Гармонический осциллятор кинетическая и потенциальная энергия

Известно, что это есть уравнение движения линейного гармонического осциллятора. Полная энергия такого осциллятора < складывается из его кинетической и потенциальной энергий и определяется классическим выражением [c.150]

Непосредственным вычислением показать, что в соответствии с теоремой о вириале средние за период значения кинетической и потенциальной энергии гармонического осциллятора равны. [c.65]

Гармонический осциллятор 80 кинетическая и потенциальная энергия 85 собственные функции 91, 92, 115 уровни энергии 90 Геометрическое строение из вращательно-колебательных спектров [c.600]

Соотношение (9.28) не учитывает, например, такие эффекты, как влияние колебания на вращение. В результате этого предположения мы можем рассматривать энергию различных форм движения двухатомной молекулы отдельно, то есть энергии поступательного движения, вращений, колебаний и электронных уровней двухатомной молекулы представляют собой кинетическую энергию точечной массы, кинетическую и потенциальную энергии гармонического осциллятора, энергию жесткого ротатора и энергию распределения орбитальных электронов неподвижной молекулы, причем все частицы имеют массы, связанные, конечно, с массой двухатомной молекулы. Как будет показано ниже, каждая из этих форм энергии при использовании квантовой теории может рассматриваться отдельно для получения функций распределения. Подставляя (9.28) в (9.26), получаем [c.333]

Можно убедиться, что это выражение действительно равно сумме кинетической и потенциальной энергии находящегося под внешним воздействием гармонического осциллятора, который моделирует процессы в линейной диспергирующей среде. [c.116]

Максимумы для плотности электрической энергии н плотности магнитной энергии сдвинуты во времени на V4 периода и в пространстве па V4 длины волны. Покажите сами (задача 7.36), что в любой области длиной полная энергия постоянна. Энергия электрического поля совершает гармонические колебания относительно среднего значения с частотой 2м, достигая предельных значений — пуля и двойного среднего значения. То же происходит с энергией магнитного поля. Таким образом, энергия колеблется от чисто электрической, имеющей максимум плотности з одном месте, до чисто магнитной с максимумом плотности энергии, смещенным на Это напоминает поведение гармонического осциллятора (колебательного контура). Полная энергия осциллятора постоянна, но колеблется, переходя из чисто потенциальной энергии в одном положении массы в чисто кинетическую энергию в другом положении массы. Как потенциальная, так и кинетическая энергии гармонически колеблются относительно их среднего значения с частотой 2со. Двойка появляется потому, что потенциальная энергия дважды (за период) положительна и дважды достигает максимального зна-че[П1Я (то же справедливо и для кинетической энергии). Электрическое поле Ех в стоячей волне аналогично смещению массы гармонического осциллятора от положения равновесия, в то время как магнитное поле Ву аналогично скорости этой массы. [c.324]

Таким образом, нахождение Wa,(T) свелось к определению средней энергии моды колебаний. Формула Рэлея — Джинса. По теореме о равнораспределении энергии на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия кТ/2. У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна кТ. Это энергия, приходящаяся на одну моду колебаний. В (50.13) положим <е>=кТ, (50.14) [c.305]

Малые колебания механической системы с одной степенью свободы. Потенциальная и кинетическая энергия системы при малых колебаниях вблизи положения устойчивого равновесия. Критерий устойчивости положения равновесия. Свободные, затухающие и вынужденные колебания гармонического осциллятора. Явление резонанса. [c.150]

Здесь введен индекс V, чтобы подчеркнуть, что само существование и специфическая форма потенциальной энергии ядер за висит от электронного состояния системы, определяемого индексом V. В приведенной здесь форме уравнение (113,44) описывает движение ядер как движение ЪгЫ связанных гармонических осцилляторов. Чтобы расцепить осцилляторы, нужно провести преобразование к комплексным нормальным координатам аналогично (80.9), (80.10). Это унитарное преобразование приводит потенциальную энергию к диагональной форме (80.3) и оставляет кинетическую энергию Ф в ее диагональной форме (80.5). В классической теории [4] после преобразования к комплексным нормальным координатам можно перейти любым из двух способов к вещественным нормальным координатам. Этот вопрос обсуждается ниже в 114. [c.361]

Найдем выражение для полной энергии (кинетическая плюс потенциальная) каждого маятника. Будем считать амплитуду Л од(/) практически постоянной в течение одного цикла быстрых колебаний и пренебрежем энергией, передаваемой пружиной маятнику. (Если пружина очень слабая, в ней никогда не будет запасено значительное количество энергии.) Мы считаем, что в течение одного цикла быстрых колебаний маятник а — гармонический осциллятор с частотой (о р и постоянной амплитудой Л од. Кинетическая энергия маятника а будет равна [c.48]

Рассмотрим полученный результат с энергетической точки зрения. На концах нашего стержня длины Ь напряжение, а следовательно, и поток энергии равны нулю. Обмена энергией с закрепляющими ножами также нет, так как они неподвижны. Следовательно, стержень не получает и не теряет энергии. Это и позволяет сохраниться неопределенно долго незатухающему колебанию (6.21). Как и при собственном колебании гармонического осциллятора дважды за период кинетическая энергия превращается в потенциальную и наоборот. [c.196]

В приближении т > е мы получаем классический результат С/ т, в котором Угт обусловливается кинетической энергией и /гТ — потенциальной. Такое точное разделение энергии гармонического осциллятора служит примером равного распределения энергии. Оно не осуществляется в случае ангармонического осциллятора. [c.210]

В этом случае в качестве модели можно выбрать твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. имеет три независимые колебательные степени свободы. Как мы видели в предыдущей главе, такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебаниях осциллятора происходит последовательное преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая квТ/2 на одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия точно равна средней кинетической, то средняя полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, составляет ksTi. [c.164]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

Пример 23.7А. Гармонический осциллятор. При надлежащем иыборе масштаба времени выражения для кинетической и потенциальной энергий, а так- [c.475]

Макдоугал и Вильсон [593] преодолели эти трудности очень остроумным образом. Они отказались от геометрического подобия между моделью и молекулой и построили системы связанных гармонических осцилляторов, имеющих такую же кинетическую и потенциальную энергию, как и рассматриваемая молекула (с точностью до масштабного множителя). Такая, система с точностью до постоянного множителя будет иметь те же частоты, что и молекулы. В качестве осцилляторов Макдоугал и Вильсон применили стержни с прикрепленными к ним тяжелыми массами, поддерживаемые осью, проходящей через центр тяжести, и присоединенные с помощью пружины к массивному основанию. Несколько таких систем устанавливались рядом друг с другом и они соединялись пружинами, иммитирующими связи между осцилляторами. Так как пружины только растягиваются или сжимаются и не работают на изгиб, то их [c.176]

Найдите усредненные значения кинетической и потенциальной энергии гармонического осциллятора под действием внегпней гармонической [c.12]

Представим себе замкнутую полость объемом V с идеально отражающими стенками, нагретыми до температуры Т, в которой создан вакуум. Внутри полости существует электромагнитное поле. В результате отражений от стенок в полости образуется система бесконечно большого числа стоячих волн различной частоты и разного направления. Каждая такая стоячая волна представляет собой элементарное состояние электромагнитного поля. Теорема о равномерном распределении энергии утверждает, что и в этом случае при равновесии между стенками полости и электромагнитным излучением на каждую стоячую волну должна приходиться средняя энергия, равная 1гТ, где к — постоянная Больцмана. При этом, подобно то.му как средняя энергия гармонического осциллятора складывается из средней кинетической энергии, равной кТ 2, и средней потенциальной энергии, также равной кТ12, в случае электромагнитных стоячих волн полная средняя энергия кТ складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, равных в отдельности кТ 2 каждая. [c.138]

Этот классический гамильтониан вьп лядит точно так же, как гамильтониан осциллятора с массой. В случае осциллятора с массой изменятся лишь формулы (1.18), описывающие безразмерный импульс и координату. Однако этот факт не повлияет на динамику системы, т е. на ее поведение во времени. В гармоническом осцилляторе с массой колебания сопровождаются периодическим переходом энергии из потенциальной формы в кинетическую, а в электромагнитном поле она переходит из электрической формы в магнитную. Следовательно электрическое поле играет роль обобщенного импульса, а магнитное поле — роль обобщенной координаты. Слово обобщенный появилось здесь не случайно, так как обобщенный импульс поля не имеет никакого отношения к импульсу электромагнитного поля, который определяется с помощью вектора Пойнтинга. В осцилляторе же с массой обобщенный импульс совпадает с механическим импульсом частицы. [c.14]

Рассмотрим несколько ярких примеров проявления резонанса. В главе 2 описан резонатор Гельмгольца как цример гармонического осциллятора. Напомним, что для него при использованных допущениях можно считать всю кинетическую энергию сосредоточенной в слое воздуха, движущемся в горлышке резонатора, а потенциальную энергию, связанной с упругой деформацией воздуха, заключенного в широкой части резонатора (аналогия с пружинным маятником). Потери в резонаторе Гельмгольца связаны с трением в отверстии резонатора и излучением звука. Будем как обычно хараетеризовать их слагаемым 2ух в уравнении линейного осциллятора, Если поместить резонатор Гельмгольца в гармоническое звуковое поле с частотой и и амплитудой давления Р,, то в нем возникнут вынужденные колебания с амплитудой [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...