Уравнения в конечных разностях для двумерной задачи

Идея метода конечных разностей построена на замене обыкновенных и частных производных, входящих в дифференциальные уравнения и соотношения, описывающие ту или иную физическую задачу, их приближенными выражениями, в которых дифференциалы аргументов дх и ду к функций 5/(х, у) заменены конечными приращениями. Очевидно, что если двумерную область [c.87]

Численное решение этих уравнений по методу конечных разностей [142] оказывается слишком громоздким даже при использовании счетных машин. Излагаемое ниже решение прямых задач двумерного потока в турбомашинах строится путем последовательных приближений в естественной системе координат или близкой к естественной с использованием уравнений неразрывности и вихрей в интегральной, форме. Описываемые методы были проверены в практике технических расчетов и оказались достаточно эффективными. [c.274]

При решении двумерных задач методом конечных разностей нужно представить в дискретной форме не только систему разрешающих уравнений, но и граничные условия. Не всегда это просто сделать, особенно для сетки, не совпадающей с граничным контуром. Некоторые области могут иметь границу, проходящую между узлами сетки. В этом случае граничные условия на заданной области А (рис. 3.7) необходимо перенести на сеточную область Б, т. е. функции в точках [c.84]

Если функция удовлетворяет условию совместности, то напряжения автоматически определяются из уравнений (32), если выполняются одновременно и граничные условия. Последние являются как раз тем ограничением числа аналитических решений для напряжений в телах сложной формы. Однако для двумерного случая эти задачи довольно просто решаются численными методами конечных элементов или при помощи уравнений в конечных разностях. Для решений задач упругого поведения реальных тел и конструкций широко используются компьютеры (см. гл. П1, разделы 16 и 17). [c.30]

Уравнения в конечных разностях были с успехом использованы Л. Ричардсоном ) в двумерных задачах теории упругости, где функция напряжений должна удовлетворять дифференциальному [c.477]

Заканчивая рассмотрение вопроса аналогий, кратко обсудим другой приближенный метод решения задач теории упругости. Э от метод основан на замене дифференциальных уравнений этих задач уравнениями в конечных разностях и решении этих уравнений численно методом последовательных приближений. Впервые этот метод был использован К. Рунге ), который таким образом решил сложную задачу кручения. В дальнейшем больших успехов достиг Л. Ричардсон, применивший этот метод к решению двумерных задач теории упругости и рассмотревший в качестве примера напряжения в дамбах от действия сил тяжести и давления воды ). В по- [c.670]

Метод характеристик имеет ряд преимуществ по сравнению с другими численными методами основные уравнения значительно упрощаются на характеристических поверхностях, метод отличается математической строгостью (доказана сходимость метода и единственность решения). Эти обстоятельства обусловили широкое использование численного метода характеристик при решении двумерных задач для уравнений гиперболического типа. Применение метода к трехмерным задачам сильно затруднено сложным поведением характеристических поверхностей, что обусловливает трудности построения характеристической сетки, громоздким алгоритмом вычислений и сложностью программирования. В связи с этим метод характеристик в его чистом виде до настоящего времени применялся для расчетов трехмерных течений лишь в очень небольшом числе случаев. Для решения трехмерных задач сверхзвукового обтекания тел представляются более перспективными методы конечных разностей-и смешанные методы (комбинации двумерного метода характеристик и метода конечных разностей по третьей переменной). [c.169]

Альтернативой методу конечных элементов для получения приближенных решений уравнения Пуассона является конечно-разностный метод, в котором производные аппроксимируются конечными разностями. В этом случае исследуемая область разбивается на большое число двумерных прямоугольных ячеек. Электростатический потенциал в изучаемом приборе вычисляется в точках пересечения границ прямоугольных ячеек, называемых узловыми точками (рис. 16.3). Необходимая для расчетов плотность узлов в любой области непосредственно связана с градиентом потенциала в данной области. Недостатком конечно-разностного метода является то, что все узлы в системе должны располагаться в углах смежных ячеек. Из-за этого ограничения приходится увеличивать плотность узлов в областях, не представляющих большого интереса, только потому, что эти области оказались по горизонтали (либо по вертикали) в одном ряду с областями, в которых существенно изменяется потенциал. Так как процессорное время, необходимое для получения решения, зависит от числа узлов, то желательно иметь такую систему дискретизации, в которой можно было бы изменять плотность узлов в разных областях прибора в зависимости от градиента потенциала и которая, в то же время, не зависела бы от взаимного расположения узлов. Именно метод конечных элементов позволяет непрерывно и независимо изменять плотность ячеек, что приводит к уменьшению числа узлов, требуемого для решения данной задачи [16.16]. [c.467]

Цепь кввематнческая - Синтез 459 Цилнцдр - Двумерная задача при неосесимметричной нагрузке 258 - Метод конечных разностей 255 - Температурные напряжения 244 - Уравнения упругости 244 [c.620]

Остановимся теперь на некоторых результатах нелинейного расчета конечно-амплитудных режимов. Как уже указывалось, в области F > F стационарный плоскопараллельный режим течения невозможен. Однако в этой области могут в принципе существовать другие режимы, приводящие к увеличению теплоотвода. Вопрос этот может быть решен лишь на основе полных нелинейных уравнений (28.2). Двумерное периодическое по z решение этих уравнений находилось численно методом конечных разностей в работе [24]. Расчеты проделаны для Рг = 1 (реагирующий газ). Фиксировались параметр Z = О и волновое число периодасческой структуры = 1,4 в районе минимума нейтральной кривой (критическое значение слабо зависит от параметров задачи). В численных экспериментах При некоторых значениях Gr и F задавалось малое начальное возмущение и наблюдалась его эволюция со временем. Таким путем удается получить предельные установившиеся режимы, разумеется, в тех случаях, когда они существуют. [c.191]

Конечно, переменность скорости и по пространственной координате и большая размерность задачи могут привести к количественному изменению описанного поведения решения. В частности, при переменной скорости и можно допускать, чтобы сеточное число Рейнольдса превышало значение Re > 2 вне окрестности выходной границы, причем пилообразные осцилляции не возникают, если вблизи границы Re < 2. Выводы проведенного здесь исследования оказались приемлемыми для двумерных гидродинамических задач. Используя полные уравнения Навье — Стокса для двумерных расчетов течения нескольких жидкостей в пограничном слое, А. Руссо (личное сообщение) столкнулся с одномерными пилообразными осцилляциями в каждом из направлений — параллельном стенке и перпендикулярном ей. Пилообразные осцилляции в каждом из направлений устранялись либо путем изменения граничного условия на условие Неймана, либо путем перехода к схеме с разностями против потока в одном таком направлении. Другим эффективным средством, нримененным Руссо, является локальное уменьшение шага сетки вблизи стенки (см. разд. 6.1), что локально приводило к уменьшению сеточного числа Рейнольдса до значений Re < 2. Полджер [1971] устранил пилообразные осцилляции в рещении вблизи стенки, учитывая диффузию только с узла, отстоящего на один шаг от стенки. Он проводил расчеты по схеме Лакса (разд. 5.5.4), но схема с разностями против потока (разд. 3.1.8) в этом случае также работала бы. (В линейной одномерной задаче, представленной на рис. 3.26, применение схемы с разностями против потока при г= 10 почти полностью устраняет пилообразные осцилляции.) [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...