Вариации и экстремали

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

В этих уравнениях вариации величин представляют собой отклонения этих величин от их значений на экстремали при фиксированном у. Умножим уравнения (4.4) почленно н йу, затем левые и правые части полученных уравнений проинтегрируем по элементу иь [c.110]

Здесь учтено, что на экстремали Фа = 0, Ф з = 0, А5 = 0. Величина гр означает производную бгр/ду, взятую вдоль характеристики второго семейства и определяемую равенством (2.11). Выражение в квадратных скобках последней формулы берется при фиксированном верхнем пределе интеграла из (4.1), а вариации бф и 6ф определяются перемещением точки к. Производная йр/ду вдоль характеристики второго семейства в точке к непрерывна в силу равенства (2.15) и непрерывности функций а, б, (р, щ. Учитывая все это и собирая вместе члены, обусловленные варьированием положения точки к, получаем [c.115]

Если на один из концов экстремали не наложено никаких ограничений, то на этом конце в силу независимости соответствующих концевых вариаций dt и dx условие трансверсальности принимает вид [c.496]

Решение первого вопроса - о невозможности проведения нужной экстремали с оси симметрии также связано с необходимостью введения участка краевого экстремума ([4] и Глава 4.2). Именно таким участком является упоминавшийся выше торец, присутствовавший уже в решении Ньютона. У Ньютона торец - участок краевого экстремума, появляющийся из-за ограничения на длину тела. По этой причине на торце допустимы только положительные вариации продольной координаты 5х > 0. Как заметил Лежандр, при допущении на торце таких 5х сопротивление оптимальной головной части все равно уменьшается, хотя и не в первом, а во втором порядке. Дело в том, что торец удовлетворяя, как указывалось выше, уравнению Эйлера, не удовлетворяет условию Лежандра (согласно условию Лежандра на экстремалях, реализующих минимум сопротивления, должно выполняться неравенство (1х/(1у > 1/ /3). Несмотря на это, решение Ньютона с передним торцом остается верным, поскольку торец является участком краевого экстремума не только из-за ограничения на длину головной части, но и как граница применимости формулы Ньютона. Для головных частей последняя справедлива, если 0<1 <тг/2, и торец оказывается участком краевого экстремума одновременно по ж и по 1 . Аналогичное положение сохраняется и при решении ЗН в рамках [c.359]

Примем теперь за характерный линейный размер тела минимальное значение радиуса. Вариация радиуса в точках, где = о, будет равна нулю и второе условие (5) отпадает. Аналогично можно показать, что решение, описываемое формулами (9), соответствует случаю, когда характерный размер принимается равным максимальному значению радиуса. Выведем соотношения для онределения постоянных С, 0 и Л. В силу замкнутости экстремали имеем [c.414]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

Вариации и экстремали. Лагранжева система на гладком многообразии М задается одной единственной функцией L TMxA- -R, где Д —интервал оси времени R = i - Точку еЛ будем называть положением системы, а касательный вектор v TqM — скоростью В положении q. Пара q, v называется еще состоянием системы. В лагранжевой механике многообразие М принято называть пространством положений, касательное расслоение ТМ — пространством состояний, L — функцией Лагранжа или лагранжианом, а dim М — числом степеней свободы. [c.20]

Понятие вариации и экстремали легко можно обобш ить на случай теории поля. В случае, если действие имеет вид (1), экстремали подчиняются следуюш ему обобш ению уравнения Эйлера-Лагранжа [c.35]

Если система вынуждена двигаться, сохраняя постоянную энергию Т—и к, то ее траектории представляют собой экстремали интеграла (2), указанного выше. Поэтому для них исчезает вариация этого интеграла, самый же интеграл, вообш,е говоря, принимает наименьшее значение. Каждая траектория определяется двумя крайними положениями системы, соответствующими значениям и параметра [c.323]

Если функционал / у (х)] достиг экстремума на экстремали у (х), то приращение функционала А1 — I [у (х)] — I [у (х)], вызванное переходом от кривой у = у х) к другой кривой у (х), называемой кривой сравнения, должно сохранять свой знак, какая бы кривая сравнения ни была взята. Если функционал I достиг на у х минимума, то А/>0, а если— максимума, то А/<0. Разность у(х)—у х) называется вариацией функции и обозначается ду (рис. 15.2) ду = у(х)—у(х). [c.441]

В случае вариац. задач с подвижными концами, в к-рых левый и правый концы экстремали могут смещаться по нек-рым заданным гиперповерхностям, недостающие граничные условия, позволяющие получить замкнутую систему соотношений типа (5), определяются с помощью необходимого условия трансверсальности. Для простейшей задачи типа (1). в к-рой точка [c.496]

Пайдем необходимые условия минимума для экстремалей. При выводе рассмотрим только случай (2.10), причем ограничимся вариациями ординаты точки 2 и участка экстремали 23. Используя формулу [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...