Экстремали изопериметрической

Изопериметрическую задачу переформулируем так требуется найти такую кривую у" (экстремаль), что Ф = О для любой вариации 6, обращающей в нуль значение Ф. Пусть задана соверщенно произвольная вариация 6. Тогда вариация 6 может быть получена по формуле [c.604]

Теорема 8.11.3 обосновывает метод множителей Лагранжа для изопериметрических задач (сравните с замечанием 4.6.2). Рецепт решения задач по этому методу состоит в том, что ищется безусловный экстремум функционала Ф -I- АФ. Его экстремаль 7 будет зависеть от скалярного параметра А. Параметр А находится из условия, что Ф(7 ) = с. [c.605]

Для квадратического закона сопротивления, когда Q = kv , класс экстремалей (допустимых функций) данной изопериметрической задачи определяется уравнением [c.175]

Пользуясь теоремой о взаимности решений (одинаковости экстремалей) вариационных изопериметрических задач, целесообразно, исходя из интегральных формул (13) и (14), ввести в рассмотрение вспомогательную функцию Р, для которой имеет место необходимое условие экстремума в форме уравнения Эйлера. [c.227]

Из (4.64) и (3.31) видно что в соответствии с принципом взаимности изопериметрических задач семейство экстремалей в обоих уравнениях одинаково. Но при этом энергия оказьтается неизвестной. Она может быть задана только в неустойчивом состоянии, а переход от него к устойчивому состоянию, т. е. гидравлический прыжок второго рода, происходит при постоянном значении полного импульса, так как в теории прыжка, равно как и в теории Бенджамина, внешние силы не учитываются. Но если импульс остается постоянным, в прыжке неизбежны потери энергии, и то значение энергии, которое будет после прыжка, меньше того, которое было в исходном неустойчивом состоянии. Поэтому можно со всей определенностью сказать, что принцип экстремума импульса Бенджамина для устойчивого состояния верен, но бесполезен энергия, при которой достигается экстремум импульса, наперед не известна и может быть определена только после использования уравнения количества движения и нахождения потерь энергии в прыжке. Необходимо добавить также, что основная идея, высказанная Бенджамином о том, что взрыв вихря представляет собой переход от неустойчивого состояния вращающегося потока к устойчивому его состоянию, бесспорна. [c.81]

При численной реализации изопериметрической постановки вариационных задач на ЭВМ могут возникнуть трудности с определением стратегии поиска экстремума вспомогательного функционала (2.1.55), так как характер экстремума (максимум или минимум) последнего не всегда совпадает с типом экстремума целевого функционала Int. В таком случае удобно применять один из проекционных методов, например В.Рища (п. П2.4), и использовать один или несколько коэффициентов разложения экстремалей целевого функционала по координатным функциям для безусловного выполнения ограничений, накладываемых на экстремали целевого функционала. Тогда численная реализация на ЭВМ решаемой задачи сведется к поиску экстремума целевого функционала с учетом всех ограничений. [c.193]

Прежде, чем переходить к решению, полезно выяснить порядок расположения различных участков. Отрезок у = У может быть только замыкаюгцим участком контура и то лишь, если на экстремали сг = О при у = у. Начальный участок контура может состоять из торца (ж = О, Уо У У2) экстремали. Для выяснения порядка чередования экстремалей и линий р = О требуются снециальные исследования. При заданных размерах тела Хейз [2] на основе не совсем строгих рассуждений показал, что замыкаюгций участок должен быть участком нулевого давления. Строгое доказательство этого позднее дано А. Л. Гонором [17]. Для тонких тел доказательство этого, а также отсутствия внутренних участков р = О проведено Миеле [3] и для ряда других изопериметрических условий. [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...