Приближение многочленами

Приближение многочленами. Использование таблиц и методов интерполирования на ЭВМ не всегда целесообразно. Во многих случаях возникает необходимость в построении аппроксимаций, отображающих с необходимой точностью табличные данные. Эта хорошо известная в теории приближений задача решается методом наименьших квадратов (МНК). В качестве приближающих зависимостей обычно выбираются многочленные разложения с использованием ортогонального и неортогонального базисов разложения. [c.181]

Определим прежде всего, имеется ли возможность для индикатора ИГМ, работающего по симметричной схеме (—1 +1), осуществить приближение многочленом Чебышева 5-й степени [c.194]

Здесь необходимо уточнить значения, которые надо приписать / ( о) и /"(Sq), учитывая наш порядок приближения. Для этой цели заметим, что многочлен f s), если вместо h w. k подставить их значения сводится к следующему [c.125]

Как показано в п. 189, многочлен р(Л) — четная функция Л. Поэтому если уравнение (5) имеет корень X = а с отличной от нуля вещественной частью, то система (3) неустойчива, так как либо сам этот корень, либо противоположный ему по знаку корень Л = —а имеет положительную вещественную часть. Согласно теореме об устойчивости по первому приближению (п. 237), в этом случае неустойчива и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения (1). [c.544]

Для приближенного (численного) интегрирования /(а) следует эту функцию заменить интерполяционным многочленом (а). Интегрирование р (а) приводит к формулам трапеций, Сн.ми-сона и др. (см. стр. 182). [c.304]

Анализ показывает, что наиболее универсальной функцией, дающей удовлетворительные по точности результаты и вместе с тем приводящей к наиболее простым решениям, является многочлен п-й степени. Такой многочлен путем соответствующего выбора показателя п и постоянных коэффициентов может быть приспособлен к конкретным условиям решения почти любой задачи теплопроводности. В связи с этим в настоящей работе в качестве приближенного уравнения температурной кривой, как правило, выбирается многочлен -й степени. [c.31]

Для ламинарного режима распределение скоростей в пограничном слое может быть приближенно выражено многочленом [c.144]

Переход от классических интерполяционных многочленов к сплайнам существенно повышает также качество приближения [c.189]

Если используется линейная модель g(x, а) = = Фда(х) [где Ф (х) — обобщенный многочлен (5.19)], то возникает линейная задача метода наименьших квадратов. Обобщенный многочлен Ф (х), для которого среднеквадратичное уклонение принимает минимальное значение, называют многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения. Если система функций фц, ф[,..., ф линейно независима в точках Xg,Xf,..., то многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения существует и единствен. [c.136]

Другие методы приближения функций. Дополнительная информация об интерполировании и смежных вопросах (многочлен Бесселя, интерполирование с кратными узлами, кусочно-полиномиальная интерполяция, обратная интерполяция, тригонометрическая интерполяция, быстрое дискретное преобразование Фурье, использование конечных и разделенных разностей и т.д.) содержится в [8] см. также [2, 32, 33, 38, 56, 58, 77]. Для приближения функций многих переменных используются аналогичные изложенным выше подходы [8, 38]. [c.136]

Зависимость профиля скорости (в безразмерных переменных) от всех остальных параметров задачи (кроме N) проявляется лишь в следующем приближении по через саму эту величину, стоящую множителем перед многочленом шестой степени Для безраз- [c.178]

Коэффициенты многочлена вычислены методом наименьших квадратов. Такая структура многочлена обеспечивает наилучшее приближение температуры, вычисленной по формуле (3), температуре, заданной условиями задачи, и постоянство температуры на внутренней поверхности патрубка. В результате получен следующий многочлен, приближающий заданную функцию [c.106]

В левой части полученного равенства произвести интеграции. Эта операция даст слева многочлен степени 2п относительно t, причем коэффициентами будут служить линейные функции а. Определяя все а сравнением коэффициентов при одинаковых степенях t слева и справа и вставляя найденные значения а в (1), мы получим искомое приближенное выражение для T s). [c.172]

Наиболее удобен в этом случае метод ортогональных многочленов, но как показывает опыт, применение этого метода ограничено наличием в правой части интегрального уравнения осциллирующих функций. Скорость изменения этих функций увеличивается с ростом номеров однородных решений и уменьшением Л, что приводит к неоправданному увеличению линейной системы для достижения необходимой точности и увеличению М в (5.84). При увеличении же М растут затраты на вычисление сумм (5.76)-(5.78). Для преодоления этой трудности, а также с целью унификации подходов в удовлетворении граничных условий на боковой поверхности и под штампом, сведем задачу нахождения решения уравнений (5.44) к задаче Чебышева о наилучшем равномерном приближении на компакте. [c.206]

Проведя преобразования, аналогичные методу ортогональных многочленов, получим следующую задачу о наилучшем приближении [c.217]

Для приближенного задания формы потери устойчивости можно принять многочлен, удовлетворяющий условиям закрепления стойки [c.392]

Если известно распределение давления, то положение точки отрыва ламинарного пограничного слоя можно вычислить при помощи уравнений (15) и (16) (см. 3). Первое такое вычисление было выполнено Блазиусом". Однако предложенный им способ расчета, основанный на разложении в ряды, дает лишь ограниченные возможности. В приближенном способе расчета Кармана и Польгаузена используется вместо дифференциального уравнения теорема о количестве движения, выведенная из этого уравнения кроме того, профиль скоростей в пограничном слое аппроксимируется некоторым конечным многочленом. Это дает возможность выполнить расчет для каждого заданного распределения давления. Более точный способ расчета, основанный на использовании дифференциального уравнения, но зато очень кропотливый, предложен Гертлером . [c.193]

Задачи приведены к сингулярным интегральным уравнениям первого рода относительно контактного давления р(х). Для построения их приближенных решений использованы асимптотические методы и метод ортогональных многочленов. [c.462]

Приближенные решения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода (5.21) могут быть получены любым методом дискретизации, например методом ортогональных многочленов, изложенным в работе [13]. [c.50]

Для приближенного решения интегрального уравнения (7.14) можно также использовать метод ортогональных многочленов. Именно, функцию ф(х) представим в виде [c.382]

Методом ортогональных многочленов, кратко описанным в конце 1.3, при Л = 1 и г/= 0.3 для рассматриваемого случая плоского штампа получим следующее приближенное решение [c.68]

Для приближенного подсчета интеграла (4) восггользу-емся следующими соображенияим. Представим функцию y t — х) через интерполяционный многочлен Лагранжа х) с узлами интерполяции в точках x -mh, —(т — [c.50]

Поясним, как это осуществляется. Вычисляем по формуле (20) зависимость между координатами / и ф. Посредством нее выражаем/и IM как функции от f, которые затем разлагаем в приближенные многочлены (23) и (24). Коэффициенты многочленов вводим в формулу (27). Вычисляем и вводим в формулу (27) так же полупе-риод S. По имеющейся зависимости и от ю строим зависимость М от 0)2 (рис. 2) и заменяем ее кусочно-лииейной анрокспмацией М. [c.53]

Интегральное уравнение пограничного слоя примендется для приближенных решений, в основе которых лежит заданный профиль скорости. Например, положим, что профиль скорости Vx(y) описывается многочленом [c.186]

Таким образом, если в распоряжении вычислителя имеется ортонормированная система многочленов Qo(j ), Qi(x),..., Qm(x), то задача аппроксимации решается тривиально. Однако на практике для произвольного множества хц таких многочленов нет. Для конкретной совокупности ук, Wk, XkS такие многочлены приходится строить специально с использованием рекуррентных соотношений орто-гонализации f88]. Применение ортогональных многочленов повышает устойчивость приближения по сравнению с неортогональным базисом. Но это имеет место до некоторого критического значения т, после чего наступает лавинообразный развал аппроксимации, характеризующийся резким возрастанием средней квадратической погрепгаости аналитического описания данных. Может возникнуть ситуация, при которой применение ортогональ- [c.181]

Корни любого многочлена степени < 4 могут быть найдены по коэффициентам аод с помощью явных алгебраических формул, однако при п — = 3 (формулы Кардано) и = 4 (формулы Феррари) они почти неупотребимы, и поэтому на практике корни многочлена /" (x) при л > 3 находятся приближенно (численные методы приближенного нахождения корней многочленов см. в разд. 5). [c.87]

Приближенно разлагая многочлен Т р(Т зр - -2%зТзр- - )- - на множители [Л. 14J, получаем [c.353]

Дается обзор работ, посвященных развитию метода ортогональных функций (ортогональных многочленов) для решения интегральных и интегро-дифференци-альных уравнений смешанных задач. Эти исследования шли, в основном, по трем направлениям 1) получение новых спектральных соотношений для интегральных операторов, соответствующих главным частям интегральных уравнений рассматриваемых задач, с использованием в дальнейшем классической схемы алгоритма ортогональных функций 2) модификация проекционного метода Галеркипа, приближенное построение систем собственных функций и собственных чисел интегральных операторов смешанных задач 3) использование метода ортогональных функций для решения интегральных уравнений эволюционного типа, содержащих оператор Фредгольма по координатам и оператор Вольтерра по времени. [c.125]

Указанные трудности частично устраняются при применении метода Фукса, который дает ряд весьма интересных результатов. Этот метод состоит в том, что контур крыла представляют тригонометрическим многочленом и уравнение (17.5) преобразуется в более или менее сложную систему уравнений с конечными разносгями,— в систему, допускающую приближенное решение. Несмотря на трудность вычислений, до сих пор еще не пришли к общему решению, которое можно было бы представить в виде алгебраического выражения, что позволило бы упростить вычисление аэродинамических характеристик крыла. [c.204]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...