Уравнения в конечных разностях расширения

Температурный коэффициент объемного расширения капельных жидкостей значительно меньше, чем газов. В небольшом диапазоне изменения температур, а значит, и удельных объемов производную в уравнении (9.7) можно заменить отношением конечных разностей параметров холодной (с индексом ж ) и прогретой (без индексов) жидкости [c.78]

Метод конечных разностей, широко используемый для решения плоских задач теории упругости, становится достаточно громоздким в случае областей со сложным контуром. Бурно развивающийся в настоящее время метод конечного элемента, хотя и может быть распространен на пространственные объекты, не лишен недочетов, так как связан с решением систем алгебраических уравнений высокого порядка. В значительной мере отмеченных недостатков лишен метод расширения заданной системы, однако он не пользуется еще должным вниманием. [c.149]

Достоинством метода расширения заданной системы является возможность существенного понижения порядка систем алгебраических уравнений при решении сложных задач, по сравнению с методами конечных разностей и конечного элемента, так как при использовании метода расширения заданной системы отпадает необходимость в составлении уравнений относительно точек, расположенных внутри и вне рассматриваемой области. [c.149]

Что касается точности метода расширения заданной системы, то она оказывается существенно выше точности, которая присуща методу конечных разностей при равном числе контурных точек. Одновременно при этом для сложных задач уменьшается число неизвестных. Так, например, при расчете плоской квадратной пластинки методом конечных разностей с 361 узловой внутренней сеткой надо решить систему 61 уравнения, тогда как при использовании с той же сеткой метода расширения заданной системы и выборе в качестве расширенной системы бесконечной плоскости необходимо составить и решить лишь 152 уравнения. При 81 узле квадратной сетки метод расширения заданной системы дает 80 неизвестных. При меньшем числе узлов метод конечных разностей дает меньшее число уравнений. Отсюда следует, что при выборе того или иного метода расчета необходимо критически оценивать достоинства и недостатки каждого из них. [c.150]

Это значение, конечно, совпадает со значением функции при x = 7, вычисленным выше. Если учесть, что с расширением интервала изменения х число алгебраических уравнений, необходимых для вычисления функции, растет, то преимуш,ество аппарата уравнений в конечных разностях станет очевидным. [c.73]

В этой же главе, как уже отмечалось, рассматривается ряд других вопросов. Очень подробно в ней говорится об изменении энтропии при необратимых процессах. Здесь рассматриваются процесс адиабатного расширения тела в пустоту, теплообмен при конечной разности температур, процессы с трением и адиабатное смешение газов. Там же рассматриваются термодинамические потенциалы, характеристические функции и их свойства, а также дифференциальные уравнения термодинамики. Две последние темы имеют настолько большое значение в построении теории термодинамики, что пх можно было бы выделить в отдельные главы. [c.350]

По существу, есть два классических способа вывода алгебраических уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения и решаемых численно метод конечных разностей и метод конечных элементов. Основное различие между ними можно сформулировать, по крайней мере качественно, следующим образом. При применении конечно-разностного метода все производные в дифференциальном уравнении заменяются конечными разностями между узлами внутри области, и сумма всех членов полученного разностного уравнения приравнивается нулю в каждом отдельном узле. При реализации метода конечных элементов в окончательной формулировке требуется, чтобы эта сумма, проинтегрированная по всей области, равнялась нулю. Алгебраически это достигается приравниванием нулю всех интегралов для каждого элемента, причем полагается, что решение в пределах элемента имеет вид некоторой простой функции. С нашей точки зрения, невозможно с уверенностью выбрать один из методов оба имеют свои преимущества и недостатки. Судя по литературе, многие известные авторы отдают предпочтение одному из них либо методу конечных элементов [15.1, 15.13, 15.20 - 15.22, 15.25, 15. 2, 15.70, 15.71, 15.119], либо методу конечных разностей [15.56, 15.66, 15,67, 15.78, 15,84, 15.85, 15.93, 15.94, 15.107 — 15.109, 15.121, 15.154]. Мы также сосредоточим свои усилия на конечных разностях, поскольку для разработки программ, основанных на методе конечных элементов, необходима, как нам представляется, более основательная математическая подготовка, чем при реализации метода конечных разностей. Некоторое интересное расширение возможностей метода конечных разностей было предложено в [15.2, 15.3]. Полностью следуя этим идеям, одно существенное преимущество метода конечных элементов — значительную гибкость при разбиении области — следовало бы распространить также и на метод конечных разностей. [c.404]

Полезная внешняя работа адиабатического процесса согласно уравнению (2.8), выражающему первое начало термодинамики, равняется разности энтальпий в начальном и конечном состояниях. Поэтому при обратимом адиабатическом расширении производится полезная внешняя работа [c.163]

Приступая к вычислению изменения энтропии в процессе дросселирования, следует сделать одно существенное замечание. Дифференциальные уравнения термодинамики, которые мы будем использовать для вычисления изменения энтропии, температуры и других параметров вещества при адиабатном дросселировании, применимы, как отмечалось в гл. 3 и 4, только для обратимых процессов. Поэтому для того чтобы иметь возможность вос-пользоваться этими уравнениями для расчета изменения состояния газа (жидкости) в необратимом процессе адиабатного дросселирования от состояния 1 до состояния 2, мы должны предварительно подобрать схему обрати-м о г о процесса, переводящего рассматриваемый газ (жидкость) из того же исходного состояния 1 (перед дросселем) в то же конечное состояние 2 (за дросселем). Изменение энтропии будет подсчитано для этого обратимого процесса, но поскольку энтропия является функцией состояния, то разность энтропий газа (жидкости) в состояниях 1 vl2 будет такой же и для интересующего нас процесса дросселирования. Таким условным обратимым процессом может служить, например, обратимый процесс расширения газа с подводом (отводом) тепла, осуществляемый таким образом, чтобы энтальпия газа осталась постоянной . [c.241]

Более детально теплообмен и сопротивление в круглой трубе при течении газа с переменными физическими свойствами исследованы Ворсе-Шмидтом и Леппертом [Л. И]. Система уравнений движения, энергии и неразрывности, записанная в приближении пограничного слоя, решалась численно, методом конечных разностей. Расчеты проведены для воздуха с учетом зависимости р, ср, ц и Я, от Г, а р также и от /7 в соответствии с уравнениями (3-5), (3-7),. (3-9) и (3-10) при значениях Пс=0,12 ==0,67 и п. =0,7il и значении числа Рг= 0,72 (при температуре газа на входе). Параметры потока выбраны так, чтобы влияние диссипации энергии, работы расширения газа и свободной конвекции было пренебрежимо малым. На входе в трубу заданы параболический профиль скорости и однородное распределение температуры (7 =7 о), а на стенке задано постоянное значение температуры (Т=Тс), [c.137]

Процесс расширения рабочего тела в ступени. Степень реактивности. Как следует из уравнения (3.3), механическая работа, совершаемая потоком, определяетс5[ разностью энтальпий и выходной энергией. Потери, отражающиеся на конечной величине энтальпии или количестве рабочего тела, называют внутренними. [c.111]

Предыдущие главы курса были посвящены в основном исследованию незамкнутых процессов, т. е. процессов расширения и сжатия. Основой для исследования уравнений процессов и их особенностей служили уравнение первого закона термодинамики и уравнение состояния газа. При этом не рассматривались вопросы, связанные с возвращением рабочего тела после процесса расширения в первоначальное состояние. Между тем совершенно очевидно, что нельзя осуществить тепловую машину, в которой происходило бы лишь одно непрерывное расширение газа. Для этого необходимо было бы иметь, например, для поршневых двигателей бесконечно длинный цилиндр, в котором под действием подводимого тепла газ мог бы расширяться и совершать полезную работу. Работа всех тепловых машин основана на том принципе, что рабйчее тело, закончив процесс расширения (рабочий ход) и совершив при этом внешнюю работу, должно возвратиться в свое первоначальное состояние, чтобы снова повторить процесс расширения. При возвращении рабочего тела в первоначальное состояние (процесс сжатия) необходимо затратить внешнюю работу на осуществление этого процесса. Поскольку работа является функцией процесса, т. е. при одних и тех же начальных и конечных состояниях рабочего тела работа будет иметь различную величину в зависимости от процесса, протекающего с газом, то всегда можно выбрать процесс возвращения газа в первоначальное состояние таким, чтобы работа, затраченная внешней системой на осуществление этого процесса, была меньше, чем работа газа в процессе расширения. Разность между работой, отданной внешней системе газом при его расширении, и работой, затраченной внешней системой на сжатие газа, может быть использована внешним потребителем. [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...