Разложение потенциалов и полей в ряды

П1.1 вводит в теорию притяжения по Ньютону. Лля силового поля тяготения определяется потенциал в случае двух и п притягивающих материальных точек. Рассматривается случай, когда имеется притягивающее тело в виде шара со сферическим распределением плотности и соответственно находится потенциал создаваемого поля тяготения. Изучается также методика разложения потенциала в ряд по сферическим функциям (многочленам Лежандра) для тела произвольной формы. При решении задачи о силе тяжести на поверхности [c.393]

В рамках метода КХ описание динамики процесса фотоионизации атома носит традиционный характер (см. разд. 2.5) — состояние атома в поле описывается как состояние в потенциале КХ, а процесс ионизации определяется гармониками потенциала КХ. Путем разложения потенциала КХ в ряд по степеням напряженности поля находятся штарковские сдвиги электронных состояний в потенциале КХ. Первый член этого разложения имеет вид [c.285]

Другими словами, если известно аксиальное распределение и (г) вращательно-симметричного электростатического или магнитного поля и это распределение является бесконечно дифференцируемой функцией, то можно определить поле во всем пространстве с помощью разложения в степенной ряд (3.20). Единственно, что для этого необходимо знать — аксиальное распределение потенциала. Это очень важный момент, и мы еще не раз к нему вернемся. Детальное обсуждение будет проведено в разд. 9.8. [c.68]

Разложение в степенной ряд (3.52) существенно упрощается, если потенциал не зависит от координаты z (планарное мультипольное поле). В этом случае коэффициенты AnN(r, 2) (и соответствующие функции UnN z)) являются в точности постоянными. Тогда имеем для случая N — 2 [c.79]

Поскольку это поле — дипольное, можно начать с общего распределения мультипольного потенциала (3.52) при Л =1, поскольку существует одна плоскость симметрии. Дополнительно, благодаря проведенному выше анализу симметрий разложение распределения потенциала в ряд может содержать только нечетные члены. Используя уравнения (3.54), (3.56), (3.60), (3.62) и (3.64), получим первые члены разложения в ряд (3.52) в виде [c.581]

В заключение этой главы хотелось бы обратить внимание читателей на очень важную проблему. Мы видели, что отклонение можно осуществить множеством различных способов, используя различные виды симметрии. В гл. 10 было показано, что осесимметричные системы можно заменить системами с мультипольной симметрией. В разд. 3.1.1Л мы обсудили плоские поля. Мы видели, что разложение в степенной ряд [уравнение (3 36)] распределения потенциала симметричного плоского поля имеет ту же структуру, что и распределение осесимметричного потенциала [уравнение (3 20)]. Соответственно возможна фокусировка симметричными плоскими полями с тем только различием, что точка объекта будет изображаться прямой линией Интересные фокусирующие и отклоняющие свойства мож- [c.596]

Вблизи точки Кюри разложим термодинамический потенциал кристалла в ряд Тейлора по увеличивающимся степеням диэлектрического смещения I). В разложении для класса перовскитов могут присутствовать только чле ны с нечетными степенями В. Если коэффициенты ряда определить как производные по энергии, вычисленные при нулевом смещении, то электрическое поле может быть выражено в виде ряда [c.50]

Поэтому нечетные степени у должны отсутствовать при разложении в ряд (1 1=0). Тогда потенциал симметричного планарного поля имеет вид [c.71]

Аналитические методы перечислены в разд. 3.1. Сначала были выписаны разложения в ряд для потенциалов и полей. Формула (3.19) является наиболее общим выражением для разложения в ряд произвольного трехмерного распределения потенциала в цилиндрических координатах, а (3.27) — в декартовых. Выражение (3.20) написано для частного случая аксиально-симметричного распределения потенциала. Затем были рассмотрены общие свойства плоских, аксиально-симметричных и мультипольных полей. Обсуждались специальные методы вычисления как аксиально-симметричных, так и мультипольных полей (разделение переменных, конформные преобразования и т. д.). Было рассчитано распределение потенциала, созданного двумя цилиндрами одинаковых диаметров с круглой апертурой. Мы ознакомились с процедурой, позволяющей быстро рассчитать поле, созданное системой апертур. Затем было вычислено распределение потенциала, созданного цилиндрическим вогнутым 2ЛГ-мультиполем, и найдено решение задачи об идеальных мультиполях. Трудности аналитических вычислений были проиллюстрированы на практических примерах. Мы остановились на особых свойствах магнитных материалов, после чего использовали закон Био — Савара (3.249) для вычисления по- [c.177]

Компоненты вектора Ф можно найти из выражения для потенциала магнитного поля W, который подобно потенциалу гравитационного поля может быть разложен в ряд ПО сферическим функциям, так что [c.329]

Потенциал падающего поля ф, (г) в общем виде можно представить разложением в ряд Тэйлора в окрестности шара с центром в точке Ti [111 [c.127]

Чтобы решить вопрос о сходимости ряда теории возмуш,ений, можно, как и в 10.1, оценить время релаксации т при рассеянии на флуктуациях потенциала Т (г). Упомянутое разложение можно считать справедливым, если длина свободного пробега электрона или иного возбуждения значительно превышает длину корреляции случайного поля ( 3.3). Это эквивалентно требованию, чтобы неопределенность волнового числа электрона была меньше размера спектральной области, в которой сосредоточен потенциал возмущения. В таких условиях удобно исходить из уравнения Шредингера в импульсном представлении. [c.557]

Пусть теперь внешнее поле с потенциалом ф= вблизи R само создается некоторой системой зарядов 1, расположенных вблизи нуля , так что точка R находится вне некоторой сферы, вмещающей все заряды системы 1. Тогда для этого потенциала можно будет прибегнуть к разложению (75). Тем самым мы придем к выражению для потенциальной энергии взаимодействия систем 1 и 2 в виде двойного ряда по их мульти-польным моментам [c.257]

Данные табл. 1.3 показывают существование определенной зависимости значений й,- от состава стекла в пределах одной основы. Наиболее четко эта закономерность прослеживается на примере простых бинарных силикатных стекол [44]. Увеличение радиуса щелочных ионов-модификаторов в этих стеклах в ряду Ы — Ыа — К — НЬ (табл. 1.3) приводит, как и следовало ожидать, к последовательному уменьшению значения параметров Тот же эффект (уменьшение Й,) наблюдается при изменении щелочноземельной компоненты в ряду Са — Mg — Ва. Примером могут служить приведенные в таблице трехкомпонентные силикатные составы, у которых замена ЫазО — MgO на КгО — ВаО уменьшает 2,-. Сравнительно большие значения у промышленных силикатных стекол 0-2 и Ь5С-91Н, включающих в свои составы ионы и Са, также связаны с увеличением нечетной части потенциала внутреннего поля при уменьшении радиусов ионов-модификаторов. Поле в ближайшем окружении ионов Ыс1 + в стеклах характеризуется низкой симметрией — как правило, тригональной. Интенсивности переходов подчиняются при этом правилу [26] J—J с С 1 У+/ 1, где J и J — полные моменты начального и конечного состояний, i — порядковый номер членов разложения потенциала по сферическим тензорным операторам ( =2, 4, 6). Согласно [c.26]

Это выражение полностью эквивалентно разложению в степенной ряд (3.20) и представляет тот же важный факт аксиальносимметричное поле полностью определяется своим распределением потенциала вдоль оси. (Заметим, что — просто переменная интегрирования и не имеет физического смысла.) Хотя выражение (3.112) изящнее, чем бесконечный степенной ряд [c.87]

Рассмотрим в качестве возмущения потенциальную энергию V г, б-, ф) электрона 1-оболочки во внутрикристаллическом поле. Расщепление уровней вызывается четной частью разложения потенциала V г, ф) в ряд по неприводимым тензорным операторам Вр (обозначения соответствуют прихштым в [20Э]) [c.68]

Голей [1] при создании системы токовых шиммов исходил из возможности описания неоднородного поля в зазоре магнита скалярным потенциалом. Описанные в работе шиммы соответствуют первым членам ряда разложения скалярного потенциала по сферическим функциям. Из ортогональности сферических функций следует независимость токовых регулировок при настройке спектрометра, Однако шиммы Голея имеют сложную фор- [c.206]

ФОНОН — квант колебаний атомов кристаллич. решётки. Термин введён И. Е, Таммом по аналогии с квантом эл.-магн. поля — фотоном. Рассмотрение колебаний кристаллич. решётки основано на адиабатическом приближении, в рамках к-рого совокупности её структурных элементов (атомов, молекул, ионов) можно приписать потенц. энергию, зависящую от координат ядер. Эта энергия разлагается в ряд по степеням малых смещений ядер из их положения равновесия. Обычно в кристаллах смещения атомов малы вплоть до темп-ры плавления. Поэтому можно ограничиться гармонич. приближением, т. е. в разложении энергии оставить только квадратичные по смещениям слагаемые. [c.338]

Ур-ния траекторий (9) в осесимметричном поле упрощаются. В частности, при осевой симметрии существует только азимутальная составляющая векторного потенциала Ав(г, z), к-рая, как и потенциал ф(г, z), не зависит от азимутального угла 0. Условие параксиальности пучков позволяет сделать дополнит, упрощения, использовав только первые члены разложения <ри А в степенные ряды [c.547]

В этом случае компоненты интенсивности пульсаций, отнесенные к осреднеи-ной продольной скорости V2, пришмают на оси экстремальные значения [86]. Опираясь на уравнения для Ц V, введем скалярный потенциал = (х,> ,г), см. п. 1.2.1. Полагаем, что функции /7, V, IVq, И , р, t], А, С, ии, Ti" и т. д., характеризующие осредненное течение, в новых переменных явно от времени не зависят д<р Iд = Q), и аргументами для них являются х, . Уравнения пульсационного движения определяют м, и, и о, w,, р, зависящие от аргументов X, t. Решение построено в виде разложений искомых функций в ряды по степеням < О < < , < 1 с, —> О, > -со, О2 - 0,р р . Уравнения д.чя коэффициентов этих рядов решены методом дифференциальных операторов все подробности аналитического алгоритма даны в [24, 25]. В результате пол> чепо локальное решение, характеризующее квазистационарное турбулентное течение вдоль оси симметрии канала. Обсудим свойства этого решения. [c.38]

Вероятности оптических переходов между уровнями РЗ-ионов определяются главным образом взаимодействием 4/-электронов с полем лигандов. Поскольку энергия этого взаимодействия мала по сравнению с другими видами взаимодействий (кулоновым и спин-орбитальным), его можно рассматривать как возмущение. Первым шагом при этом является вычисление электрического потенциала V, создаваемого окружающими РЗ-ион ионами решетки в месте расположения данного иона. В приближении внутрикристалличе-ского поля, когда ионы решетки рассматриваются как точечные заряды, этот электрический потенциал определяется уравнением Лапласа АУ=0 и может быть представлен в виде разложения в ряд по сферическим функциям [c.21]

Аксиально-си.нметричное поле. Нам уже известно разложение в ряд аксиально-симметричного скалярного потенциала. Если и — электростатический потенциал, то из выражений (1.10), (1.13), (1.17) и (3.20) легко найти компоненты произвольного аксиально-симметричного электростатического поля в виде степенных рядов от радиуса с коэффициентами, содержащими производные от аксиального распределения потенциала. В результате [c.72]

Общее разложение в ряд (3.52) мультипольных потенциалов содержит бесконечный набор функций UnN z) в противоположность аксиально-симметричному случаю, где единственной такой функцией является аксиальное распределение потенциала в уравнении (3.20). Поэтому ситуация существенно усложняется вследствие, вообще говоря, трехмерного характера мультипольного поля. Отсюда следует, что в общем нельзя строго вычислить функции распределения потенциала. Например, квад-рупольное поле двух скрещенных щелей, показанных на рис. 25, можно вычислить только приближенно [73]. Область применения аналитических методов ограничена упрощенными моделями, которые могут удовлетворительно описать только свойства либо бчень коротких, либо длинных мультиполей. [c.101]

Осесимметричный электростатический или магнитный скалярный потенциал можно вычислить по его осевому распределению, используя расходящийся ряд (3.20) или комплексный интеграл (3.112). Компоненты электрического поля и вектора магнитной индукции определяются рядами (3.38) —(3.40) и (3.45) — (3.47) соответственно. Комплексный интеграл может -быть вычислен только для аналитических функций. Разложение степенного ряда требует, чтобы осевое распределение задавалось как 2(п—1) раз дифференцируемая функция координаты Z, где п — число членов степенного ряда. К сожалению, для лриемлемой сходимости необходимо весьма большое п. Если осевое распределение задано набором численных данных (что является обычным при процедурах оптимизации, обсуждаемых дальше) или даже если оно известно в виде громоздкой аналитической функции, то производные высших порядков необходимо получать численными методами, которые дают большие погрешности (см. разд. 3.3.5.1). [c.532]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...