ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проведение плоскостей, касательных к кривым поверхностям из "Курс начертательной геометрии Издание 22 " При изображении кривых поверхностей и при выполнении связанных с ними построений может оказаться необходимым проведение плоскости, касательной к поверхности. [c.224] Возьмем небольшую часть поверхности и точку на ней. Если через эту точку проведены на поверхности кривые и касательные к ним прямые, то последние оказываются в одной плоскости ). Эгу плоскость называют касательной к поверхности в данной ее точке. [c.224] Точка поверхности, в которой может быть, и притом только одна, касательная плоскость, называется обыкновенной (или правильной). Обыкновенным точкам противопоставляются особые, например вершина конической поверхности, вершина поверхности вращения, - точка на ребре возврата. [c.224] Плоскость вполне определяется двумя пересекающимися прямыми поэтому для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две кривые и к каждой из них касательную в той же точке. Эти две прямые (касательные) определяют касательную плоскость. [c.225] Перпендикуляр к касательной плоскости в обыкновенной точке поверхности служит нормалью к поверхности. Отсюда нормальное сечение поверхности — сечение плоскостью, проходящей через нормаль. [c.225] На рис. 350 построена плоскость, касательная к вытянутому эллипсоиду вращения в его точке К- Через эту точку проведена параллель поверхности и к ней касательная КР проекция к совпадает с фронтальной проекцией параллели, а горизонтальная проекция является касательной к окружности — горизонтальной проекции параллели. В качестве второй кривой, проходящей через точку К, взят меридиан, на рис. 350 не изображенный можно воспользоваться уже начерченным главным меридианом — очерком фронтальной проекции эллипсоида. Надо представить себе, что эллипсоид повернут вокруг своей оси АВ так, что меридиан, проходящий через заданную точку К, занял положение главного меридиана АК В. При этом точка К займет положение Кг- Проводя в точке к касательную к эллипсу, получаем фронтальную проекцию второй касательной к эллипсоиду в точке Кх. Теперь нужно эту касательную повернуть так, чтобы точка кх заняла исходное положение к. Точка 5, лежащая на касательной и на оси эллипсоида, остается неподвижной, и касательная к меридиану в точке К выразится проекциями к и в к. Прямые КР и 8К определяют искомую плоскость. [c.225] Очевидно, таксе построение применимо и к сфере. Но здесь можно поступить проще, исходя нз того, что плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя (рис. 351) радиус ОА, строим плоскость, задавая ее горизонталью АВ и фронталью АС, перпендикулярною к ОА. Эти прямые определяют плоскость, касательную к сфере в ее точке А. [c.225] В рассмотренных примерах (рис. 350 и 351) касательная плоскость имеет с поверхностью одну общую точку. Если представить себе проходящие через эту точку кривые на поверхности, то эти кривые в окрестности точки касания располагаются по одну сторону от касательной плоскости. То же мы могли бы видеть на параболоиде вращения, на торе, образованном дугой (меньше полуокружности), вращающейся вокруг ее хорды, и др. Такие точки на поверхности называются дллиптическими. Если у поверхности все точки эллиптические, то эта поверхность выпуклая, например эллипсоид, показанный на рис. 350. [c.226] Здесь плоскость касается поверхности не в одной точке, а во всех точках на образующей. Такие точки поверхности называются параболическими. К поверхностям с параболическими точками относятся цилиндрические, конические, поверхности с ребром возврата. [c.226] Построение на рис. 352 слева заключается в следующем. Данная поверхность линейчатая. Поэтому через точку С можно провести образующую АВ, которая является одной из двух пересекающихся прямых, определяющих касательную плоскость. В качестве второй прямой можно взять касательную ВР к окружности — горизонтальному следу цилиндрической поверхности. Прямые АВ и ВР определяют искомую касательную плоскость. Прямая ВР является горизонтальным следом этой плоскости. [c.226] Второе решение через точку М проведена прямая МЫ — горизонтальный след второй касательной плоскости (касание по образующей АВ). [c.227] На рис. 353 показано построение плоскости, касательной к конической поверхности в ее точке А. Поверхность задана вершиной 5 и направляющей — эллипсом, лежащим на пл. Н. [c.227] Образующая ЗМ, на которой расположена точка А, является линией касания плоскости к конической поверхности. Помимо этой образующей касательную плоскость определяет еще прямая Л1Л/ на пл. [c.227] В примерах на рис. 350—353 касательные плоскости не пересекают поверхностей. Но если это характерно для выпуклых поверхностей, то вообще плоскость, касательная к поверхности в некоторой ее точке, может пересекать эту поверхность. Так, плоскость, касательная к поверхности гиперболического параболоида (см. рис. 321) в точке О, содержит касательные Ох и Оу к параболам ВОВ1 и АОА1 к рассекает поверхность на две части, имея с ней бесконечное множество общих точек. [c.227] Примером пересечения по прямой и кривой могут служить случаи пересечения линейчатой неразвертываемой поверхности, например пересечение поверхностей с плоскостью параллелизма, винтовых поверхностей с прямолинейной образующей (кроме разверзаемого геликоида). [c.227] Точки поверхности, в которых касательная плоскость рассекает поверхность, называются гиперболическими. Такие точки присуиш в числе других (см. выше) вогнутым поверхностям вращения (пример такой поверхности см. на рис. 330). [c.228] Если точки поверхности в какой-либо ее части только гиперболическве, то форма поверхности в этой части седлообразная (например, у гиперболического параболоида — рис. 321, 322). [c.228] Если сравнить между собой поверхности линейчатые, развертываемые U иеразвертываемые, то для развертываемых касательные плоскости в различных точках образующей линии имеют одно и то же направление (например, у конической поверхности вращения), а для неразвертываемых касательные плоскости в разных точках образующей направлены не одинаково (например, у однополостного гиперболоида вращения). [c.228] Вернуться к основной статье