Стационарность потенциальной энергии систем

Точки, тела, масса, движение, уравнения движения, возможное (действительное, виртуальное) перемещение, равновесие, уравнения равновесия, внутренние силы, кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия, центр тяжести, центр масс, состояния покоя, отклонение (из положения покоя), положение, характеристика. .. системы. Неразличимость. .. инерционных систем. Канонические уравнения. .. стационарной системы. [c.43]

Для систем с голономными и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, этот критерий устанавливается специальными теоремами о потенциальной энергии системы. [c.5]

Установим аналогию между устойчивостью состояния равновесия и устойчивостью стационарного движения. Для этого рассмотрим приведенную систему с т независимыми координатами 9,, и с потенциальной энергией, равной потенциалу Рауса [c.289]

Покажем теперь, как тесно связана задача о малых колебаниях механических систем около положения равновесия с определением главных осей для потенциальной энергии V. Главные оси поверхности второго порядка обладают определенными экстремальными свойствами. Их можно найти, отыскивая на поверхности те точки, для которых расстояния от начала координат имеют стационарные значения. Поэтому задача состоит в нахождении стационарного значения квадратичной формы [c.179]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Известны два эквивалентных варианта формулировки статического критерия устойчивости консервативных систем [3]. В одном пз них критическая нагрузка определяется как наименьшее из тех значений нагрузки, при которых изменение полной потенциальной энергии при отклонениях системы от начального состояния равновесия имеет стационарное значение. В этом случае аналитическая формулировка критерия устойчивости выглядит так [c.79]

Постановка задачи о малых свободных колебаниях. Рассмотрим механическую систему с голономными стационарными идеальными связями. Все силы, действующие на систему, являются консервативными, причем энергия всех этих сил входит в потенциальную энергию системы U (qi,. ....g ). При t < О система находится в положении [c.54]

Теорема Лагранжа об устойчивости консервативных систем. Пусть система с голо-номными стационарными связями находится в равновесии под действием одних консервативных сил. Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво но Ляпунову. [c.96]

Это уравнение, которое называют вариационным уравнением Лагранжа, в отличие от уравнения в вариациях (1.29) справедливо только для консервативных систем. Из уравнения Лагранжа следует, что в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение. Справедливо и обратное утверждение если полная потенциальная энергия имеет стационарное значение, то система находится в положении равновесия. [c.24]

Общий подход к исследованию устойчивости равновесия консервативных систем основан на принципе минимума полной потенциальной энергии. Наглядной иллюстрацией такого подхода служит описание поведения тяжелого шарика на гладкой поверхности (рис. 1.13). Потенциальная энергия такого шарика изменяется пропорционально его вертикальному смещению. Она уменьшается с опусканием шарика и увеличивается, когда шарик поднимается. Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности (а) соответствует минимуму потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина выпуклой поверхности (б) соответствует стационарному, но не минимальному, а максимальному значению потенциальной энергии, и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Другими словами, помещенный в нижнюю точку вогнутой поверхности шарик останется [c.28]

Как известно, при составлении дифференциальных уравнений малых колебаний механической стационарной системы относительно положения равновесия нужно определять квазиупругие коэффициенты характеризующие действующие на систему потенциальные силы. Величины Сг равны вторым производным потенциальной энергии П по обобщенным координатам причем эти производные вычисляются для положения равновесия. Для нахождения коэффициентов обычно предварительно строится выражение П(91, 2, Яп)- Такой путь в некоторых случаях может оказаться весьма трудоемким. Ниже излагается прием, позволяющий находить величины рассматривая некоторое движение системы в положении равновесия и решая соответствующую кинематическую задачу. [c.109]

Рассмотрим стационарную голономную систему с п степенями свободы, положение которой определяется независимыми обобщенными координатами равными нулю в положении равновесия. Пусть на систему действует некоторая совокупность потенциальных сил. Запишем выражение для второй производной потенциальной энергии по времени в некотором движении 9г = 9г(0 из положения равновесия, причем счи- [c.109]

Системы, находящиеся во внешних стационарных и потенциальных силовых ПОЛЯХ. Для таких систем можно ввести функцию полной потенциальной энергии, причем [c.58]

В формулировке любого закона сохранения главным является указание класса механических систем, для которого та или иная физическая величина, сохраняется. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать следующим образом механическая энергия сохраняется в процессе движения у замкнутых механических систем и систем, находящихся в стационарных потенциальных силовых полях-, указанный закон сохранения является следствием однородности времени. [c.61]

Решая систему уравнений (27.14), можно найти одну или несколько равновесных конфигураций системы, т. е. один или несколько наборов значений обобщенных координат д о, д о, , которым соответствуют те или иные стационарные значения потенциальной энергии системы. Это не обязательно должен быть минимум или максимум функции и, так как с точки зрения математики уравнения (27.14) представляют собой только необходимые, но не достаточные условия существования экстремума функции многих переменных. [c.157]

Одномерное движение. Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Рассмотрим систему точек со стационарными потенциальными силами и стационарными идеальными связями. Для нее выполняется закон сохранения полной механической энергии [c.212]

Рассмотрим механическую систему с п степенями свободы, которая подчинена голономным стационарным связям. Число независимых обобщенных координат такой системы равно числу степеней свободы. Пусть на систему действуют потенциальные активные силы, которые определяются силовой функцией (потенциальная энергия системы равна П = -11), [c.308]

В случае стационарных связей для голономных систем с потенциальными силами справедлив закон сохранения механической энергии [c.88]

Выясним, при каких условиях у механической системы, движущейся в неинерциальной системе отсчета /С, может сохраняться полная энергия и из чего она складывается. Чтобы полная энергия системы сохранялась, ее лагранжиан (46.1) не должен явно зависеть от времени. А это возможно только в том случае, если внешнее силовое поле, действующее на систему, является стационарным и потенциальным (или обобщенно-потенциальным) и, кроме того, если система отсчета К движется относительно инерциальной системы К таким образом, что и ускорение ее поступательного движения, и угловая скорость вращения остаются постоянными, т. е. [c.263]

Рассмотрим сначала применение метода Релея — Ритца к принципу стационарности потенциальной энергии. Будем следовать известной процедуре этого метода и выберем систему п линейно независимых допустимых функций u), (х), называемых базисными функциями, которые удовлетворяют (2.81). Предположим, что W — линейная комбинация базисных функций, а именно, что [c.70]

Критерий устойчивости состояния покоя для систем с голоно.м-пыми и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, устанавливается в зависимости от потенциальной энергии этих систем. Представим себе механическую систему с голономными стационарными связями, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему, как указывалось выше ( 72), называют консервативной. [c.335]

Рассмотрим произвольную консервативную систему с голономными п стационарными связями, имеющую одну степень свободы. Положение системы будем определять обобщенной координатой д, отсчит1>1ваемой от положения устойчивого равновесия. Предположим, что система отклонена на небольшую величину от положения равновесия и ей сообщена небольшая начальная скорость. Тогда вследствие устойчивости положения равновесия система будет совершать движение вблизи этого положения равновесия, т. е. обобщенная координата 7 и ее скорость ц будут все время малы по модулю. Это обстоятельство дает возможность применить приближенный метод исследования движения, основанный на том, что нелинейные в общем случае дифференциальные уравнения движения упрощаются и заменяются на приближенные. линейные уравнения. Для этого, очевидно, достаточно выражения для кинетической и потенциальной энергий разложить в ряды по степеням д к ц, сохранив в них члены не выше второго порядка малости. [c.464]

Наконец (см. (4.83)), если потенциальная энергия механической системы во внешних г олях стационарна, диссипативные силы (внутренние и внешние) отсутствуют, а неинерциальная систе ма отсчета движется относительно инерциальной с постоянной угловой скоростью и постоянным ускорением начала, то полная энергия механической системы относительно неинерциальной системы отснета будет сохраняться, т, е. [c.193]

Достаточный признак устойчивости положения равнс весия механической системы относительно инерциальной системы отсчета устанавливается следующей теоремой. Пусть идеальные голономные связи, наложенные на систему, стационарны, заданные силы явно от времени н зависят, а потенциальная энергия системы в некотором положении обладает изолированным минимумом тогда это положение будет положением устойчивого равновесия. Минимум потенциальной энергии и называется изолированным, если в некоторой окрестности положения /ед, в котором энергия минимальна, нет других экстремальных точек функции (7. Иначе говоря, минимум будет изолированным, если при [c.263]

Что касается потенциальной энергии, то, как и для систем одной степенью свободы, в случае стационарных связей она явля ется функцией только координат [c.104]

Энвргеттеский баланс. Для адиабатных стационарных систем, в которых не производится никакой внешней механической работы, а изменения потенциальной и кинетической энергии незначительны, ДЯ = 0. Изменение энтальпии можно вычислить в зависимости от температуры и числа молей окиси углерода, реагирующих по следующей схеме [c.313]

В общем случае полная энергия точки может возрастать, убы вать или сохранять постоянное значение в частности, энергия будет сохраняться, если ее прибыль и убыль компенсируют друг друга. Однако возможны случаи, когда процессы поступления энергии в систему и убыли энергии отсутствуют. Действительно, если среди сил, действуюи их на точку, нет диссипативных сил, а потенциальные силы стационарны, то полная энергия точки будет [c.72]

Теорема 3.1. Пусть все силы, действующие иа механическую систему, потенциальны и определяются потепциальпой энергией П(1,д). Тогда положение стационарно заданной системы является положением равновесия в том и только в том случае, если в этом положепии выполняется [c.13]

Для несвободных систем закон сохранения механической энергии имеет место и тогда, когда кроме потенциальных стационарных сил действуют еще силы, работа которых равна нулю. Действительно, посколыо dT = d A, где d A - работа всех без исключения сил, то наличие сил, работа которых равна нулю, не вносит никаких изменений в правую часть равенства. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...