ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Биркгофа из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Напомним, что биллиардом Биркгофа называется динамическая система следующего вида. Пусть имеется замкнутая выпуклая кривая на плоскости. В области, ограниченной этой кривой, движется точка. Внутри области движение происходит равномерно и прямолинейно, а отскок от кривой является абсолютно упругим (угол падения равен углу отражения). [c.57] Интересными являются вопросы исследования периодических траекторий биллиарда. Любой периодической траектории соответствует вписанная замкнутая ломаная. Числом звеньев траектории будем называть число звеньев этой ломаной. [c.57] Условимся считать, что длина кривой биллиарда равна единице (иначе воспользуемся преобразованием подобия с соответствующим коэффициентом, которое сохранит качественную картину движения). Введем натуральный параметр фто(11. [c.57] В настоящей главе будет дано вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании периодических траекторий биллиарда в следующей уточненной формулировке. [c.58] Существование двух периодических траекторий установлено Биркгофом с помощью последней теоремы Пуанкаре всякое отображение двумерного кольца на себя, сохраняющее площадь и вращающее границы кольца в противоположных направлениях, имеет не менее двух геометрически различных неподвижных точек [67]. Эта теорема была высказана Пуанкаре. Ее доказательство дано Биркгофом (см. [42]). Ниже приводится вариационное доказательство теоремы 1 из работы [34]. [c.58] Задача отыскания периодических траекторий сводится к некоторой вариационной задаче. Каждой замкнутой вписанной -звен-ной ломаной можно сопоставить (неоднозначно) точку -мерного тора Т = ((ф1. ф )то(1 1 , где упорядоченный набор ф1. ф представляет координаты соответствующих вершин ломаной. Сразу виден произвол в выборе переменных ф одной и той же ломаной соответствуют точки тора, отличающиеся друг от друга циклической перестановкой координат. [c.58] Рассмотрим множество = феТ ф г ф) +1 для любого к Хп), где 2п — кольцо вычетов по модулю п. Нумерация элементами множества взята для того, чтобы охватить случай фп = фп+1— =Ф1- На торе Т определена непрерывная функция Ь, сопоставляющая каждой ломаной ее периметр, причем на области О функция Ь, очевидно, гладкая. [c.58] Любой п-звенной периодической траектории биллиарда Биркгофа соответствует (неоднозначно) критическая точка функции L в области D - и любой критической точке функции L в области D соответствует п-звенная периодическая траектория биллиарда. [c.59] Следует заметить, что это утверждение фактически использовал, не доказывая подробно, Биркгоф [42]. Доказательство предложения 1 сразу следует из принципа Мопертюи для систем с упругими отражениями (см. введение, п. 8). [c.59] Вернуться к основной статье