Кагоме решетка

Кагоме решетка 279, 280 КОР модель 133 Кейли дерево 55—57, 62, 63 Корреляции 18, 26, 27 [c.479]

ВОСЬМИВЕРШИННАЯ МОДЕЛЬ НА РЕШЕТКЕ КАГОМЕ [c.279]

Небольшое дополнительное исследование позволяет обобщить результаты гл. 10 на особый класс восьмивершинных моделей на так называемой решетке кагоме показанной на рис. 11.1. Не все восьмивершинные модели на решетке кагоме принадлежат к указанному классу к нему относятся только такие модели, больцмановские веса которых удовлетворяют ограничениям (11.1.7). Тем не менее данный класс моделей представляет интерес, поскольку он содержит как частные случаи модели Изинга на треугольной и шестиугольной решетках, критические модели Поттса на тех же решетках (гл. 12) и трехспиновую модель на треугольной решетке [42, 43]. [c.279]

Рис. ILL Решетка кагоме с тремя разными типами (1, 2, 3) узлов. Показаны также три узла Р, Q, R я некоторые типичные стрелки с горизонтальными проекциями, направленными вправо.

Рассмотрим теперь решетку кагоме. На рис. 11.1 видно, что существуют три типа узлов. Назовем их просто узлами типа 1, 2 и 3 и предположим, что все у лы одного типа имеют одинаковые энергии взаимодействия и одинаковые больцмановские веса. Тогда мы можем использовать символ bj для обозначения величины Ь для всех узлов типа 1 и аналогично а у, Ьр [c.280]

Рис. 11.2. Три типа вершин решетки кагоме и восемь вершинных конфигураций, разрешенных для каждого типа. Под каждой конфигурацией указаны соответствующие больцмановские веса.

Рис. 11.3. Три типа вершин решетки кагоме д, а, V — стрелки-спины на ребрах, окружающих вершину г, 8, I, и — грани, окружающие вершину.

Из рис. 11.1 очевидно, что в решетке кагоме имеется два типа треугольников с вершинами, обращенными вверх и вниз. Рассмотрим треугольник одного из этих двух типов и обозначим через р.. . , стрелки-спины на внешних ребрах и через /3 /З2, стрелки-спины на внутренних ребрах, как это показано на рис. 11.4. [c.282]

Полученный полный вес является функцией. . . , Б следующем разделе показано, что восьмивершинную модель на решетке кагоме можно решить, если оба типа треугольников имеют одинаковые веса, т.е. [c.282]

Рис. 11.4. Два типа треугольников на решетке кагоме. Стрелки-спины 1, . . . , б, /З1, /З2, /З3 связаны с ребрами изинговы спины, . . . , а- связаны с гранями. Условия равенства полных весов данных треугольников (П. 1.6) и (П.5.8).

В настоящем разделе будет показано, что ограничения звезда — треугольник (11.1.7) приводят к тому, что определенные свойства модели на решетке кагоме совпадают со свойствами модели на ассоциированной квадратной решетке. Поэтому можно воспользоваться результатами, полученными в гл. 10. [c.284]

Рассмотрим сначала любой обращенный вверх треугольник на решетке кагоме, например треугольник PQR на рис. 11.1. Обозначим стрелки-спины так, как показано на рис. 11.4. Вклад данного треугольника в статистическую сумму (11.1.5), просуммированный по всем значениям стрелок-спинов на внутренних ребрах, равен левой части соотношения (11.1.6). [c.284]

Рис. 11.5. Решетка кагоме, показанная на рис. 11.1 а — линия ЛВ поднята над узлом R, б — вся линия ЛВ поднята как ряд. Статистическая сумма и все корреляции в нижней половине решетки не изменяются.

Рис. 11.6. Решетка кагоме (а) и та же peшeтJ(a после того, как все верхние горизонтальные линии подняты до вершины, а все нижние горизонтальные линии опущены до дна б). Статистическая сумма и все корреляции вида и в

Рассмотрим некоторый узел типа 3 в центральном ряду решетки кагоме, показанной на рис. 11.6, 7. Пусть спины /х, а, /3, на окружающих данный узел ребрах расположены так, как показано на последней диаграмме рис. 11.3. Все эти ребра лежат между линиями Л В и СО, поэтому аналогично (11.2.2) имеем [c.287]

Таким образом, все локальные корреляции вблизи узла типа 3 совпадают с соответствующими корреляциями на квадратной решетке. Вследствие симметрии аналогичные соответствия имеются и для узлов типов 1 и 2. Если выполняются ограничения (11.1.7), все локальные корреляции модели на решетке кагоме могут быть представлены как корреляции на квадратной решетке. [c.287]

Это означает, что для ребра у решетки кагоме, примыкающего к узлу типа 3, [c.287]

Хотя обрамляющие области на рис. 11.6,6 не влияют (на больших решетках) на центральные корреляции, они, несомненно, дают вклад в статистическую сумму и, следовательно, в полную свободную энергию решетки кагоме [c.288]

Подобно модели на квадратной решетке, восьмивершинну модель на решетке кагоме можно сформулировать на языке магнитных спинов на гранях вместо электрических стрелок на ребрах. [c.289]

Рис. 11.8. а — стандартная антисегнетоэлектрическая конфигурация стрелок на решетке кагоме (показаны не все стрелки) б — соответствующая конфигурация на треугольной решетке, полученной при стягивании в точки всех треугольников углом вверх решетки кагоме. Показаны также три подрешетки Л, В, С такой треугольной решетки. [c.289]

Из выражения (11.5.4) с учетом вида функции (11.5.5) следует, что Z (строго говоря, 2Z) представляет собой статистическую сумму модели Изинга, определенной на гранях решетки кагоме, с взаимодействиями между двумя спинами на противоположных гранях и между четырьмя спинами на гранях, окружающих узел. [c.291]

Поместим точку в центр каждой грани решетки кагоме и соединим точки на тех гранях, спины которых включены в двухспиновые взаимодействия. При этом получится решетка, показанная на рис. 11.9. Она состоит из шестиугольной решетки, переплетающейся с треугольной. На рис. 11.9 показаны также коэффициенты взаимодействия связанные с различными ребрами. Пусть N — число узлов типа 1 (или типа 2, или типа 3) в исходной решетке кагоме. Тогда ассоциированная шестиугольная решетка имеет 27У узлов, а треугольная — N узлов каждая из решеток имеет ЪМ ребер, и каждое ребро одной решетки пересекается с одним ребром другой. [c.291]

Рис. 11.9. Шестиугольно-треугольная решетка, образованная точками, находящимися в центрах гранЬй решетки кагоме, и линиями, соединяющими центры тех граней, спины которых вовлечены в двухспиновые взаимодействия. Указаны соответствующие коэффициенты взаимодействия, . . . , К г, 5, и — точки, отвечающие четырем граням на рис. П.3,д точки тип соответствуют граням т и п на рис. П.6,д.

Интересно вернуться к этому соотношению и выразить его через магнитные спины на гранях решетки кагоме вместо электрических спинов на ребрах. [c.292]

Обозначим через tj,. . . , набор спинов, лежащих между линиями ЛВ и D на рис. 11.6, а решетки кагоме. Пусть выполняются ограничения [c.294]

Из выражений (11.3.4) и (11.5.18) следует, что спонтанная поляризация и намагниченность модели на решетке кагоме совпадают с соответствующими величинами в восьмивершинной модели на квадратной решетке при тех же значениях параметров Д и Г. Как видно из разд. 10.11, модель на решетке кагоме имеет упорядоченное состояние при 1Д1 > 1 и неупорядоченное при IАI < 1. [c.295]

Такая же факторизация происходит и в случае модели на решетке кагоме. Как видно из формульГ (11.5.10). мы можем одновременно положить равными нулю все коэффициенты четырехспиновых взаимодействий К . Тогда экспонента в выражении (11.5.7) разобьется на два сомножителя первый из них содержит только спины шестиугольной решетки, показанной на рис. 11.9, а второй — только спины треугольной решетки. Отсюда получаем [c.296]

Другой интересный класс решаемых моделей можно получить из восьмивершинной модели на решетке кагоме. На рис. 11.1 треугольники углом вверх имеют меньшие размеры, чем треугольники углом вниз. Представим себе процесс, в котором размеры треугольников углом вверх становятся бесконечно малыми. В результате решетка кагоме превратится в треугольную. [c.312]

Каждый узел такой треугольной решетки представляет собой кластер, состоящий их трех узлов исходной решетки кагоме. [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...