ГИРОСКОПЫ 549 — ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Подставляя все вычисленные величины в равенства (а), получим окончательно следующие дифференциальные уравнения движения гироскопа в форме Лагранжа [c.386]

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера является системой шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно ф, гр, 0 и сот,, со . При заданном моменте внешних сил М и известных начальных условиях определение движения тела сводится к указанной системе дифференциальных уравнений. В общем виде эта задача не решена. Однако несколько частных случаев движения тела около неподвижной точки всесторонне исследованы и уравнения их проинтегрированы. Среди них наиболее простой и широко применяемый в технике случай движения симметричного гироскопа, для которого А = В. [c.180]

Далее, из равенства (h) видно, что при больших значениях I I модуль (0i будет мал. Это свидетельствует об отсутствии внутреннего противоречия в основном предположении приближенной теории гироскопов. Обратим, наконец, внимание на то, что полученное здесь выражение закона движения гироскопа Лагранжа можно было бы найти, исходя непосредственно из дифференциальных уравнений (III. 49а) — (III. 51). [c.439]

Мы получили дифференциальное уравнение движения физического маятника, изображающего колебательное движение гироскопа. Очевидно, эти колебания происходят относительно определенного положения оси гироскопа 0 , соответствующего положению статического равновесия физического маятника. Указанное положение оси гироскопа соответствует углу 0, равному нулю. Это значит, что в положении равновесия ось гироскопа параллельна оси вращения Земли. [c.447]

Мы снова получили дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. В этом случае колебания оси гироскопа происходят относительно линии пересечения горизонтальной и меридианальной плоскостей. [c.448]

После подстановки в (16) и выделения коэффициентов при единичных векторах п и п придем к следующим двум дифференциальным уравнениям движения гироскопа в кардановом подвесе на подвижном основании [c.607]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

Воспользуемся дифференциальными уравнениями (1.1) движения гироскопа в форме обобщенных уравнений Эйлера, составленными применительно к симметричному гироскопу, а именно [c.49]

Последовательно исключая из дифференциальных уравнений (11.12) движения свободного гироскопа координаты р и а, получим [c.63]

Определим зависимость амплитуды колебаний оси г ротора гироскопа от начальных условий при свободном его движении. Общее решение первого дифференциального уравнения (11.1 ) запишем в виде [c.64]

При атом дифференциальные уравнения (П.17) движения гироскопа принимают вид [c.69]

При рассмотрении прецессии гироскопа в дифференциальных уравнениях (11.21) движения гироскопа [c.74]

Тогда уравнения движения будут представлять собой дифференциальные уравнения прецессии гироскопа, а именно [c.74]

Пренебрегая инерционными моментами Аа и Л р в уравнениях (11.11) движения гироскопа, получим дифференциальные уравнения прецессии гироскопа, установленного на основании, неподвижном по отношению к абсолютному пространству, а именно [c.75]

Движение гироскопа вокруг оси х определяется дифференциальным уравнением, содержащим лишь инерционные моменты [c.99]

Если Мр О, то в положении равновесия угол ф 0. Частное решение дифференциального уравнения (У.2) при = О определяет угол Рз застоя гироскопа [c.108]

По-прежнему трехгранник xyz свяжем с внутренней рамкой. Направление оси у i, совпадающей с осью наружной рамки карданова подвеса, считаем неизменным в абсолютном пространстве. Положение гироскопа по отношению к трехграннику Xiy z определяем углами а, Р и ф (см. рис. II.1 ф — угол поворота ротора вокруг оси 2, отсчитываемый от оси х). В соответствии с этим необходимо составить три дифференциальных уравнения движения такой системы. [c.119]

В результате дифференциальные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе принимают вид [c.122]

Дифференциальные уравнения (VI.4) также могут быть получены с использованием второго метода Лагранжа. Положение ротора гироскопа в пространстве определяется [c.122]

Для составления дифференциальных уравнений движения системы в форме Лагранжа выбираем координату ф и соответствующий этой координате момент М , действующий вокруг оси Z ротора гироскопа. [c.124]

Уравнения (VI.13) представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих переменные координаты аир под знаком тригонометрических функций. Полагаем, что движение гироскопа, определяемое координатой р, представляет собой незначительные колебания Ар оси z ротора гироскопа около направления, соответствующего углу р = Ро, т. е. [c.127]

Если Мх = Му = О, то уравнения (VI.15) первого приближения представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе с постоянными коэффициентами. [c.127]

Дифференциальные уравнения движения первого приближения свободного гироскопа в кардановом подвесе получим из уравнений (VI.15), в которых полагаем = = Му1 = О, а именно [c.128]

Рассмотренное здесь свободное движение гироскопа в кардановом подвесе представляет собой результат исследования дифференциальных уравнений движения гироскопа первого приближения. [c.132]

Решения (VI.26) и (VI.27) уравнений первого приближения представляют собой гармонические колебания гироскопа и не содержат постоянной составляющей собственной скорости прецессии гироскопа. Следуя методу последовательных приближений, найдем второе приближение решения нелинейных дифференциальных уравнений (VI.13) движения гироскопа, определяя его в виде [c.133]

Подставим эначения а и Др из формул (VI.34) в дифференциальные уравнения (VI.33) движения гироскопа, используя дифференциальные уравнения (VI.16) первого приближения, удерживая в правых частях уравнений (VI.33) только произведения, содержащие члены первого приближения, и затем отбросим произведения, содержащие вторые приближения, тогда получим систему линейных дифференциальных уравнений относительно коорди- [c.133]

Рассмотрим вынужденное движение гироскопа в кардановом подвесе (см. рис. VI.4), нагруженного моментом Му1 внешних сил. При составлении дифференциальных уравнений движения гироскопа считаем, что вокруг осей X и внутренней и наружной рамок действуют диссипативные моменты и —Вуа, возникающие вследствие жидкостного трения в подшипниках карданова подвеса. [c.143]

Дифференциальные уравнения (VI.55) представляют собой уравнения прецессии гироскопа в кардановом подвесе. Эти уравнения отличаются от уравнений (11.29) тем, [c.148]

Направление угловой скорости р прецессии таково, что угол р возрастает по абсолютной величине как при Р > О, так и при р < 0. Во время выбега ось 2 ротора гироскопа стремится совместиться с осью y наружной рамки карданова подвеса. Причиной поклона как в случае разгона, так и в случае выбега ротора гироскопа является момент реакций карданова подвеса, возникающий при неустановившемся режиме вращения ротора гироскопа. Аналитические зависимости, определяющие движение гироскопа при поклоне, могут быть найдены путем интегрирования дифференциального уравнения (VI.61) [9, 10]. [c.155]

Обращаясь к дифференциальным уравнениям (VI.15) движения гироскопа в кардановом подвесе, замечаем, что Му = Му os Ро, обозначая [c.158]

Гиротахоакселерометр. Если допустить возможность вращения наружного кольца относительно основания, соединив его с основанием упруго (рис. 474), то придем к схеме прибора, с помощью которого угловую скорость основания можно измерить по углу поворота внутреннего кольца, а его угловое ускорение— по углу поворота наружною кольца. Как выше, считаем ось вращения наружного кольца направленной по оси вращения основания. Тогда при весьма большой угловой скорости собственного вращения гироскопа дифференциальные уравнения (44) после подстановки значений Q , Qy и Ог по (46) примут вид [c.609]

Теория гироскопических приборов и гироста-билиааторов естественно не ограничивается изложением только физической стороны рассмотрения движения гироскопов. В основе изложения теории гироскопов и гироскопических стабилизаторов лежит аналитическое исследование дифференциальных уравнений движения гироскопов. Дифференциальные уравнения движения гироскопов составляются либо с помощью обобщенных уравнений Эйлера, либо на основе Лагранжевых дифференциальных уравнений движения. Кратчайший путь для составления обобщенных уравнений Эйлера достигается применением теоремы моментов количества движения в той ее форме, которую иногда называют теоремой Резаля. [c.32]

Гироскоп установлен в кардаиовом подвесе. Вокруг осей Е и у вращения рамок подвеса действуют моменты внетиих сил Aij н Л4 . Игнорируя циклическую координату ф, най и 1) дифференциальные уравнения движения для координат if и О, 2) гироскопические члены. (См. рисунок к задаче 49.5.) [c.374]

Ha дифференциальных уравнениях движения гироскопа в кардановом подвесе на подвижном основании базируется теория применений гироскопа как указателя направления и измерителя угловой скорости (гиротахометра) и углового ускорения (гиро-тахоакселерометра). [c.608]

Простые выражения (73) и (75) углов б и i]) получены из точных формул (67) путем пренебрежения высокочастотными колебаниями малых амплитуд и упрощений, которые были сделаны в предположении, что собственная угловая скорость ротора весьма велика по сравнению с частотами свободных колебаний колец подвеса при невращающемся роторе. Но на этом же предположении основыралась приближенная теория гироскопа ( 153). Поэтому следует ожидать, что, исходя из этой теории, можно непосредственно прийти к упрощенным дифференциальным уравнениям для углов б и tp, минуя громоздкий путь составления точных уравнений (48), нахождения их решений и последующего упрощения этих решений. [c.615]

В заключение рассмотрим случай, когда свобода вращения обоих колец карданова подвеса ничем не ограничивается (свободный гироскоп). Правые части дифференциальных уравнений (16) то да сбращаются в нуль. Воспользовавшись соотношением (43), можно эти уравнения переписать в виде [c.621]

Вид дифференциальных уравнений для углов Эйлера ф, 0, ф убеждает, что в случае тяжелого гироскопа в кардаповом подвесе нутационные движения оси гироскопа так же, как и в случае Лагранжа, играют ведущую роль. Поэтому интегрирование естественно начинать с первого уравнения, из которого [c.200]

Гироскоп установлен в кардаковом подвесе. Вокруг осей I и Игнорируя циклическую координату ф, найти 1) дифференциальные уравнения дви жения для координат и О, 2) гироскопические члены. (См. рисунок к задаче 49.5.) [c.374]

Если равенства (22) продифференцировать по времени и подставить в формулы (20), то получим дифференциальные уравнения движения твердого тела, выраженные через параметры, значения которых для каждого твердого тела могут быть определены. Формулами (14) и (20) непосредственно не пользуются при составлении дифференциальных уравнений движения гироскопов, так как в общем случае, поскольку тело Т вращается относительно неподвижных осей агд Уа-< 2д и в каждое мгновение занимает новое положение относительно этих осей, моменты инерции Jx, Jy, 12, Jху1 XX и Jyz не остаются постоян- [c.36]

Для астатических осей в установившемся режиме вращения гироскопа = onst дифференциальные уравнения (1.2) движения гироскопа в квазикоординатах принимают особенно простой вид [c.44]

Дифференциальные уравнения (1.1) и (1.3) дви-нгения гироскопа в квазикоординатах не пригодны для непосредственного определения траектории движения оси [c.56]

Снова обращаясь к точным нелинейным дифференциальным уравнениям движения гироскопа в кар-дановом подвесе, находим решение этих уравнений во втором приближении. Для этого полагаем, что Р = Ро + Р> подставляем новое значение р в нелинейные дифференциальные уравнения (VI. 13) и пренебрегаем утроенными про изведениями малых величин а, Р и их производных и членами, содержащими более высокие степени этих величин [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...