Стержни Элементы —Энергия потенциальная

Пусть р — плотность стержня, <т — площадь его поперечного сечения. Дифференциал (1х при малых иЦ,х) отождествим с элементом длины дуги деформированного стержня. Кинетическая энергия Т и потенциальная энергия П упругой изгибной деформации имеют вид [c.614]

Работа внешней силы идет на создание и поддержание энергии упругих колебаний стержня, т. е. потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии движения элементов стержня, Так как колебания происходят во всем стержне, то энергия, возникающая на одном конце стержня за счет работы внешней силы, должна распространяться по стержню, чтобы поддерживать во всем стержне колебания, которые сопровождаются потерями энергии. Только предполагая, что при распространении и отражении волны потерь энергии не происходит, мы пришли к выводу, что падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях в результате наложения этих двух волн энергия не должна течь по стержню, во всяком случае после того, как стоячая волна в стержне уже установилась (при установлении стоячей волны картина течения энергии получается более сложной, и мы не будем ее рассматривать). [c.690]

Перемещение конца А стержня AB в направлении действия силы Р определим с помощью теоремы Кастильяно при этом учтем потенциальную энергию изгиба и скручивания стержня. В элементе стержня длиной ds = потенциальная энергия изгиба и кручения равна [c.244]

Для определения усилий, возникающих в стержне при ударе, не представляется возможным использовать условие динамического равновесия, так как входящие в это условие силы инерции неизвестны. Поэтому мы будем искать не динамические усилия, а динамические деформации, используя энергетические соображения. В момент удара ударяющий груз обладает некоторым запасом кинетической энергии К, которая в результате удара превращается в другие виды энергии, а именно потенциальную энергию деформации ударяемого стержня, кинетическую энергию К движения, сообщаемого элементам последнего при ударе, и наконец энергию Э , затрачиваемую на изменения температурного состояния ударяющихся тел и другие явления, сопровождающие удар (звуковые колебания). Таким образом, уравнение энергетического баланса рассматриваемой системы можно представить в виде [c.433]

Величина потенциальной энергии деформации под действием сил инерции в элементе стержня длиной dx на расстоянии х может быть выражена следующим образом [c.638]

При распространении упругой волны распространяются волна скоростей, несущая с собой кинетическую энергию, и волна деформаций, несущая с собой потенциальную энергию. Происходит перенос энергии так же, как при распространении отдельного импульса. Течение энергии в определенном направлении происходит так же, как и в случае одного импульса. Деформированные элементы стержня движутся и при этом передают свою потенциальную и кинетическую энергию следующим элементам стержня. Энергия течет по стержню с той же скоростью, с какой распространяется волна. Но, как мы видели при движении сжатого упругого тела, энергия течет в направлении движения тела наоборот, при движении растянутого тела энергия течет в направлении, противоположном движению тела. Поэтому, хотя направление движения слоев стержня дважды изменяется за период, но вместе с тем меняется и знак деформации, так что энергия все время течет в направлении +х, т. е. в направлении распространения бегущей волны. [c.680]

Приведенное выше изло.жение в какой-то степени подобно классическому построению расчета статически неопределимых стержневых систем в строительной механике по так называемому методу сил, энергетическое обоснование которого также сводится к отысканию именно таких значений лишних неизвестных, при которых потенциальная энергия деформации системы оказывается минимальной. Сходство еще более усиливается, если представить себе расчет статически неопределимой системы (например, фермы), где за лишние неизвестные приняты внутренние усилия (например, усилия в стержнях), т. е. если основную (статически определимую) систему получать из заданной не путем отбрасывания элементов, связей и т. п., а путем перерезания их. [c.61]

Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения. Рассмотрим участок закрученного стержня длиной dz (рис. 2.20). Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов М ., приложенных по торцам [c.118]

Для определения потенциальной энергии выделим из стержня элементарный участок длиной dz (рис. 5.3). Стержень может быть не только прямым, но и иметь малую начальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов три момента и три силы. По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформировании элемента. Эта работа переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке стержня. [c.227]

Влияние отброшенных частей, примыкающих к элементу, заменим внутренними силами, действующими в сечениях стержня, статическим эквивалентом которых при поперечном изгибе являются Qy и Мх- По отношению к элементу эти силы являются внешними. Работа йА, совершаемая ими на соответствующих им и вызванных ими перемещениях, равна потенциальной энергии деформации (Ш, накапливаемой в элементе М [c.193]

Рис. 13.45. К определению шести слагаемых потенциальной энергии деформации, накапливаемой в элементе стержня с прямолинейной осью, испытывающего общий случай пространственной деформации.

Потенциальная энергия для элемента стержня длиной а [c.26]

Остается подсчитать работу усилий N я М. Если мы пренебрежем влиянием кривизны стержня, то это будет эквивалентно предположению, что деформация выделенного элемента под действием пар М происходит так же, как в балке тогда количество потенциальной энергии, связанной с этой деформацией, будет равно M ds 2EJ) разница по отношению к балке лишь в другом обозначении длины элемента — вместо dx написано ds. [c.415]

Для сведения задачи об изгибе и кручении к задаче нахождения экстремума определенного интеграла применим принцип возможных перемещений к элементу, вырезанному из нашего стержня, длиною в единицу и сечением, равным сечению бруса. Обозначая через U накопленную вырезанным элементом потенциальную энергию, а через i — работу внешних (торцевых) сил, на него действующих, получим [c.394]

Если статически неопределимая конструкция имеет один лишний растянутый или сжатый элемент, то лишним неизвестным является усилие в этом элементе X. При этом всю конструкцию можно разбить на две основная статически определимая система и лишний стержень (рис. 181). Потенциальную энергию и всей системы также можно разбить на две части потенциальную энергию основной системы VI и лишнего стержня 1/2, причем [c.286]

Имея это в виду, выведем выражение потенциальной энергии,, накапливающейся в криволинейном стержне при его деформации, через внешние силы. Рассмотрим какой-либо элемент стержня (рис. 208). Принимая за обобщенные силы М, М и Q, согласно теореме Клапейрона по-лучим [c.330]

Выведем формулу для определения величины потенциальной энергии деформации системы по известным продольным силам, возникающим в поперечных сечениях стержней. Выделим из стержня бесконечно малый элемент (длиной йг), как показано на рис. 2.29, а. Энергия деформации, накапливаемая в этом элементе при его удли-,нении, равна работе продольных сил N (по отношению к выделенному элементу эти силы являются внешними) на взаимном перемещении торцов элемента. Указанное перемещение равно удлинению элемента А (1г) и на основании теоремы Клапейрона имеем [c.58]

Для определения потенциальной энергии деформации всего стержня и разбиваем его на элементы длиной йх, представляя действие отброшенных частей в виде крутящих моментов (рис. 62, а). Отбрасывая жесткое перемещение каждого сечения (соответствующее дуге 1—1), рассматриваем лишь взаимный угол закручивания соседних сечений о (рис. 62, б). Предполагая далее, что крутящий момент (момент внутренних усилий в сечении И—II) нарастает статически, получим [c.117]

Для определения количества потенциальной энергии, накапливающейся в этом элементе, надо подсчитать работу всех этих усилий, положенных к элементу. Уже в балках при подобных вычислениях мы пренебрегали работой касательных усилий в кривом стержне это тем более возможно, так как влияние поперечных сил будет ещё меньше. [c.602]

Остаётся подсчитать работу усилий N и М. Если мы пренебрежём влиянием кривизны стержня, то это будет эквивалентно предположению, что деформация выделенного элемента под действием пар Л1 происходит так же, как в балке тогда количество потенциальной энергии, связанной с этой де- [c.602]

Схематически этот случай соответствует удару призматического стержня весом С о неподвижную плоскость (фиг. 600). Высота падения стержня пусть будет Л, площадь поперечного сечения Р, длина /, объёмный вес х- Кинетическая энергия стержня в момент удара равна Г, = - Р1к = ( к. Мы считаем, чfo эта энергия целиком переходит в потенциальную энергию деформации стержня. В момент удара, как мы видели выше, между стержнем и неподвижной плоскостью возникают давления, равные силе инерции ударяющего тела, слагающейся из сил инерции отдельных его частиц. Принимая, что в момент удара все элементы стержня испытывают одно и то же ускорение (направленное вверх), получаем, что напряжения в нашей системе будут такими же, как будто ко всем частицам падающего стержня были приложены равномерно распределённые по объёму силы инерции (фиг. 601). [c.711]

Потенциальная энергия элемента стержня длиной йх равна [c.469]

Потенциальная энергия элемента длины йх стержня пропорциональна квадрату кривизны пренебрегая в выражении кривизны [c.184]

Примем допущение о шарнирном соединении элементов решетки (диагоналей и распорок) с поясами. Тогда приращение потенциальной энергии составного стержня при искривлении его оси слагается из энергии изгиба поясов U , сжатия распорок L a и растяжения диагоналей U [c.811]

Видно, что при i = i], когда элементы стержня проходят положение равновесия и имеют максимальные скорости, деформация отсутствует = 0), а вся энергия запасена в виде кинетической энергии Wy и локализована вблизи пучности. Однако через четверть периода колебаний частицы стержня сместятся на максимальные расстояния и остановятся = 0). Энергия будет запасена в виде потенциальной энергии и локализована вблизи узлов. Это означает, что энергия из области вблизи пучности за четверть периода колебаний перетекает в обе стороны по направлению к узлам. [c.83]

По предыдущему (см. т. I, 69) потенциальная энергия, накопленная в элементе стержня, равняется [c.145]

Для того чтобы при подсчете изменения полной потенциальной энергии воспользоваться зависимостями типа (2.45) или (2.46), необходимо ввести в рассматриваемую систему дополнительный упругий элемент, аккумулирующий энергию в докрити-ческом состоянии равновесия. Роль такого элемента может играть пружина жесткости с (рис. 2.7). Причем в соответствии с принятыми выше ограничениями жесткость пружины должна быть достаточно большой, чтобы можно было пренебречь изменением длины стержня в докритическом состоянии. [c.63]

Из-за изгиба диска всякий его элемент несколько приближается к оси вращения и благодаря этому накапливает некоторую дополнительную потенциальную энергию, так как вследствие вращения диска изгиб происходит в поле центробежных сил. Подобное явление было отмечено выше в связи с изгибными колебаниями растянутого (в частности, центробежной силой) стержня. В данном случае элементарной массе рНгйдйг соответствует центробежная сила а) рНг с1дс1г. Дополнительная энергия составит и<л рНг с1вйг, где и — радиальное смещение элемента, которое выражается через прогиб следующим образом [c.147]

Во многих задачах сопротивления материалов и теории упругости представляет интерес не полная энергия, накопленная в элементе конструкщ1и, а удельная потенциальная энергия Uq, отнесенная к единице объема тела. В частном случае стержня, растягиваемого сосредоточенной силой Р, получим [c.68]

Выведем формулу для определения потенциальной энерг деформации системы по известным продольным силам, воз кающим в поперечных сечениях стержней. Выделим из бесконечно малый элемент (длиной dz), как показано /на рис. 2.25, а. Энергия деформации, накапливаемая в этом Элементе при его удлинении, равна работе продольных снл NI (по отношению к выделенному элементу эти силы являются вяеш-вими) на взаимном перемещении торцов элемента. Указа ое перемещение равно удлинению элемента A(dzX и ва основании теоремы Клапейрона имеем [c.48]

Анализ динамических характеристик проводится на частотах, при которых динамическая податливость или уровень вынужденных колебаний наибольщие. Результаты анализа позволяют выделить элементы, оказывающие наибольшее влияние на харакгеристики НС - деформируемые элементы (стержни, стьпси), определяющие основную долю в балансе податливости и в полной величине потенциальной энергии колебаний системы, а также массы, определяющие основную долю кинетической энергии. [c.126]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Колебательными механич. системами Э. п. могут быть стержни, пластинки, оболочки, полые цилиндры, сферы, совершающие различного вида колебания, механич. системы более сложной конфигурации, совершающие поршневые колебания на гибком подвесе, механич. системы в виде комбинации перечисленных элементов. Цель расчёта механич. систем — установление связи между скоростями колебаний их частей и приложенными внешними силами, а также нахождение распределения деформаций, образующихся в системе под воздействием сил, распределённых по её объёму. В ряде случаев в механич. системе можно указать элементы, колебания к-рых с достаточным приближением характеризуются только кинетич., потенциальной энергией и энергией механич. потерь. Эти элементы имеют характер соответственно массы М, упругости С и активного механич. сопротивления г (т. п. системы с сосредоточенными параметрами). В общем случае как потенциальная, так и кинетич. энергии имеют распределённый характер и их определение связано с интегрированием по объёму механич. системы. Однако часто реальную систему удаётся искусственно свести к эквивалентной ей в смысле баланса энергий системе с сосредоточенными параметрами, определив т. н. эквивалентную массу Мэкв УГфУ гость 1/6 эьв и сопротивление трепию Гмп (сопротивление механических потерь). Расчёт механич. систем с сосредоточенными параметрами может быть произведён методом электромеханических аналогий (см. Электромеханические и электроакустические аналогии). [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...