Обыкновенные линейные уравнения в конечных разностях

Обыкновенные линейные уравнения в конечных разностях. Уравнением в конечных разностях называют уравнение вида [c.69]

Дифференциальное уравнение плоского температурного поля приведено в главе I [уравнение (4)]. Интегрирование этого уравнения в общем виде представляет весьма сложную задачу, которая еще более усложняется наличием в пределах поля материалов с различными коэффициентами теплопроводности. Задача значительно упрощается при решении уравнения (4) в конечных разностях. При этом дифференциальное уравнение заменяется системой обыкновенных линейных уравнений, неизвестными в которых будут значения искомой функции в точках [c.76]

Обыкновенные дифференциальные уравнения (21) могут -быть решены с учетом граничных условий (27), (28) и условий для скачков (24) при помощи таких же численных методов, которые использовались в предыдущих исследованиях. На плоскости г, t строится сетка, образованная пересекающимися семействами характеристик /+ и / . Далее предполагаем, что в пределах малых интервалов между узловыми точками на плоскости г, t функции U ш V изменяются по линейным законам. Тогда можно проинтегрировать соответствующие характеристические уравнения (21), и в результате получим эквивалентные им уравнения в конечных разностях. Для разрывов функций U и V указанная методика несколько видоизменяется, а именно мы используем- точное значение скачка (24) в тех точках плоскости г, t, где расположен фронт волны. Для граничных точек интегрирование необхо-.димо выполнять лишь вдоль одной характеристики, так как, в качестве другого условия используется одно из граничных условий — (27) или (28). Дальнейшие подробности описания метода решения можно найти в работах [1,. 3—5]. [c.122]

Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечноразностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. Пусть, например, речь идет об оптимальном программном управлении, обеспечивающем предельное быстродействие для бёсконечномерной системы при ограничении [[ м [<Л , и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев для конечномерных систем условие максимума, фигурирующее в принципе максимума, не вырождается, т. е.- соответствующее выражение Н [ , X ), "ф, м] зависит фактически от и, и тем самым доставляется достаточная информация о значениях ( ). Вследствие этого невырожденного условия максимума оказывается, как правило, что эти значения лежат на границе области 7 ( гг [[<Л ), и их можно найти, зная вектор Ь). Далее, оказывается, однако, что если даже и устанавливается сходимость аппроксимирующих управлений м ( ) к оптимальному управлению и Ь) исходной системы при г -> оо, то в весьма широких случаях эта сходимость имеет достаточно нерегулярный характер и, в частности, аппроксимирующие оптимальные движения сходятся к оптимальному движению исходной системы подчас лишь как к скользящему режиму (хотя весьма нередки случаи, когда на деле этот предельный режим может осуществляться обыкновенным управлением и ( ), регуляризирую-щим, следовательно, данный скользящий режим). На языке принципа максимума это выражается в том, что соотношение, определяющее u (t) из условия максимума, при п оо вырождается (в пределе оно оказывается уже не зависящим от и) и его формальная запись для соответствующей исходной системы с распределенными параметрами имеет лишь относительное значение, поскольку оно не доставляет необходимую инфор- [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...