Теорема Кастильяно статическая

Вторая теорема Кастильяно. Приложение теоремы Кастильяно к статически неопределимым системам позволяет найти усилия в липших связях и в результате соответствующего обобщения сформулировать принцип наименьшей работы. Подробный вывод содержится во многих руководствах, а здесь приведены только необходимые результаты. Энергия деформации при осевом нагружении г-го элемента Если отбросить в ферме [c.116]

В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КАСТИЛЬЯНО [c.259]

Раскрытие статической неопределимости для балки, рассмотренной в ПО—112, может быть произведено и при помощи теоремы Кастильяно ( 101). [c.339]

В силу этого взаимная теорема хотя в теории и дает подходящий метод для решения любой статически неопределимой задачи в стиле тех, которые были разобраны выше, но удобна в своем применении только к фермам частного вида. С другой стороны, первая теорема Кастилиано дает простой и непосредственный способ вычисления перемещений в фермах, когда усилия в составляющих ее стержнях статически определимы. [c.58]

Мы можем находить усилия в статически неопределимых фермах как в плоском, так и в пространственном случаях с помощью второй теоремы Кастилиано. Если N, определяемое соотношениями (15) или (17), представляет собой степень статической неопределимости фермы, то, очевидно, мы можем сделать ферму простой, удалив N подходящим образом выбранных стержней. Другими словами, мы можем [c.146]

Ряд составлен так, что каждый его член удовлетворяет граничному условию и содержит неизвестный множитель а . Далее составим соответствующее выражение для V, и наконец, определим а,, из условия минимума потенциальной энергии V. Последовательность действий нашего метода близка к последовательности действий в процессе применения второй теоремы Кастилиано к статически неопределимым фермам (гл. III). [c.474]

Изложенный общий метод расчета статически неопределимых конструкций основан на применении теоремы Кастильяно к основной системе, в которой удалены лишние связи и заменены лишними неизвестными усилиями в этих связях. Названные усилия определяются в процессе решения поставленной задачи. Поэтому описанный метод расчета принято называть методом сил. Возможен, а нередко оказывается более удобным, другой подход к решению той же задачи, основанный на применении обратной теоремы (8.9). В этом случае в заданной статически неопределимой конструкции вводятся дополнительные связи, обеспечивающие неподвижность ее узлов. Используя (9.8), путем выкладок, аналогичных приведенным выше, можно показать, что усилие в любой дополнительной связи при линейных зависимостях между обобщенными силами и перемещениями выразится через перемещения узлов следующим образом [c.290]

Величина изгибающего момента Мо, действующего в сечении 00, статически неопределима, и для ее нахождения следует воспользоваться теоремой Кастильяно. Сечение 00 при изгибе не поворачивается, поэтому перемещение от момента М о равно нулю и,следовательно, т [c.167]

Изгибающий момент УИо в сечении 00 статически неопределим. Для его нахождения воспользуемся теоремой Кастильяно. Так как сечение 00 при изгибе кольца не поворачивается, то перемещение от момента Мо равно нулю и, следовательно, [c.170]

Для стержня постоянного поперечного сечения, растянутого или сжатого неизменяющимися по длине силами, пластические деформации возникают одновременно во всех точках. По диаграмме растяжения или сжатия материала стержня определяют деформации при известных напряжениях и наоборот. Для идеальной упругопластической системы предельное состояние возникает тогда, когда напряжения достигают предела текучести по крайней мере в одном из стержней. Статически неопределимую стержневую систему рассчитывают как упругую [13], используя условия совместности деформаций, которые обычно составляют с помощью обобщенной теоремы Кастильяно [c.180]

Статически неопределимые системы рассчитывают, как и упругие, с помощью условий совместности деформаций элементов. Эти условия можно составлять непосредственно удобно их получать с помощью обобщенной теоремы Кастильяно [формула (43) гл. 3] из соотношений [c.505]

Поэтому, варьируя функцию р, мы получаем такие вариации напряженного состояния, которые всегда статически удовлетворительны и следовательно допустимы при пользовании теоремой Кастильяно. [c.115]

О)гласно теореме Кастильяно, действительно осуществляющееся напряженное состояние отличается от множества всех статически допустимых состояний тем, что для него потенциальная энергия системы принимает минимальное значение. Поэтому функция р (г) должна быть такой, чтобы потенциальная энергия П (р) была минимальна. [c.116]

Теорема о минимуме энергии. Эта теорема представляет частный случай теоремы Кастильяно применительно к статически неопределимым системам. Пусть мы имеем статически неопределимую систему. Отбрасывая п связей, мы превращаем систему в статически определимую. Введем реакции этих связей ..., Х . Через [c.342]

Задачи, в которых за статически неопределимые величины мы принимаем усилия, действующие в лишних стержнях системы, также можно решать при помощи теоремы Кастилиано. Возьмем, например, систему, представленную на рис. 18, которая была рассмотрена ранее (см. стр. 26). Принимая за статически неопределимую величину усилие X в вертикальном стержне, найдем, что усилия в наклонных [c.289]

Таким образом, в теле, удовлетворяющем условиям течения, выражаемым уравнениями (3.64) и (3.65), смещение точки приложения сосредоточенной силы Qi равно частной производной от дополнительной работы напряжений внутри тела по этой силе. Эта теорема аналогична теореме, доказанной Кастильяно для энергии деформации упругого тела ), включая и те случаи, когда то или другое из смещений qi равно нулю в случае неподвижных опор статически неопределимой системы [c.174]

Данный вывод предполагает существование энергии деформации и = и с1(г))- Поэтому теорема справедлива также для нелинейно-упругого поведения материалов. Первую теорему Кастильяно можно, вообще говоря, использовать, например, для расчета статически неопределимых несущих конструкций, но ее значение для практических приложений невелико. [c.97]

Теорема Кастильяно чрезвычайно удобна для нахождения перемещений в статически определимых n TeMiax. Дешствитель-но, из уравнений статики мы можем выразить усилие и изгибаю- [c.152]

Этот метод основан на второй теореме Кастильяно, сформулированной в разделе II, Б, Она устанавливает, что работа внутренних сил, совершаемая в процессе деформирования, должна иметь минимальное значение при условии выполнения уравнений равновесия. Рассматриваемый метод предусматривает определение полной работы Шт, состоящей из работы, совершаемой при осевом нагружении 1Р и изгибе 1Рд, и дифференцирование полной работы по неизвестным силовым факторам. Из равенства нулю этих производных можно получить уравнения для определения статически неопределимых силовых факторов. Если такими факторами являются осевая сила Р и момент М в элементе, то описанный метод моншт быть представлен следующими равенствами [c.145]

Вариационный принцип Кастильяно (теорема Кастильяно) заключается в следующем. Из всех статически допустимых систем действительная система выделяется тем, что для нее и только для нее кастильяниан (7.46) имеет стационарное значение, т.е. [c.58]

Понятие энергии деформации позволило развить эффективные вариационные методы расчета статически неопределимых систем (обобщенные позже 62 на произвольные упругие системы). Первоначально это было сделано итальянским инженером Л. Менабреа для ферм . Общая же теория была развита в 1865 г. Дж. Коттерилом и независимо от него в 1873—1875 гг. А. Кастиль-яно 8. Некоторые неясности в изложении работ Кастильяно дослужили причиной продолжительной дискуссии среди немецких инженеров, в которой приняли активное участие О. Мор и Г. Мюллер-Вреслау. Последний указал, в частности, что во многих случаях результаты расчета по теоремам Кастильяно совпадают с прямыми расчетами по методу Максвелла — Мора. [c.62]

В данном примере были умышленно описаны все шаги решения, чтобы показать основные положения метода перемещений при использовании первой теоремы Кастилиано, несмотря на то, что конструкция является очень простой и было бы гораздо проще исследовать ее как статически определимую конструкцию. При использовании метода перемещений требуется решить систему из двух уравнений, поскольку ферма дважды кинематически неопределима. Однако, поскольку конструкция статически определима, ее можно рассчитать следующим образом 1) из уравнений равновесия найти усилия в стержнях 2) подсчитать возникающие в стержнях напряжения, разделив усилия на площади поперечных сечений 3) используя зависимость напряжения от деформации, вычислить деформации в стержнях 4) зная деформации, определить удлинения стержней 5) построить диаграмму Виллио (см. разд. 1.5) и по ней найти перемещения ОхК узле В. [c.497]

Метод сил, которому соответствуют уравнения (11.69), аналогичен методу перемещений, которому соответствуют уравнения (11,52). В методе сил дополнительная энергия выражается как функция лишних статических неизвестных, а затем применяется теорема Кротти — Энгессера, в результате чего получаются уравнения совместности, из которых находятся лишние неизвестные, В методе перемещений энергия деформации выражается как функция неизвестных перемещений в узлах, а затем применяется первая теорема Кастилиано для получения уравнений равновесия, из которых можно определить перемещения. Оба метода могут применяться для расчета конструкций с нелинейным поведением. [c.526]

Конструкция может быть статически неопределимой по двум причинам она моясет иметь лишние опорные закрепления или иметь лишние элементы. Если конструкция имеет лишние опорные закрепления, то лишними неизвестными являются реакции этих закреплений (опорные реакции). Если опорные закрепления таковы, что смещения по их направлению невозможны, то на основании теоремы Кастильяно частные производные от потенциальной энергии всей системы по лишним неизвестным должны равняться нулю. Иными словами, если обозначить [c.285]

Кастильяно ( astigliane) Карло Альберто (1847-1884) — итальянский математик и инженер. Известен работами в теории упругости и строительной механике (теорема Кастильяно об определении прогибов в шарнирных формах, выражение для упругой энергии стержневых статически неопределимых систем и др.). [c.448]

Частный случай второй теоремы Кастильяно представляет собой теорема Менабреа которая применяется для вычисления опорных реакций в статически неопределимых линейноупругих системах [c.98]

В разд. 11.13 уже было показано, как использование дополнительной энергии и теоремы Кротти — Энгессера приводит к методу сил расчета конструкций. Частный вариант метода сил имеет место при линейном поведении конструкции. При таких условиях энергию деформации основной системы (равную дополнительной энергии) можно представить в. виде квадратичной формы как от нагрузок, так и от лишних статических неизвестных Хг, Х ,. . ., Хп. Тогда, применив вторую теорему Кастилиано, получим следующую систему уравнений [c.531]

При исследовании статически неопределимых балок мы, установив зависимости между перемещениями их сечений, для определения этих перемещений использовали аналитический или графоаналитический метод. Очевидно, для той же цели можно было использовать теорему Кастильяно. Нетрудно показать, что на основании этой теоремы можно получить общий метод расчета любой статичекси неопределимой конструкции, если только существует линейная зависимость между обобщенными силами и обобщенными перемещениями. [c.285]

Если решать задачи упругого равновесия по методу Сен-Венана, задаваясь из механических соображений значениями компонентов напряжённого состояния и применяя уравнения упругого равновесия Коши (4.24) и статические граничные условия (11.43), то главная трудность будет состоять в удовлетворении шести тождественных соотношений Бельтрами (4.48) и (4.50). Но из теоремы Саутуэлла ( 122) вытекает, что тождественные соотношения Сен-Венана являются следствием вариационного уравнения Кастилиано (11.70) [c.445]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...