Гамильтонова система невырожденная

В качестве следствия получаем следующее утверждение если п — то характеристических показателей решения х 1, ) отличны от нуля, то на его траектории интегралы 1,. .., зависимы. В частности, на траекториях невырожденных периодических решений двумерной гамильтоновой системы интеграл энергии Ж и любой первый интеграл зависимы. [c.78]

Мы будем рассматривать случай, когда параметр мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням . Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых Новых методов небесной механики [9]. [c.235]

Гамильтонова система с функцией Гамильтона Н 1) называется невырожденной (в области О х Т"), если якобиан — = [c.87]

Пусть — отображение за период i = 2тг возмущенной системы. Точка С, G — периодическая точка д периода т N, если д ( = = Периодические точки, и только они, являются начальными значениями (при t = 0) для периодических решений гамильтоновой системы. Если т — период точки (, то 2пт—период решения t z t, ), (Oi ) = С- Периодическая точка ( называется невырожденной, если собственные значения отображения z — g z, линеаризованного в окрестности точки (, отличны от единицы. Ясно, что некритические ограниченные линии уровня функции Но составлены сплошь либо из вырожденных периодических, либо из непериодических точек отображения до- [c.294]

С помощью теоремы 1 можно установить наличие семейств невырожденных долгопериодических решений в гамильтоновых системах, неинтегрируемость которых установлена методом расщепления сепаратрис. Ряд примеров таких систем указан в 3, 4. [c.296]

Точно так же, если ограничиться гамильтоновой системой (21.5), то теоремы 21.7 и 21.11 не приводят к эквивалентным результатам. Действительно, условия невырожденности теорем 21.7 и 21.11 [c.100]

Иначе говоря, в невырожденных гамильтоновых системах эволюции переменных действия не происходит. [c.106]

Гамильтонова система с функцией Гамильтона Я(/) называется невырожденной (в области DxT ), если якобиан [c.130]

В соответствии с этой теоремой для медленных фаз и сопряженных Им переменных при усреднении получается приведенная гамильтонова система с п—г степенями свободы. Если число быстрых фаз лишь на единицу меньше числа степеней свободы (однократное вырождение), то приведенная система имеет одну степень свободы. Следовательно, при однократном вырождении принцип усреднения позволяет приближенно проинтегрировать задачу (как и в невырожденном случае). [c.184]

Один показатель обращается в нуль из-за автономности гамильтоновой системы, а другой — из-за наличия интеграла Я (который не имеет критических точек на траекториях периодических решений). Если остальные характеристические показатели отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденные решения изолированы в том смысле, что на соответствующем (2п—1)-мерном уровне интеграла энергии Я в малой окрестности периодической тра- [c.229]

Теорема Пуанкаре дает нам метод доказательства неинтегрируемости если траектории невырожденных периодических решений заполняют фазовое пространство всюду плотно или хотя бы это множество обладает ключевым свойством, то гамильтонова система не имеет дополнительного аналитического интеграла. По-видимому, в гамильтоновых системах общего положения периодические траектории действительно всюду плотны (Пуанкаре (34), п. 36). Это пока не доказано. Отметим в связи с гипотезой Пуанкаре следующий результат, касающийся геодезических потоков на римановых многообразиях отрицательной кривизны все периодические решения имеют гиперболический тип и множество их траекторий всюду плотно заполняет фазовое пространство [3]. [c.230]

При = О имеем интегрируемую гамильтонову систему с одной степенью свободы. Предположим, что невозмущенная система имеет в области О три неустойчивых невырожденных положения равновесия 1, 2 и Zз, соединенных двоякоасимптотическими траекториями Г1 и Г2, как показано на рис. 27. Точки Zl и zз могут совпадать, однако мы требуем, чтобы Zl ф Z2. Точки Zl, Z2 к. zз — неподвижные точки отображения 50 за период I = 2тг невозмущенной системы, а Г1 и Г2 — инвариантные кривые этого отображения, заполненные точками, которые при положительных (отрицательных) итерациях отображения 50 стремятся к точке Z2 zl) для кривой Г1 и к точке zз ( 2) для кривой Г2. При малых значениях [c.288]

Геометрически эта форма означает сумму площадей ориентированных проекций параллелограмма на п координатных двумерных плоскостей Р, Яг), (Рп, 9п)- В дальнейшем мы увидим, что 2-форма имеет основное значение для гамильтоновой механики. Можно показать, что всякая невырожденная ) 2-форма в имеет вид в некоторой системе координат (р1,. . Зп)-] [c.151]

Иными словами, в гамильтоновой невырожденной системе эволюции нет. [c.258]

Первые строгие результаты о неинтегрируемости гамильтоновых систем принадлежат Пуанкаре. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведение решений (например, рождение невырожденных периодических решений, расщепление асимптотических поверхностей и т. д.) несовместимо с полной интегрируемостью уравнений Гамильтона. В этой главе изложены основные методы доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем, основанные йа выявлении различных нетривиальных динамических эффектов, не свойственных вполне интегрируемым системам. Более подробное изложение содержится в работе [13]. [c.226]

Покажем, что функция не зависит от угловой переменной g. Так как функция — первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция 0 непрерывна, то постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех g G R точки (Х°, Р, G , g) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. 1). Следовательно, [c.64]

Координаты (рь. .., (рп — угловые координаты на инвариантном п-мерном торе / = onst, равномерно меняющиеся со временем. Гамильтонова система называется невырожденной, если [c.13]

Имеется еще один распространенный вариант определения симплектической структуры и гамильтоновой системы. Исходным пунктом здесь является замкнутая невырожденная 2-форма П на четномерном многообразии М. Форма П позволяет построить естественный изоморфизм касательного Т М и кокасательного Т М пространств вектору Т М ставится в соответствие ковектор [c.22]

Скобка Ли — Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13) при соответствии т,- <-+ г>, и pj <-+ вырождена функции (т,р) и коммутируют со всеми функциями на (е(3)) они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = т,р т,р) = = Сь (р,р) = Сг (с2 > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли — Пуассона на Мс является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н, ограниченным на Мс, этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая сх = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при С1 = 0. Положим т = ехр. Екли (т,р) = О и (р,р) > [c.40]

Другими словами, все траектории невозмущенной системы, лежащие на г-мерном инвариантном торе Т = ж mod 2тг, замкнуты. Эти периодические траектории, разумеется, изоэнергетически вырождены (см. следствие теоремы 4) и при добавлении возмущения, как правило, перестают быть замкнутыми. Однако, как впервые заметил Пуанкаре, в типичной ситуации нри малых значениях е возмущенная гамильтонова система имеет несколько невырожденных периодических реП1ений, которые нри е —> О переходят в периодические решения, расноложенные иа резонансном горе Т"о. [c.225]

Тогда при малых ф О существует изоэнергетически невырожденное периодическое решение возмущенной гамильтоновой системы с периодом т оно аналитически зависит от г и при е = О совпадает с периодическим решением невозмущенной системы [c.226]

Теорема 6. Пусть а,(3 —вершины множества А, удовлетворяющие условиям теоремы 2 из 5, а ф О — точка из расположенная на одной из прямых ка + /3, у) = О (А = 0,1, 2,...), причем компоненты целочисленного вектора ка + 3 взаимно просты. Тогда по крайней мере два периодических решения на резонансном торе у = ф О невозмущенной задачи при возмущении переходят в изоэнергетически невырожденные периодические решения гамильтоновой системы с тем же периодом. [c.231]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Трещёв Д. В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой //В кн. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика.— М. изд-во МГУ, 1986. 121-127. [c.423]

Применим метод усреднения к гамильтоновым системам (21.5). Если выполняется условие невырожденности (21.6), то большая часть невозмущенных орбит эргодична на торах р = onst. Поэтому такие системы можно представить в виде (22.3) с I = р, = Ъ к = п [c.105]

Это уравнение можно представить в гамильтоновом виде / = = , Я , где Н=<к, (1)>/2 — кинетическая энергия твердого тела, а скобка I, определяется с помощью равенств ки кг =—кг, к , Лз) = — з, к )=—кг. Эта скобка, правда, вырождена функция Р=<к, к> коммутирует со всеми функциями,, заданными на к = к . Мы получим невырожденную скобку Пуассона, если ограничим скобку , на поверхность уровня днффеоморфную двумерной сфере 5. На симплектическом многообразии 5 возникает искомая гамильтонова система ее функция Гамильтона является полной энергией <к, (1)>/2, ограниченной на 5. [c.111]

Теорема 13. (Теорема Колмогорова). Если невозмущенная гамильтонова система невырождена нли изоэнергетически невырождена, то при достаточно малом гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически с числом частот равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. В случае изоэнергетической невырожденности инвариантные торы образуют большинство на каждом многообразии уровня энергии. [c.198]

Невырожденные неустойчивые периодические решения имеют асимптотические многообразия, заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к периодическим траекториям при г- - оо. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неиитегри-руемых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут пересекаться ие совпадая, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Б этом параграфе мы опишем восходящий к Пуанкаре способ доказательства иеиитегри-руемости, основанный на анализе асимптотических поверхностей гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых. [c.235]

Рассмотрим теперь случай гамильтоновых систем. Пусть 7 — замкнутая траектория автономной гамильтоновой систем с гамильтонианом Я. Так как dH О в точках 7, то, по теореме 1, один из мультипликаторов обязательно равен единице. Поэтому периодические решения гамильтоновых систем вырождены в смысле определения п. 1. Предположим, что периодическая траектория 7 лежит на энергетической поверхности S = Н = onst , и лишь один из ее мультипликаторов равен единице. Нетрудно показать, что 7, рассматриваемая как периодическая траектория гамильтоновой динамической системы на 17, невырождена. В этом случае 7 естественно назвать изоэнергетически невырожденной периодической траекторией. [c.224]

Гамильтонова, или симплектическая, динамика. Эта теория — естественное обобщение анализа дифференциальных уравнений классической механики. Фазовое пространство в этом случае представляет собой четномерное гладкое многообразие с замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой П. Однопараметрические группы диффеоморфизмов, сохраняющих форму Q, соответствуют дифференциальным уравнениям классической механики в гамильтоновой форме. Сохраняющий форму П диффеоморфизм обобщает понятие канонического преобразования. Мы впервые встретимся с такими системами в 1.5 и рассмотрим эту тему более систематически в 5.5. [c.23]

Отождествим гладкое 2п-мерное многообразие с фазовым пространством механической системы. Пусть а—ёО — невырожденная замкнутая 2-форма (точная симпликтическая структура) на М, а Н М —>- К — кусочно-гладкая функция. Вне поверхностей П/ функция Н задает гладкое гамильтоново векторное поле sgтa(iH, удовлетворяющее равенству [c.151]

Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Но 1). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы / = onst. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот =дНо1д1. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /= onst называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...