Уравнения ван-дер-Поля системы

Пример. Уравнение Ван дер Поля. Простейшим примером системы, совершающей релаксационные колебания, является система Ван дер Поля [c.166]

Для приведения его к стандартному виду введем новые переменные айве помощью следующей замены, jk д os -j-0), — й sin + 6) Тогда уравнение Ван-дер-Поля приводим к системе [c.87]

Выражения (29) представляют собой решение уравнения Ван-дер-Поля с медленно изменяющейся амплитудой, и, конечно, в общем случае они не являются периодическими по t, однако система (15) удобна и для- отыскания равновесных решений. Действительно, приравнивая правую часть первого уравнения (15) нулю, будем иметь [c.67]

Системы уравнений Ван-дер-Поля [c.104]

Система (163) по существу и является укороченными уравнениями Ван-дер-Поля. Однако с целью упрощения она обычно несколько преобразовывается. Во-первых, преобразовывается выражение [c.208]

На рис. ПИ1.2, а приведена примерная характеристика силы, действующей в линейной системе с положительным линейным затуханием меньшим критического на рис. П1И.2, б — при затухании, большем критического. На рис. ПП1.2, в, г даны характеристики силы, действующей в системе, описываемой уравнением Ван дер Поля, причем на рис. ПП1.2, в — при отклонении а < 1, на рис. ПП1.2, г — при а > 1. [c.236]

Простейшим математическим примером автоколебательной системы является уравнение Ван-дер-Поля [c.201]

Уравнение Ван дер Поля ж + е(ж — 1)х + ж = О, 8 > О описывает колебательные процессы в электрических цепях. Доказать, что нулевое состояние равновесия этой системы неустойчиво. [c.287]

Мы не можем рассчитывать получить элементарные выражения для решений или интегралов в случае произвольной динамической систе-мы. Вследствие этого даже очень простые по виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специальных приемов. Примером этому может служить уравнение Ван-дер-Поля [c.35]

Необходимо подчеркнуть, что, вообще говоря, форма автоколебаний не связана с характером особой точки, лежащей внутри соответствующего предельного цикла. Поэтому ту связь между формой автоколебаний и характером особой точки, которая обнаружилась в случае уравнения Ван-дер-Поля, не следует обобщать на какие-либо другие автоколебательные системы (например, на ламповый генератор с другими характеристиками лампы). [c.387]

В разд. 3.2 в качестве характерного примера уравнения автоколебательной системы неоднократно упоминалось уравнение Ван дер Поля (3.3). Теперь мы покажем, какой физический процесс описывается этим уравнением, и в качестве примера рассмотрим схему лампового генератора (рис. 97). В этом генераторе имеется кон- [c.129]

В качестве классического примера дифференциального уравнения автоколебательной системы в разд. 3.3.2 было приведено уравнение Ван дер Поля, которое описывало поведение лампового генератора. Теперь рассмотрим, какие явления следует ожидать, если на генератор дополнительно воздействует внешнее периодическое возмущение. Для этого дополним уравнение Ван дер Поля (3.55) членом, соответствующим гармоническому возмущению [c.249]

Пример 1.2. При исследовании уравнения Ван-дер-Поля возникает вспомогательная нелинейная система [113, с. 345] [c.15]

Большей частью автоколебания возникают в системах с нелинейным сопротивлением, изменения которого, в зависимости от положения и скорости колеблющейся системы, происходят по особому характерному именно для автоколебаний закону. Примером такого рода изменений сопротивления может служить система, описываемая уравнением Ван-дер-Поля [c.499]

Такой автоколебательной системой с самовозбуждением будет система, описываемая уравнением Ван-дер-Поля [c.504]

Теорема Пуанкаре относится к системам, уравнения движения которых содержат малый параметр ц и обладают периодическим решением, когда этот параметр равен нулю. Такие системы будем называть системами Пуанкаре. Частным случаем систем Пуанкаре являются квазилинейные системы, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр ц и которые обращаются при ц = О в линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Такой будет, например, система, описываемая -уравнением Ван-дер-Поля, [c.524]

Рассмотрим два примера динамических систем, фазовые портреты которых содержат устойчивые предельные циклы, и, стало быть, эти системы являются автоколебательными. В первом примере рассматривается уравнение Ван-дер-Поля, которым отображается (при соответствующих идеализациях) динамика лампового генератора и рада других автоколебательных систем [3], во втором - динамическая система, к которой приводится задача о синхронизации лампового генератора при ее решении методом Ван-дер-Поля [8]. [c.91]

Уравнение Ван-дер-Поля. Найдем автоколебания в системе, описываемой уравнением (12.2). Напомним, что здесь F x,x) = и не обязательно ц 1. Сначала определим по формуле (12.7) [c.240]

Для системы Ван дер Поля — фазовая плоскость, В —ось у. Уравнение быстрых движений х = у — х - -х. у=0. [c.167]

Пример. Уравнение медленного движения системы Ван-дер Поля [c.169]

Одна из этих гиперповерхностей соответствует столкновению устойчивого положения равновесия с неустойчивым, после которого оба положения равновесия исчезают (становятся комплексными). На медленной поверхности это явление наблюдается в нерегулярных точках (критических точках проектирования медленной поверхности на базу) в этих точках линеаризация быстрого уравнения в слое имеет нулевое собственное число. Например, для системы Ван дер Поля срыв происходит в точках вертикальности касательной к медленной кривой. [c.170]

Система (6.90) может иметь одно или несколько решений (Ло Л/. 5/1. Однако не каждое из полученных решений должно соответствовать устойчивому колебательному режиму. Для проверки динамической устойчивости полученных режимов дадим установленным значениям Ло, Л/, В/ некоторые возмущения Ц СО. I (0. S (i)- Тогда возмущенное движение снова может быть описано в форме. (6.68), однако теперь Л о (О = Лд + т) (г ) Л/ (t) = Л/ + I (/) Bj (О = В j,+ Z (t) — некоторые неизвестные функции времени, которые будем считать медленно меняющимися. Напомним, что этот термин указывает на малость приращений этих функций за один период по сравнению со средним значением на этом периоде. Проведем некоторые преобразования на основании метода Ван дер Поля [18, 41 ]. Поскольку одна неизвестная функция q° (t) представлена в виде зависимости от трех неизвестных функций Л о, Л/, Bj, мы вправе наложить на-эти функции два дополнительных условия, выбираемых по нашему усмотрению. В качестве первого условия потребуем, чтобы для возмущенного движения сохранялось первое уравнение системы (6.90). Легко показать, что при этом [c.286]

В настоящем параграфе мы займемся изучением устойчивости регулятора давления, в котором возникает кулоново трение при движении поршня клапана. При учете кулонова трения уравнения малых колебаний системы в отличие от предыдущего будут уже нелинейными и для их интегрирования придется пользоваться приближенным методом, аналогичным методу Ван-дер-Поля, развитому только для обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.210]

Метод усреднения, или метод Ван-дер-Поля, рассмотрим в форме, предложенной Б. В. Булгаковым. Он исследует вынужденные колебания нелинейной системы, уравнения движения которой в форме Гамильтона имеют вид [c.205]

При исследованиях системы (156) приближенным методом Ван-дер-Поля сначала рассматриваются упрощенные укороченные уравнения, которые обладают замечательным свойством аппроксимировать решения исходных уравнений с заданной степенью точности, и учитывать специфику нелинейных систем. [c.206]

Теперь ясно, что применение метода Ван дер Поля к квази-консервативным системам, построенным для уравнения х + + k x + if(x, х) = О, позволяет учесть влияние сил трения при определении периода колебания. [c.246]

Упругие силы, вызванные деформацией связей, приводят к тому, что уравнения движения масс цепи становятся нелинейными. Для исследования системы нелинейных уравнений применяется метод Ван-дер-Поля. Примем также, что в каждом упругом соединении заключены неупругие сопротивления. [c.34]

Процессы установления в системах, описываемых уравнением Ван дер Поля с разными значениями коэффициентов при диссипативном члене, соответствуют фазовым портретам систем с разными величинами функции / (у), рассмотренным ранее на фазовой плоскости методом Льенара. [c.201]

Рассмотрим в качестве примера применение метода Льенара при изучении автоколебаний в системе, описываемой уравнением Ван-дер-Поля [c.50]

Получена система нелинейных уравнений, являюгцаяся двумерным аналогом уравнения Ван-дер-Поля. [c.172]

Читателям, заинтересовавшимся моделью тепловой конвекции Лоренца, следует прочитать ее подробное обсуждение в посвященной этой проблеме монографии Спэрроу [178]. Гукенхеймер и Холмс [57] написали современную математическую книгу, основанную на четырех парадигмах современной динамики, уравнении Ван дер Поля, модели Дуффинга изогнутого стержня, системе Лоренца и аттракторе Энона. Еще одна классическая модель хаотической динамики — масса под действием внешних соударений, например шарик, подскакивающий на колеблющемся столе или отскакивающий от пары стенок. Эта модель находит применение в теории ускорения электронов в электромагнитных полях, и ее иногда называют моделью ускорения Ферми. Она описывается двумерным отображением, аналогичным отображению Энона. Хорошее обсуждение модели Ферми и системы Лоренца можно найти в книге Лих-тенберга и Либермана [110]. [c.75]

Еще одна модель, изученная Уэдой, — генератор колебаний с отрицательным сопротивлением, показанный на рис. 3.14. Эта система описывается модифицированным уравнением Ван дер Поля [c.93]

Так, например, для системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.30), было на11дено выражение Ф(-4) в [c.230]

Рождение предельного цикла из замкнутой неизолированной трае тории консервативной системы. Математическая теория бифуркаций тако типа изложена в 33 монографии [5]. Здесь мы ограничимся толь указанием на уравнение Ван-дер-Поля как на характерный пример систем в которой эта бифуркация происходит. Действительно, при ц = 0 э уравнение имеет вид X + л = О фазовый портрет - континуум замкнут неизолированных траекторий-окружностей, охватывающих начало коор нат плоскости X, X. При переходе от 1 = 0 к неизолирован траектории исчезают, но рождается, как это было показано в 2.1 изолированная замкнутая траектория - предельный цикл (устойчивый и неустойчивый в зависимости от знака параметра ц). [c.110]

Таким образом, при малых значениях ц уравнение Ван-дер-Поля с точностью до членов порядка ц имеет один предельный цикл, радиус которого А = 2, а частота соответствующих колебаний равна собственной частоте системы при (д. = О (посколыд II, = 0). [c.171]

Замечание. В системах, где нелинейности - полиномы относительно X и X, можно определять параметры периодического решения непосредственной подстановкой х = Лд + y4sin o/ в исходное уравнение. Покажем это на примере уравнения Ван-дер-Поля. Подставив (12.4) в (12.2), получим [c.241]

Широкое применение метод усреднения получил после популяризации Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси метода Ван-дер-Поля. Создание строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову [11, 12], который показал, что Этот метод органически связан с суш,ествованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей уравнений с произвольной степенью точности относительно малого параметра 8. При эгом Н. Н. Боголюбов, исходя из физических соображений, указал, как строить не только систему первого приближения, но н усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью. [c.85]

Для системы с симметричной характеристикой Ао=0 кроме того, при надлежащем выборе начального отчета времени 5 =0, т.е. д — А со8со1. Значение находят из второго уравнения (6.5.10), которое в этом случае дает тот же результат, что и формула (6.5.9) для основной частоты свободных колебаний, полученной по методу Ван-дер-Поля. [c.368]

Чтобы выяснить причины, обуславливающие ограничения в результатах, получаемых с помощью метода Ван дер Поля, рас-с.мотрим ближе картину взаимодействия сил трения и сил упругости в колебательных системах с одной степенью свободы. В уравнении [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...