений, действующих в любой плоскости, к трем главным напряжениям, является построение кругов напряжений Мора. Круги строятся таким образом, чтобы их центры располагались на оси нормальных напряжений, а величина касательных напряжений откладывается на оси, расположенной перпендикулярно к первой. Общий случай с тремя главными напряжениями ст,, и стд изображен на рис. 2.9, а на рис. 2.9, б показан круг Мора для случая двумерного поля напряжений. В случае трехмерного поля напряжений касательные и нормальные напряжения представляются любой точкой, расположенной внутри заштрихованного участка (рис. 2.9, а). [c.20]

На свободной поверхности около точки А напряжение сдвига равно величине k, на свободной необработанной поверхности нормальное напряжение равно нулю. Круг напряжений Мора для точки А показан на рис. 3.7, из которого видно, что гидростатическое давление равно k. [c.39]

Допускаемую величину груза находим из условия прочности конструкции (см. п. 4.9.2), для чего сначала определим продольные силы, а затем и нормальные напряжения во всех пяти стержнях фермы (см. п. 4.4.2 и пример 4.2). Для определения перемещений воспользуемся методом Мора (см. п. 4.7.2 и пример 4.9, а также п. 4.7.3). [c.489]

В которых нормальные напряжения в различных направлениях являются различными. На рис. 5 показан соответствующий круг Мора для напряжений в плоскости, перпендикулярной к линии контакта пластинок. [c.141]

Для того чтобы понять, как изменяются величина и направление главных напряжений в балке, начнем с исследования напряженного состояния в балке прямоугольного поперечного сечения (рис. 5.19, а). В поперечном сечении выбираются пять точек, отмеченных на рисунке буквами А, В, С, О и Е. Точки А я Е находятся на верхней и нижней поверхностях соответственно, а точка С — на середине высоты балки. Можно подсчитать напряжения в каждой точке, зная изгибающий момент М и поперечную силу Q, действующие в данном поперечном сечении. Тогда можно принять, что эти напряжения действуют на малые элементы, которые вырезаны из балки около соответствующих точек (см. рис. 5.19, Ь). Для того чтобы найти главные нормальные и максимальные касательные напряжения, можно использовать или уравнения плоского напряженного состояния (см. разд. 2.5), или круг Мора (см. разд. 2.6). Направления главных нормальных напряжений в каждой точке приближенно показаны на рис. 5.19, с, направления максимальных касательных напряжений — на рис. 5.19, [c.170]

Мора определения условий пластичности 435, 436 - наибольших касательных напряжений 435 - наибольших нормальных напряжений об условиях прочности 435 [c.541]

Пусть = 0. Из формул (50) видно, что это возможно лишь при О = 02 = 03. Но в этом случае все три круга Мора сливаются в одну точку и, стало быть нормальные напряжения во всех площадках одинаковы, а касательные напряжения во всех площадках равны нулю. Этот вид напряженного состояния возникает, например при гидростатическом обжатии тела Мы будем называть его всесторонним сжатием, или, при обратном знаке нормальных напряжений, всесторонним растяжением Итак, при [c.85]

Построив круг Мора для чистого сдвига (рис. 77), убеждаемся, что нормальные напряжения в площадках сдвига равны нулю. Таким образом, при чистом сдвиге по площадкам сдвига действуют только касательные напряжения, т. е. по ним происходит только взаимный сдвиг двух частей тела, чем и объясняется название этого напряженного состояния. [c.89]

Известно, что всякое напряженное состояние можно изобразить кругом Мора, откладывая по оси абсцисс нормальные напряжения, а по оси ординат — касательные (как на рис. 294—298). Объемным состояниям отвечают тройные круги, причем два малых круга вложены в большой. В дальнейшем речь будет идти о больших объемлющих кругах. [c.304]

Другим примером может служить гипотеза, ведущая свое начало еще от Ш. Кулона и с полной отчетливостью сформулированная в прошлом веке О. Мором. В соответствии с этой гипотезой разрушение происходит путем сдвига по площадкам, на которых действует Тшах, но, в отличие от предполагаемого в третьей теории, критическое значение Ттах не постоянная материала, а зависит от величины действующего на упомянутой площадке нормального напряжения. Эта гипотеза и разные ее обобщения широко используются в применении к горным породам. [c.130]

Но подлинной областью применимости условий текучести и разрушения вида (4.34) (как и условия Мора и других критериев пластичности или разрушения, в которых предельное сопротивление сдвигу зависит от нормальных напряжений) должны быть горные породы, бетон и тому подобные материалы. Дело в том, что для таких материалов характерна весьма существенная зависимость предельного сопротивления сдвигу от [c.133]

Построим круг Мора для напряженного состояния, изображенного на рис. 8.3, а. Для этого возьмем прямоугольную систему координат а, т (рис. 8.3, б). Нанесем на ней точку Л, абсцисса которой равна (в некотором масштабе) нормальному напрял<е-ние <3 , а ордината — касательному напряжению Ту напряжение положительно, а потому оно отложено вправо от оси ординат напряжение отрицательно, а потому отложено вниз от оси абсцисс. Затем нанесем на график точку В с абсциссой и ординатой Тд,. Точка А характеризует напряжения по вертикальным [c.102]

Построим круг Мора для напряженного состояния (рис. 3.8, а). Для этого возьмем прямоугольную систему координат а, х (рис. 3.8,6). Нанесем на тей точку А, абсцисса которой равна (в некотором ма ш-табе) нормальному напряжению а ординат I — касательному напряжению т напряжение псло-жительно, а потому оно отложено вправо от эси ординат напряжение х отрицательно, а потому отложено вниз от оси абсцисс. Затем нанесем на грас 1ик точку В с абсциссой а , и ординатой т,,.. Точка А характеризует напряжения по вертикальгым боковым граням параллелепипеда (рис. 3.8, п), а точка В — по его горизонтальным граням. В соотве ст-вии с этим покажем у тонкий (рис. 3.8,6) вертикальную площадку, а у точки В — горизонтальную. Соединим точки А и В прямой АВ. Из точкг О пересечения прямой АВ с осью а проводим как из центра окружность. Радиус ее (рис. 3.8,6) равен К = 7"2 [c.102]

Из рис. 3.9,6 видно, что углы между главными площадками и площадками с экстремальными з за-чепиями касательных напряжений (площадками сдзи-га) равны вписанным углам 2СЗ, 2С4, 1С4, кото ые опираются на равные дуги в одну четверть д тины окружности и, следовательно, равны 45°. Из рис. 3.9,6 видно также, что нормальные напряжения по площадкам сдвига равны абсциссе центра кр /га Мора, т. е. )/2. [c.104]

Уравнения (5.73) и (5.74) повторяют уравнения (5.17) с точностью до обозначений. Поэтому вращение площадки с нормалью v относительно оси х характеризуется тем, что о , и Xv изменяются так же, как и в случае двумерного напряженного состояния, даже если к не совпадает с направлением главного напряжения. Таким образом, для охарактеризования и Tv( может быть применен обычный круг Мора. Экстремальные нормальные напряжения о х и Од из множества нормальных напряжений, действующих на площадках, параллельных оси л , могут быть названы псевдоглавными напряжениями, а экстремальная касательная вдоль оси / составляющая напряжений [c.430]

Недостатком теории наибольших касательных напряжений, бросающимся сразу в глаза, является то обстоятельство, что она совершенно не учитывает влияния на работу материала среднего по величине главного напряжения. Выходит, что при постоянных наибольшем ffi и наименьшем сгз главных напряжениях мы можем, не изменяя условий работы материала, как угодно менять величину среднего напряжения лишь бы оно было меньше Oi и больше Стз. Это обстоятельство представляется сомнительным, и опыты подтверждают, что величина напряжения все же оказывает влияние на прочность материала. Недооценивается этой теорией и опасность наруитения прочности элементов, испытывающих примерно равные растягивающие напряжения в трех главных направлениях. К этому нужно добавить, что в соответствии с этой теорией напряженные состояния в элементарных объемах, выделенных у наклонных плош,адок (см. рис. 54, а и б), должны быть равноопасны, если касательные напряжения на этих площадках равны друг другу. С увеличением текучесть и разрушение материала в этих элементах объема должны начинаться одновременно. Опыты показывают, что для материалов, у которых сопротивление сжатию выше сопротивления растяжению, напряженное состояние в случае а, когда на площадке, где возникает касательное напряжение, имеется растягивающее нормальное напряжение, будет более опасным, чем в случае б, когда на площадке с т нормальное напряжение оказывается сжимающим. Элемент. материала при росте напряжения То начнет течь или разрушаться в случае а раньше, чем в случае б. Таким образом, на прочность материала влияет не только касательное наиряженне, но и действующее по той же площадке нормальное напряжение. Это обстоятельство учитывается рассматриваемой ниже теорией Мора (1900 г.). [c.137]

Более полное представление о сопротивлении разрушению хрупких материалов дает дггаг-рамма предельных состояний, связывающая между собой гфитические значения касательного Хи и нормального напряжений, действующих в некоторой площадке с направлегшем нормали П. Предельная кривая может быть построена как огибающая кругов Мора (рис. 4.1.2), радиусы которых определяются по результатам испытаний образцов материала на разрушение при [c.176]

Мор применяет свое графическое представление напряжений при помощи кругов (рис. 144) для разработки такой теории прочвости, которая могла бы отвечать различным напряженным состояниям и находилась бы в лучшем согласии сданными опытов. В основу ее он кладет то допущение, что из всех площадок, испытывающих одно и то же по величине нормальное напряжение, слабейшей, т. е. такой, по которой вероятность разрушения ) получается наибольщей, будет та, для которой касательное напряжение окажется наибольщим. В этих условиях необходимо рассматривать один лищь наибольший круг диаграммы (рис. 144). Мор называет его главным кругом и указывает, что такие круги нужно строить, производя испытания для каждого напряженного состояния, сопутствующего разрушению. На рис. 145 представлены для примера такие главные круги для чугуна, подвергшегося испытанию до разрушения на растяжение, сжатие и чистый сдвиг (кручение). Если таких главных кругов построено несколько, то для них может быть построена огибающая, причем с достаточной точностью допустимо предположить, что и всякий другой главный круг, отвечающий некоторому напряженному [c.345]

Теория предельных состояний (пятая теория). Рассмотренные выше четыре теории прочности демонстрируют единый с методологической точки зрения подход к решению проблемы выдвигается гипотеза о причине возникновения предельного состояния, которая в дальнейшем проверяется экспериментами. Не менее, а часто и более эффективным является так называемый феноменологический подход, когда теория строится на основе экспериментальных данных так, чтобы она не только могла бы охватить все возможные случаи, но и находилась бы в лучшем соответствии с этими данными. При построении теорий прочности впервые такой подход был использован О. Мором (1900). Он исходил из допуш,ения, что из всех плош адок с одинаковым по величине нормальным напряжением наиболее вероятно разрушение или текучесть на той, где окажется наибольшим касательное напряжение. А на плоскости Мора точки, соответствуюш ие этим слабейшим плош адкам, лежат на большой главной окружности круговой диаграммы Мора (см. рис. 11.9). Поэтому можно рассматривать только эту окружность и считать, что а2 никак не влияет на предельное состояние. [c.355]

Одним из важных случаев использования круга Мора является определение главных напряжений. Этим напряжениям, которые представляют собой максимальное и минимальное нормальные напряжения, соответствуют точки Рг и Р круга (рис. 2.11). Видно, что алгебраически большее главное напряжение (Jl, представленное точкой Ри равно среднему напряжению (точка С) плюс радиус круга в то же время алгебраически меньшее" главное напряжение (точка Рз) равно среднему напряжению минус радиус круга. Это утверждение согласуется с выведенной выше формулой (2.26) для главных напряжений. Тангенс угла 20гл определяющего положение первой главной плоскости (рис. 2.11), равен отношению касательного напряжения х у к расстоянию по горизонтали между точками Си Л, равному (Тх-—(о х+(7у)/2, или а —Оу)/2. Таким образом, видим, что имеет место соотношение [c.82]

Иногда узлы конструкции подвергаются одновременному воздействию изгибающих и крутящих нагрузок, например валы кругового поперечного сечения, передающие кручение, часто нагружаются не только крутящими моментами, но й изгибающими. При таких условиях можно провести исследование напряжений без сколько-нибудь существенных затруднений если известны результирующие напряжений, Результирующие напряжений могут включать изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные силы. Напряжения, обуслойленные каждой из результирующих, можно определить в произвольной точке поперечного сечения с помощью соответствующих формул. После этого полное напряженное состояние в выбранной точке находится при помощи соотношений, приведенных в гл. 2, или круга Мора. В частности, можно вычислить главные нормальные напряжения и максимальные касательные напряжения. Таким способом можно проанализировать любое количество опасных мест [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...