Изинга модель статистическая сумма

Для модели Изинга вычисление статистической суммы - кластер [c.183]

Целесообразно поэтому рассмотреть некоторые модели, которые допускают точные решения, т. е. такие, для которых статистические суммы канонического или большого канонического распределения Гиббса могут быть найдены без всяких приближений. Первой мы рассмотрим одномерную магнитную модель Изинга, т. е. одномерный кристалл , на котором расположены на равных расстояниях узлы (общее число узлов /V 1). В узлах решетки находятся магнитные диполи с магнитным моментом рв- Проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Н, которое мы будем считать постоянным и однородным, может принимать два значения рв Мы будем считать, что взаимодействуют друг с другом только соседние диполи, и обозначим через е и е энергии взаимодействия двух диполей с параллельными и антипараллельными магнитными моментами соответственно. При // = 0, в случае, когда е < е, параллельная ориен- [c.434]

Так как подкоренное выражение в (80.10) положительно при любых вещественных г и 0, то статистическая сумма 2, а следовательно, и все термодинамические функции непрерывны при любых значениях температуры Т и напряженности магнитного поля Н. Поэтому фазовые переходы в одномерной модели Изинга невозможны. [c.436]

Это выражение совершенно аналогично статистической сумме модели Изинга. Аналогия становится еще более полной, если использовать спиновые переменные , принимающие значения Si = = 1 и выражаемые соотношением [c.361]

Чтобы войти в суть дела, рассмотрим модель Изинга, определяемую гамильтонианом (10.2.2) и статистической суммой (10.2.3). Ее термодинамические свойства характеризуются свободной энтальпией (энергией Гиббса) [c.372]

Ввиду того что наше описание обладает таким недостатком, интересно проверить его справедливость на простых моделях. Интересной моделью является двумерная модель Изинга, для которой статистическая сумма может быть вычислена точно (см. гл. 17). Модель Изинга претерпевает фазовый переход, который относится к одному из обсуждавшихся выше типов. Можно показать (см. Ли и Янг [32]), что в этом случае корни большой статистической суммы всегда лежат на единичной окружности в комплексной плоскости z. Когда линей- [c.350]

Легко показать, что (1.9.4) в данном случае сводится к статистической сумме модели Изинга в поле с взаимодействием только между ближайшими соседями. Заменим переменную спиновой переменной а, с помощью соотношения [c.34]

Сравнивая с (1.8.2) и (1.8.3), легко увидеть, что, за исключением несущественного множителя, полученное выражение для 2 представляет собой статистическую сумму для модели Изинга, если положить [c.34]

Используя метод разд. 6.2, легко получить соотношение дуальности между этими двумя статистическими суммами. Вначале применим низкотемпературную процедуру разд. 6.2 к модели Изинга на шестиугольной решетке. Как видно на рис. 6.4,а, треугольная решетка из N узлов является дуальной по отношению к шестиугольной решетке из 2Ы узлов. Отсюда следует, что аналогом (6.2.4) является следующее выражение [c.84]

Помимо соотношения дуальности (6.3.7), между статистическими суммами моделей Изинга на треугольной и шестиугольной решетках существует еще одно соотношение между ними, известное как соотношение звезда — треугольник . Онсагер [184] ссылается на него мимоходом во введении к своей статье, посвященной решению модели Изинга для квадратной решетки. Ванье [246] выписал его в явном виде, и с тех пор оно было представлено во многих работах (см., например, [114]). [c.85]

Поэтому сумма в (6.4.6) является в точности статистической суммой для модели Изинга на треугольной решетке, состоящей из N/2 спинов. Заменяя 7V на 2/V и сравнивая с (6.3.2), получаем [c.86]

Рассмотрим модель Изинга на квадратной решетке в отсутствие внешнего поля, как мы ее определили в разд. 6.2, но изобразим решетку по диагонали, как показано на рис. 7.1. Статистическая сумма по-прежнему описывается выражением (6.2.1), но теперь первое суммирование внутри скобок выполняется по всем линиям, параллельным линиям, отмеченным на рис. 7.1 буквой К, а второе — по линиям, параллельным линиям, отмеченным буквой L. [c.94]

Прежде чем перейти к следующей главе, следует упомянуть о плоской задаче димера. Это полезно сделать, с одной стороны, потому, что ее решение [139, 230] было следующим большим достижением точной статистической механики после решения модели Изинга Онсагером, а с другой — потому, что статистическая сумма модели Изинга в отсутствие внешнего поля сама может быть выражена через решение задачи димера. [c.128]

Оно представляет собой стандартную статистическую сумму модели Изинга на квадратной решетке, но система является неоднородной, поскольку коэффициенты взаимодействия Ь- изменяются при переходе от одного ребра к другому. [c.354]

Данное выражение для Z очень похоже на статистическую сумму (1.8.2) модели Изинга. Действительно, в разд. 1.9 показано, что общая модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями во внешнем поле эквивалентна решеточному газу с взаимодействием между ближайшими соседями. Модель жестких гексагонов представляет собой предельный случай последней. [c.402]

С целью термодинамического обоснования приближения среднего поля выведем феноменологическое уравнение (5.4) из статистической суммы (5.2). Основное допущение (см. [1.28] и [2]) состоит в отсутствии корреляции между спинами на соседних узлах, за исключением лишь условия, что среднее по ансамблю значение каждого спина отлично от нуля. Для модели Изинга это означает, что полные числа спинов -Ь и — фиксированы согласно равенству (1.22), [c.177]

Статистическую сумму, соответствующую квантовомеханическому гамильтониану Гейзенберга, вычислить точно не удается даже в одномерном случае. Однако в 2.4 было показано, что основное состояние ферромагнитной линейной цепочки, будучи упорядоченным, оказывается неустойчивым относительно теплового возбуждения спиновых волн ( 1.8). Тем самым подтверждается естественное предположение, что в квантовой системе, как и в модели Изинга и в классической модели, фазовый переход при отличной от нуля температуре невозможен. [c.199]

Диаграммные разложения (5.165) и (5.178) сходятся при высоких температурах, когда числа р и ц малы. Другой возможный подход, справедливый при низких температурах, состоит в том, чтобы исходить из упорядоченной фазы при Т = О, а затем рассматривать, что происходит при опрокидывании все большего числа спинов. Статистическую сумму для модели Изинга (5.22) можно тогда написать в виде [c.229]

С другой стороны, статистическую сумму для спиновой модели Изинга можно преобразовать следующим образом [c.372]

Прежде чем переходить к другим вопросам, заметим, что модель Изинга может дать также схематическое описание жидкости. Действительно, рассмотрим так называемый решеточный гол. Представим себе, что физическое пространство разделено на большое число ячеек, центры которых, расположенные в узлах решетки, пронумерованы. В каждой ячейке может располагаться одна и только одна молекула (это условие отображает наличиетвердого ядра, размер которого, таким образом, равен размеру ячейки). Состояние системы, следовательно, задается числом заполнения каждой ячейки, причем = 1, если ячейка заполнена, и = О, если она пуста. Предполагая, что суш,ествует постоянный потенциал взаимодействия, равный —если оба соседних узла заняты, легко показать, что большая статистическая сумма такой системы имеет вид [c.361]

Иначе говоря, если мы построим модель Изинга на полном дереве Кейли, то статистическая сумма Z будет включать вклады как от внутренних узлов, так и от узлов, расположенных на границе. Этот последний вклад не является пренебрежимо малым даже в термодинамическом пределе. [c.56]

Если рассматривать полную статистическую сумму, то мы приходим к модели Изинга на дереве Кейли . Эта задача была решена [77, 172, 203], и оказалось, что она имеет весьма необычные свойства. Тем не менее мы не будем рассматривать эту задачу. Вместо этого мы рассмотрим только вклад в Z, происходящий от узлов, лежащих глубоко внутри графа, т. е. от решетки Бете. [c.56]

Как-то мотивировать сделанный выбор можно, рассматривая разложения в ряд статистической суммы. Если произвести низкотемпературное разложение для любой регулярной решетки подобно тому, как это сделано в разд. 1.8, то для вычисления членов до второго порядка включительно нужно знать только такие характеристики решетки, как число узлов и координационное число. В третьем порядке уже потребуется число треугольников на решетке, в четвертом — число тетраэдров (т. е. кластеров, состоящих из четырех связанных узлов) и других высокосвязных четырехточечных графов и т. д. Интересен простой случай, когда замкнутые цепочки узлов отсутствуют и поэтому нет треугольников, тетраэдров и т. п. Тогда мы получаем модель Изинга на решетке Бете, как мы ее здесь определили. [c.56]

Рассмотрим модель Изинга на полном дереве Кейли (ниже мы отбросим члены, связанные с граничными узлами, и возвратимся к решетке Бете). Статистическая сумма дается выражением (1.8.2), т. е. [c.57]

Вслед за решением этой плоской задачи димера Кастелейн [140] показал, что вычисление статистической суммы модели Изинга на квадратной решетке в отсутствие внешнего поля может быть представлено как задача димера, и поэтому получил снова решение Онсагера. Как уже упоминалось в разд. 7.1, метод пфаффиана оказался весьма полезным для вычисления характеристик модели Изинга [164, 170, 233]. [c.130]

За исключением множителя exp(NL), выражение (10.13.8) представляет собой статистическую сумму модели типа Изинга на квадратной решетке, показанной на рис. 10.6 с помощью светлых кружков и пунктирных линий, с диагональными и четырехспиновыми взаимодействиями между ближайшими соседями. Это в точности совпадает с формулировкой восьмивершинной модели (10.3.1), причем энергии взаимодействия 7 и 7 задаются выражениями [c.260]

Случай = Jy = О, отвечающий одномерной модели Изинга, рассмотренной в гл. 2, легко решается. Случай У = О известен как Л У-модель и связан с моделью Изинга. Для всех собственных значений (при конечных N) могут быть получены точные выражения и вычислена статистическая сумма. Такие вечисления выполнены в работах [142, 161]. [c.262]

Из выражения (11.5.4) с учетом вида функции (11.5.5) следует, что Z (строго говоря, 2Z) представляет собой статистическую сумму модели Изинга, определенной на гранях решетки кагоме, с взаимодействиями между двумя спинами на противоположных гранях и между четырьмя спинами на гранях, окружающих узел. [c.291]

Таким образом, Z представляет собой с точностью до нормировочного множителя объединенную статистическую сумму моделей Изинга на шестиугольной и треугольной решетках, взаимодействующих друг с другом с помощью четырехспинового взаимодействия узлов, принадлежащих пересекающимся ребрам. [c.292]

Самосопряженная восьмивершинная модель, веса которой инвариантны относительно обраш,ения всех стрелок при вершине, эквивалентна модели Изинга со взаимодействием 4-х спинов на двух независимых подрешетках (Каданов, Вегнер, 1971). Статистическая сумма записывается в виде [c.160]

За неимением точной формулы для статистической суммы сколько-нибудь реальной трехмерной модели нам приходится выбирать менеду приближенным компактным представлением (см. 5.4) и разложением в степенной ряд. Сумма конечного числа членов такого ряда всегда ведет себя вполне регулярным образом, но ее нетрудно экстраполировать к сумме бесконечного ряда, расходимость которого указывает на возможность фазового перехода. Этот силовой прием в дальнейшем был превращен в изящный аппарат (см., например, [1.28], [1, т. 3, 59, 60]), позволяющий получать важные сведения о таких нерешенных проблемах, как переход порядок — беспорядок в трехмерной модели Изинга. Представление коэффициентов ряда в виде комбинаторных мно- [c.223]

Рассматривается комплекс вопросов о физическом поведении магнитных систем, опирающийся на представление статистической суммы континуальным интегралом. С помощью тождества Хаббарда — Стратоновича дается вывод точных представлений статистической суммы для моделей Изинга, Гейзенберга и Хаббарда в виде континуальных интегралов по флуктуирующим полям. Указана связь разложений подынтегральных выражений по флуктуирующим полям с рядами теории возмущений и диаграммной техникой. Для температур, близких к точке фазового перехода, проведено приближенное вычисление континуальных интегралов, позволяющее получить функционалы Гинзбурга — Ландау для перечисленных моделей. [c.109]

Связь с одномерной моделью Изинга в поперечном поле. Форма лизм, изложенный в предыдуш ем параграфе, сводит задачу о мы числении статистической суммы плоской классической модоли Изинга к вычислению трансфер-матрицы — объекта, зависящего от совокупности спинов, относящихся к одной строке решетки. Со гласно (13.6), (13.13) и (13.14), трансфер-матрица Т выражаотси [c.155]

Последняя глава посвяшена самому сложному разделу равновесной теории — теории неидеальных статистических систем. И дело здесь не только в математической сложности используемых методов (их в наших некоторых вопросах теории было не так уж и много), а в основном в том, что в отличие от материала предшествующих глав исследования неидеальных систем не доведены до конца. Во-первых, мы сами остановились на полпути к современному состоянию теории, возложив оставшуюся его часть на специальные курсы для общего курса она слишком сложна в формальном отношении и весьма неоднозначна в идейном. Во-вторых, сама теория неидеальных систем не располагает окончательными решениями. Мы привыкли к тому, что в учебных пособиях изложение любого юпроса доводится до ответа, и как-то даже избаловались этим. Действительность в этом отношении достаточно беспощадна майеровские суммы полностью не суммируются, удовлетворительных интегральных уравнений для функции F2 R) никто не написал, трехмерная модель Изинга не считается и т.д., а в итоге — микроскопической теории фазовых перег. ходов пока нет. Естественно, возникают сомнения может быть эти суммы вообще не суммируются, может быть прямые численные методы молекулярной динамики целесообразнее методов решения явно неточных интефальных уравнений, может быть трехмерная задача Изинга точно вообще не решается и т.д. , [c.368]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...