Уравнения состояния упругого изотропного материала

Уравнения состояния упругого изотропного материала [c.107]

Более того, кинетическая теория и ее обобщение на высокоэластические жидкости (глава 6) представляется единственной молекулярной теорией для полимерных систем (и возможно также для любых систем), которая развита настолько, что позволяет получать полные реологические уравнения состояния в форме, пригодной для приложения к любому типу истории деформации, не ограниченному малыми деформациями и малыми скоростями деформации. В главе 8 будет показано исключительное разнообразие возможных форм реологических уравнений состояния для изотропных упругих жидкостей и твердых тел, отличных от идеально упругих веществ. Поэтому маловероятно, чтобы корректные уравнения для любого заданного материала можно было бы определить на основании только лишь результатов опытов. Любая молекулярная теория, позволяющая сделать предпочтительный выбор одной формы уравнения перед другой, может оказаться ценной. [c.112]

Выразим постоянную С, входящую в уравнения обобщенного закона Гука (1.7), через упругие постоянные Е и р изотропного материала. Для этого рассмотрим деформацию элемента, испытывающего чистый сдвиг (рис. 111.2). Для упрощения вывода его ребра в направлениях осей х и у приняты равными. В результате деформации верхняя грань переместится параллельно нижней на Д5 (сдвинется), отсюда и название напряженного состояния, при котором эта деформация возникает. Перемещение Д5 называется абсолютным сдвигом. [c.85]

Сдвиг — это другой вид напряженного состояния, которым нельзя пренебрегать при любом изучении упругих свойств материала. В отличие от деформаций растяжения или сжатия, вызываемых напряжениями, действующими под прямым углом к поверхности тела, при сдвиге происходит изменение формы тела, вызываемое равными и противоположно направленными напряжениями, действующими по касательной к поверхности тела. Величина сдвиговой деформации определяется тангенсом угла сдвига tgY (рис. 4.12). Отношение сдвигового напряжения к tgY называется модулем сдвига G и часто используется для характеристики жесткости материала. Для изотропного материала модуль сдвига связан с другими упругими константами и v уравнением [c.209]

В допущении гауссовой сетки из кинетической теории следует, что этот материал должен быть изотропным, идеально упругим твердым телом с реологическим уравнением состояния [c.121]

Все, что касается геометрии деформирования оболочки и условий равновесия выделенного из нее элемента, не зависит от упругих свойств материала, из которого она изготовлена, в связи с чем эти свойства до сих пор не рассматривались. Однако, поскольку полученные в п. 1.6 уравнения равновесия элемента оболочки статически неопределимы, задача по расчету напряженно деформированного состояния не может быть решена, пока не будут учтены упругие свойства материала оболочки, т. е. пока не будут получены соотношения, связывающие между собой усилия, моменты и параметры деформации срединной поверхности. Такие соотношения для тонкой оболочки, изготовленной из однородного, изотропного материала, следующего закону Гука, будут выведены в п. 1.9. Однако предварительно следует получить формулу для энергии деформации оболочки. [c.42]

При построении соотношений напряжения — деформации для трансверсально изотропного материала мы вправе выбрать любое из трех координатных направлений как ось упругой симметрии. На рис. 7.24 для этого выбрано направление оси z. (Такой выбор обычен для трехмерных задач.) Однако в этом случае условия плоского напряженного состояния и плоской деформации для плоскости л , у не очень интересны, поскольку в этой плоскости материал изотропен. Если же мы выберем в качестве оси симметрии, например, направление оси у, то материал будет анизотропным в плоскости л , у. При этом направления л и z будут эквивалентны. Это означает, что и v y = zy Тогда из (7.7.1) и (7.7.2) находим, что для рассматриваемого трансверсально изотропного материала = S33 и S12 = S23. Как следствие можно упростить (7.7.7) и (7.7.8), исключив постоянные S33 и S23. Однако предпочтительнее оставить уравнения в обш,ей форме, имея в виду, что они включают трансверсальную изотропную как частный случай. [c.192]

Состояние и ориентация первоначально изотропного упругого материала определяются одним лишь тензором с, который вместе с начальной формой элемента материала определяет геометрию этого элемента после деформирования [6]. У вязкоупругого материала (например, полимера, в котором возможно проскальзывание между цепочками молекул) имеет место некоторое запаздывание по времени между деформацией и состоянием и ориентацией материала. Это запаздывание и учитывается путем введения переменной q [5]. Заметим, что в предельном случае малых деформаций данное описание оказывается аналогичным трехпараметрическому представлению линейных вязкоупругих материалов, согласно которому уравнения (4)—(6) определяют линейный функционал. [c.153]

Ламе (первый коэффициент обозначается через Л), тогда как в случае разгрузки параметр Р должен автоматически обращаться в нуль, поскольку при разгрузке материал ведет себя как упругий. Для используемых здесь уравнений состояния материала (материал считается однородным и изотропным е упругой области, а его поведение в пластической области определяется критерием текучести Мизеса и законом течения [c.167]

Поэтому при решении задач об определении напряженного и деформированного состояния однородного изотропного тела, нагруженного за пределами упругости, необходимы уравнения пластического состояния материала (уравнения связи между напряжениями и деформациями или между напряжениями и скоростями деформаций). Такие уравнения устанавливаются на основании законов теории пластичности. Однако прежде, чем перейти к описанию этих законов, сформулируем условия начала текучести, представляющие собой критерии перехода материала в точке тела из упругого состояния в пластическое, т. е, условия начала возникновения пластических деформаций. [c.81]

Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения состояния материала о практической неосуществимости такой операции в общем случае (для любого материала) говорилось в 14 и II, 8. Но ход вывода принципа стационарности дополнительной работы требует предположения, что обращение осуществлено принимается, что соотношение [c.141]

На практике может оказаться необходимым применять уравнения состояния с 21 упругой константой. Тем не менее в основном внимание в данной главе уделяется вопросам построения уравнений жесткости для элемента и рассмотрение ограничивается случаем изотропного материала, для которого [c.307]

Следует поэтому ожидать, что уравнения (4.2) для идеально упругого твердого тела будут включать в себя переменные формы Y t) и у ( о), но не будут содержать временных производных и интегралов и величин переменных формы, отвечающих состояниям, отличным от текущего состояния t и ненапряженного состояния t , к которому материал должен вернуться, как только напряжение станет изотропным. Производные по времени и временные интегралы от переменных формы, как можно ожидать, будут характеризовать задержку упругого восстановления. Поэтому они могут появиться в уравнениях вязкоупругого тела. [c.99]

Численный анализ, проведенный для ряда материалов (материал среды предполагался сжимаемым, первоначально изотропным, имеющим упругий потенциал Мурнагана (1.6.9)), показал, что поведение реакции среды (5(0, Х2) в начально напряженном состоянии имеет такой же качественный характер, что и в случае отсутствия начальных напряжений [11, 13, 38] — она является вещественной в диапазоне [О, где — частота запирания [13, 51] слоя — первый корень уравнения [c.181]

При решении статических задач термоупругости при нестационарных температурных полях обычно предполагают, что напряженное состояние в каждый момент времени соответствует перепаду температур, который наблюдается в этот же момент. Инерционными членами в уравнениях упругости при этом пренебрегают. Статические задачи термоупругости легче поддаются решению, чем динамические, и к настоящему времени найдено в аналитическом виде достаточно большое число решений [2]. Однако полученные решения имеют достаточно сложный вид и не всегда удобны для практического применения. Кроме того, они получены с использованием приближений, не учитывающих отдельные особенности реальных материалов (материал считается однородным и изотропным, модули упругости и другие параметры материала считаются не зависящими от температуры и т. д.). Для практических целей часто прибегают к значительным упрощениям теоретических представлений и к экспе- [c.215]

Приведенные уравнения свидетельствуют о том, что скорость неупругой деформации есть функция разности напряженных состояний между действительным состоянием и состоянием, отвечающим статическому условию текучести. Эта функция определяет скорость неупругой деформации согласно закону вязко сти Максвелла. Упругие же составляющие тензора деформаций от скорости деформации не зависят. В определяющих уравнениях (3.3) или (3.5) учтено также упрочнение материала. С помощью функции Р можно описать как изотропное, так и анизотропное упрочнение [c.23]

Напомним, что вблизи естественного состояния определяющее уравнение изотропного и однородного упругого материала всегда имеет вид (теорема 3.8-1) [c.186]

Уравнения линеаризованной теории упругости для однородного изотропного материала, отсчётная конфигурация которого соответствует естественному состоянию, при дополнительном предположении, что Uq = o ( 6.2) [c.36]

Перемещение dld наз. абсолютным С. грани d относительно грани ad, угол у наз. углом С., а — относительным С. Ввиду малости у можно считать tgY=Y. Если по граням параллелепипеда действуют только касат. напряжения т, С. наз. чистым. В пределах упругости для изотропного материала относит. С. связан с т Гука законом х=6у, где С — модуль С. для данного материала (см. Модули упругости). На практике С. часто сопутствует растяжению и сжатию, когда одновременно с нормальными возникают и касат. напряжения. СДВИГ Уровней, небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии атома водорода и водородоподобных атомов от предсказаний релятив. квант, механики, основанных на Дирака уравнении. Согласно точному решению этого ур-ния, ат. уровни энергии двукратно вырождены энергии состояний с одинаковым гл. квант, числом и=1, 2, 3,. .. и одинаковым числом полного момента /= = /г> /г должны совпадать независимо от двух возмояшых значений орбит, квант, числа г= 1/2-Однако в 1947 амер. учёные У. Лэмб [c.673]

Здесь т — масса материала в объеме о, а п и /з даются формулами (1.22) и (8.2). Таким образом, компоненты напряжения в изотропном абсолютно упругом твердом теле определяются уравнением (8.1), где коэффициенты А, В, С — функции инвариантов деформаций /ь /2, /з, температуры и плотности mjva в ненапряжен-ногл состоянии ta. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...