Частота условно-периодического движения

Будем предполагать, что частоты условно-периодических движений на торах (10.5) удовлетворяют условию (10.4). [c.241]

Если эти частоты несоизмеримы, то траектория точки будет незамкнутой и, следовательно, точка никогда ие займет повторно того положения, которое она уже занимала, хотя через достаточно большой интервал времени точка как угодно близко подойдет к этому положению (такое движение является примером условно-периодического движения). [c.442]

В рассматриваемом приближении мы получаем вблизи распавшегося и-мерного резонансного тора перемежающийся набор неустойчивых и устойчивых п — 1-мерных торов, причем вокруг устойчивых происходят фазовые колебания. Соответствующие им условно-периодические движения имеют полный набор из п частот, в том числе п — 1 быструю частоту исходных колебаний и одну медленную (порядка е) частоту фазовых колебаний. [c.374]

Каждый тор р = ро инвариантен, и если частоты mi, шг,. . .., Шп несоизмеримы, то мы имеем условно-периодическое движение на торе р = ро с частотами шь сог, ., озп- [c.801]

Многие результаты об усреднении в системах с постоянными частотами (в том числе теорема 5 и теоремы о рождении условно-периодических движений из равновесий и периодических движений усредненной системы) могут быть обобщены иа системы в стандартной форме [8]. [c.169]

Пусть (обЛ" — вектор частот разыскиваемых условно-периодических движений. Для любой гладкой функции будем обозначать [c.208]

Теорема 21 Вариационный принцип [181]). Гладкий тор 2 является инвариантным тором рассматриваемой системы, несущим условно-периодические движения с вектором частот со, если и только если он является стационарной точкой функционала Ф. [c.208]

В. Зоны неустойчивости. Присутствие инвариантных торов в фазовом пространстве возмущенной задачи означает, что при большинстве начальных условий в системе, близкой к интегрируемой, движение остается условно-периодическим с максимальным набором частот. [c.373]

Полученные периодические орбиты Е и Е — это единственные известные устойчивые периодические орбиты в рассматриваемой задаче о движении КА вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна при наличии возмущающего гравитационного воздействия Солнца. Отметим, что учет исключенных из гамильтониана К короткопериодических членов и членов, содержащих долгопериодические функции с частотой (о — со (см. 4), приведет к тому, что орбиты Е и Е станут условно-периодическими, но размеры этих орбит изменятся незначительно по сравнению с размерами периодических орбит Е и Е [144]. Отметим еще, что в работе [144] сделана попытка найти периодические орбиты, отличающиеся от Е , Е и Е . Но приближенность анализа, проведенного в [144], не позволила сделать достаточно строгих выводов об их существовании и устойчивости. [c.264]

Величины ffli,. . ., называются частотами условно-периодического движения. Частоты называются независимыми, когда они линейно независимы над полем рациональных чисел если f G Z" ) и (к, ю) = О, то f = 0. [c.251]

Мера дополнения к колмогоровскому множеству не превосходит величины порядка Уе. Деформация сохраняющегося тора, т. е. его отличие от невозмущенного тора с теми же частотами условно-периодического движения, зависит от арифметических свойств частот. Если частоты принадлежат Йе, б>х (см. 2 ), то деформация не превосходит величины порядка е/б<Уе [90],[107],[115J, [1841. [c.199]

Задача. Докажите, что если система невырождена, то в любой окрестности любой точки имеются условно-периодические движения с п частотами, а также с любым меньшим числом частот. [c.255]

Поскольку гамильтониан выражается через одни лишь переменные действия T , система интегрируема и описывает условно-периодические движения по торам т = onst с частотами со == дН/дх. В частности, положение равновесия Р = Q = О для нормальной формы устойчиво. [c.354]

Итак, в невыроиеденном случае на различных инвариантных торах в фазовом пространстве невозмущенной задачи реализуются условно-периодические движения с разным числом частот. В частности, всюду плотное ьшожество в фазовом пространстве образуют инвариантные торы, на которых число частот максимально возможное (т. е. п) такие торы называются нерезонансными. [c.369]

Далее, будем искать вблизи нерезонансного инвариантного тора невозмущенной системы, соответствующего фиксированным значениям частот, такой инвариантный тор возмущенной системы, на котором происходит условно-периодическое движение в точности с теми самыми частотами, которые мы фиксировали и которые, стало быть, удовлетворяют выписанному выше условию нерезонансности. [c.372]

Получающиеся в результате условно-периодические движения возмущенной системы с фиксированными частотами со оказываются даже гладкими (в аналитическом случае — аналитическими) функциями параметра возмущения е. Следовательно, их можно было бы искать и без метода Ньютона в виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого ряда, называемого рядом Линдштедта, действительно можно найти однако доказать его сходимость удается только косвенно, с помощью ньютоновских приближений. [c.373]

В этой задаче имеется малый параметр — отношение масс Юпитера и Солнца. Нулевому значению параметра отвечает невозмущенное кеплерово движение астероида, изображающееся в нашем четырехмерном фазовом пространстве условно-периодическим движением по двумерному тору (так как система координат вращается). Одна из частот этого условно-периодического движения одинакова при всех начальных условиях это угловая скорость вращения системы координат, т. е. частота обращения Юпитера вокруг Солнца. Вторая же частота зависит от начальных условий (это частота обращения астероида вокруг Солнца) и меняется на фиксированном трехмерном многообразии уровня функции Гамильтона. [c.383]

Следовательно, фй = 0(гГ + ф°. Эти формулы задают условно-периодическое движение на двумерном торе T = фl, фгто(12я с постоянными частотами Qi и 0,2. Области, изображенные на рис. 40, являются проекциями тора на плоскость R2 = a , у). Если отношение 0 /Й2 = Тг/т1 рационально, то траектория точки в эллипсе замкнута. В противном случае траектория заполняет указанные области всюду плотно. Наличие инвариантных торов с условно-периодическими движениями — характерное свойство интегрируемых гамильтоновых систем (см. по этому поводу [3, гл. 4]). [c.103]

Вариационный принцип для инвариантных торов. Кан торо-торы. Инвариантный тор гамильтоновой системы, несущий условно-периодические движения с заданным набором частот, является экстремалью некоторого вариационного принципа. Сформулируем этот принцип, найденный Персивалем (1. С. Рег-с( а1) [181], [182]. [c.208]

Если V иррационально, а отображение А непрерывно, то исходное отображение последования имеет инвариантную кривую, гомеоморфную окружности, и на этой кривой топологически сопряжено повороту окружности на угол 2nv. Исходная гамильтонова система имеет двумерный инвариантный тор, обматываемый условно-периодическими движениями с отношением частот V. [c.210]

Наиболее интересен случай, когда Ма компактно. Тогда к = = О, следовательно, Ма — Т". Равномерное движение на Т" = = v mod 2тг по закону v ,- = р + o ,i (l г п) называется условно-периодическим. Числа wi,..., о — его частоты. Хор с набором частот 0)1,...,о называется нерезонансным, если из равенства Е= о с целыми к, ..., к вытекает, что все /г,- равны нулю. На нерезонансных торах каждая фазовая траектория всюду плотна. Это утверждение является простым следствием следующего общего результата, принадлежащего Г. Вейлю пусть / Т" —> —> К — интегрируемая по Риману функция, wi,..., о — рацио-н 1Льно независимые числа. Тогда для любой точки е Т" предел [c.86]

Движение фазовой точки по инвариантному тору I = onst является условно-периодическим. Частоты этого движения суть производные невозмущенного гамильтониана по переменным действия [c.368]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Но 1). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы / = onst. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот =дНо1д1. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /= onst называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы [c.197]

Гамильтонова система с п степенями свободы и функцией Гамильтона Н ри. .., Рп, <7ь . <7п) называется интегрируемой если она имеет п первых интегралов h=H, /2,...,находящихся в инволюции. Известная теорема Лиувилля зт верждает (см. [7], [23]), что если п-мерное многообразие, получающееся при фиксировании значений этих интегралов /i = i, /2 = 02,.... ..,/ = Сп, компактно, а сами интегралы в окрестности точки (С],...,С ) функционально независимы, то это многообразие оказывается л-мерным тором. На нем можно ввести циклические переменные <рь. .., фп, в которых уравнения движения принимают простой ВИД i=/ (/i,. ..,/ )— onst, а самодвижение будет условно-периодическим с п частотами. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...