Определение модели Изинга

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДЕЛИ ИЗИНГА [c.361]

Определение Модели Изинга [c.363]

Энергия некоторой конфигурации спиновой решетки в модели Изинга зависит не от деталей распределения спинов в решетке, а только от двух чисел и отражающих определенные [c.369]

Изучением термодинамики квантовых решеточных систем занимался Робинсон [326, 327], который доказал две следующие теоремы )- Пусть //(О) е Э (О) — гамильтониан, определенный для конечной системы 2 (рассматриваемой независимо от остальной части решетки). Например, в модели Изинга [c.380]

Определение / с помощью (2.3.1) является несколько произвольным правая часть может быть заменена любой положительной степенью функции ехр( —2Л"). Результатом этого будет умножение величин 2 — а, у и и на один и тот же множитель. Ввиду всего этого мы можем только сказать по поводу критических показателей для одномерной модели Изинга, что они удовлетворяют следующим соотношениям [c.46]

Из приведенных рассуждений следует также, что многие из формул, на первый взгляд не содержащих величину q (а содержащих только л и г), в действительности, к сожалению, зависят от нее, поскольку q входит в определение областей, в которых справедливы данные формулы. Если бы отношения Лу/Ло для любых собственных значений Kj зависели только от л и (как в (Ю.10.9), (10.10.12) и в уравнении (8) работы [120], то эти отношения можно было бы получать (при больших N) из точных результатов модели Изинга. [c.245]

Другие критические показатели, вероятно, также одинаковы для всех рассмотренных моделей Изинга и имеют значения, определенные выражениями (7.12.12) — (7.12.16). Это находится в согласии с гипотезами скейлинга и универсальности. [c.302]

В следующем разделе для восьмивершинной модели будет показано, что уравнения (13.6.17) и некоторые простые свойства аналитичности и периодичности определяют функцию к(и) и тем самым свободную энергию. Очень интересно проверить, справедливо ли уравнение (13.6.25) для любой ВСГ-модели, например для модели Изинга в магнитном поле. К сожалению, для таких моделей к и), по-видимому, является существенно более сложной функцией, и, хотя уравнение (13.6.25) остается справедливым, его уже недостаточно для определения к (и). [c.385]

За время, отделяющее решение модели Изинга Онсагером в 1944 г. от решения модели жестких шестиугольников Бакстером в 1980 г., статистическая механика двумерных систем обогатилась значительным числом точных результатов. Принято называть модель точно решаемой, когда для некоторой физической величины, такой как свободная энергия, параметр порядка или корреляционная функция, получено удобное математическое выражение или, по крайней мере, когда удалось свести их вычисление к задаче классического анализа. Такие решения, которые поначалу кажутся иногда каким-то курьезом, часто бы-виют интересны тем, что иллюстрируют общие принципы и теоремы, строго выведенные в рамках определенных теорий, а также позволяют контролировать приближенные методы, применимые к более реалистическим и сложным моделям. В теории фазовых переходов модель Изинга, результаты Онсагера и Янга успешно сыграли такую роль. Методы Либа и Бакстера для разнообразных вершинных моделей развили этот успех и расширили набор известных критических показателей, дав материал для сравнения с методами экстраполяции, и заставив уточнить концепцию универсальности. Тесно связанные с классическими двумерными моделями, хотя и не представляющие интереса для теории критических явлений, квантовые одномерные модели, такие, как магнитная цепочка, и знаменитое решение Бете, несомненно внесли вклад в понимание структуры возбуждений в системах с большим числом степеней свободы. Можно было бы также обратиться к физике одномерных проводников. Все эти вопросы теоретической физики, которые, несомненно, оправдывают исследования точно решаемых моделей, не являются предметом настоящей книги, поскольку их изложение потребовало бы обширных и в то же время глубоких познаний в теоретической физике. Речь будет идти в основном [c.8]

Упомянув этот результат, который не будет использоваться далее, перейдем к определению модели типа Изинга, связанной с вышеописанной вершинной моделью на графе О. Каждой грани этого планарного графа, т. е. каждой вершине дуального графа О, сопоставим спиновое состояние с индексом а,Ь, с,. ... Предположим, что имеется соответствие между конфигурациями 4-х спинов вокруг вершины и конфигурациями стрелок вокруг той же вершины. Если это соответствие глобально однозначно, то вершинная модель эквивалентна модели типа Изинга со взаимодействием 4-х спинов. Пример пусть спиновый индекс принадлежит кольцу вычетов по модулю п (а 2п). Индекс стрелки равен при этом разности индексов двух смежных граней. [c.298]

Остановимся весьма кратко на дальнейшем развитии феноменологической теории критического поведения систем, которое явилось основой для локального научного бума второй половины двадцатого столетия, нашедшего даже признание Нобелевского комитета (премия 1982 г.). Для того чтобы идея масштабных преобразований представлялась в наиболее наглядном и естественном виде, рассмотрим ее на примере простейшей дискретной системы, в которой имеется фазовый переход Л-типа, — на модели Изинга (в предыдущем параграфе мы показали, что эта модель дискретной системы может быть использована для описания целого набора различных физических систем, являющихся по этой причине в определенном смысле подобными). [c.360]

М.-К. м. даёт возможность практич. исследования фазовых диаграмм смесей и магн. систем. Осн. проблемы в этой области связаны с изучением упорядоченных состояний систем и с определением области устойчивости. Много работ посвящено природе фазовых переходов и поведению системы вблизи критич, точки, а также динамике этого процесса. Чаще всего эти проблемы исследуются на Изинга модели. [c.213]

Общая восьмивершинная модель, содержащая 6 однородных параметров, не решена. Ее рассматривали Фан и Ву (1970) как модель, охватывающую уже решенные случаи сегнетоэлектриков, а также эквивалентную при определенном выборе параметров моделям типа Изинга или димеров. Мы приведем несколько примеров такой эквивалентности, не вдаваясь в их детальное обсуждение. [c.158]

При зтом обнаруживается поразительный факт и для классических теорий, и для двумерной модели Изинга, и для сферической модели они превращаются в равенства, хотя отдельные критические показатели совершенно различны. Более того, при определенной комбинации эксперимеетальных данных получаются равенства (в пределах ошибок зксперимеета). Это странное обстоятельство стимулировало дальнейшие исследования и попытки дать ему объяснение, о чем мы будем говорить в следуюш ем разделе. [c.365]

Метастабильные состояния газа и жидкости вместе с границей устойчивости однородных состояний описываются в модели твердых шаров, которая является вариантом модели Изинга. Получается уравнение состояния ван-дер-ваальсовского тина [214]. Специально вопрос о границе устойчивости рассмотрен Фишером [239]. Он использовал метод коррелятивных функций в супернозицион-ном приближении. Однако результаты указанных разработок имеют скорее качественный характер и пока мало пригодны для количественных оценок. Удивительно правдоподобная и в то же время простая оценка снинодали получается в элементарной дырочной жидкости, которая была предложена Фюртом [240]. Теория охватывает и метастабильную область. Дырки отождествляются с пузырьками пара, которые спонтанно возникают в жидкости. Каждому равновесному состоянию вещества соответствует определенное распределение дырок по их размерам. Пузырьку приписываются обычное поверхностное натяжение, три степени свободы поступательного движения и одна внутренняя степень свободы, отвечающая изменению радиуса г. Давление нара в пузырьке принимается равным давлению насыщения при данной температуре и плоской границе раздела, р" = р . Средний размер дырок увеличивается по мере перегрева жидкости, оставаясь весьма малой величиной до некоторого предельного перегрева, после чего начинается катастрофический рост пузырьков. По смыслу используемого в [240] условия теория дает уравнение спинодали в переменных р, Т, однако в таком плане результаты не обсуждались. [c.260]

Как показали Грубер и Кунц [37], некий общий класс решёточных систем может быть отображен в класс полимерных систем определенного типа, которые были ими детально изучены. Галлавотти и др. [38] отметили, что это наблюдение полезно при изучении решёточных калибровочных теорий (их короткая статья, однако, очень схематична в отношении комбинаторных аспектов). То, как отображаются решёточные системы в полимерные системы, можно понять из чрезвычайно ясной статьи Галлавотти, Мартин-Лёфа и Миракль-Соля по низкотемпературным разложениям для модели Изинга [39]. Их подходу мы и будем здесь следовать. Наш метод использования комбинаторики во многом навеян работой Малышева [42] [c.37]

Здесь имеет место та же проблема, с которой мы уже сталкивались в разд. 7.10 при определении спонтанной намагниченности для модели Изинга. Если мы определяем поляризацию с помощью (1.4.4), то она должна равняться нулю, поскольку каждому состоянию со стрелкой вверх (или вправо) на линии / соответствует еще одно состояние (получаемое обра- [c.155]

В разд. 10.3 мы видели, что восьмивершинную модель можно рассматривать как две модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями (каждая из моделей на своей подрешетке), связанные между собой с помощью взаимодействия между четырьмя спинами. Некоторые авторы относятся скептически к введению таких четырехспиновых взаимодействий, считая их в определенной степени нефизическими . Юнглинг [126] ответил на подобную критику, показав, что восьмивершинная модель (в частности, восьмивершинная модель без внешнего поля) эквивалентна модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями только между двумя спинами, которые представляют собой взаимодействия между ближайшими соседями и соседями из третьей координационной сферы. [c.258]

Из выражения (11.5.4) с учетом вида функции (11.5.5) следует, что Z (строго говоря, 2Z) представляет собой статистическую сумму модели Изинга, определенной на гранях решетки кагоме, с взаимодействиями между двумя спинами на противоположных гранях и между четырьмя спинами на гранях, окружающих узел. [c.291]

Если такие методы существуют, то их можно применить для рассмотрения восьмивершинной модели, в которой две подрешетки имеют различные бельцмановские веса, но одинаковые комбинации Д и Г, определенные в (10.4.6). В частности, для такой модели можно определить, используя (10.4.17) и (10.12.5), один параметр д. Случай д = тг/2 соответствует Г = 0. При этом модель разбивается на две независимые модели Изинга для антиферромагнетика, которые можно решить алгебраически. (Можно решить также модель свободных фермионов Д = 0 см. разд. 10.16.) Пытаясь обобщить алгебраические методы, естественно в первую очередь обратить внимание на другие значения д, являющиеся простыми долями тг, например д = тг/З, Зтг/4 и т. д. [c.451]

ОНИ представляют собой частные случаи восъмивершинной модели ( 1.4) с определенными значениями параметров взаимодействия Jij и /7 в гамильтониане Изинга общего вида (1.26а). Для этой модели матрицу переноса можно выразить через операторы Паули [ср. с формулой (5.109)] и найти общие условия существования матрицы, с которой она коммутирует, т. е. имеет общие собственные функции. Подобно тому как формула Бете (5.91) определяет собственные функции и гейзенберговской цепочки, и плоской модели сегнетоэлектрика (хотя и с очень различными собственными значениями), здесь тоже можно построить общую алгебраическую схему [52], в которой наибольшее собственное значение матрицы переноса выражается в виде функции энергетических параметров задачи. Последние приписываются различным восьмивершннным конфигурациям, изображенным на рис. 1.10. При этом получается, например [53], что зависимость спонтанного дальнего порядка от температуры определяется отношениями названных параметров. Частными примерами могут служить модели Изинга п KDP. Очевидно, наиболее интересным было бы применение этого мощного математического метода к общей теории фазовых переходов [c.217]

Формула (5.178) справедлива для модели Изинга в решетке любого числа измерений. Поскольку в циклической цепочке имеется лишь одна диаграмма нужного типа (с гг = Ж), одномерное решение, определяемое формулами (5.59) — (5.62), оказывается тривиальным случаем. Комбинаторный вывод решения Онзагера (5.126) для двумерной решетки [47, несмотря на его громоздкость и сложность деталей, также по существу элементарен. Связь между формулой данного типа и решением проблемы димера, т. е. задачей об определении числа различных способов разместить в решетке двухатомные молекулу без их пересечения, подробно обсуждалась Кастелейном [64]. Ссылки на соответствующую алгебраическую теорию пфаффианов можно найти в работе [41], но все это увело бы нас далеко от физики неупорядоченных систем [c.229]

Цель настоящего раздела состоит в том, чтобьь преобразовать трансфер-матрицу Т восьмивершинной. модели в трансфер-матрицу W модели типа Изинга, которая будет описана в ходе самого преобразования. Обнаружив с помощью своего метода диагонализации, что следы произведений определенных матриц в некотором смысле инвариантные относительно умножения на 7, Бакстер (1973а) детально проанализировал эту операцию и построил инвариантный по отношению к Т базис векторов. Эти векторы, имеющие 2 компонент с индексами Р1Р2. .. рл , нумеруются наборами целых чисел /1/2. .. 1м и имеют ту же структуру, что выражения, определяющие матрицы и или, точнее, [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...