Функции, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия

То, что введение функций напряжений Ф дает возможность тождественно удовлетворить уравнениям равновесия и тем самым свести задачу к решению одного уравнения и выполнению соответствующих конкретной задаче краевых условий, позволило получить ряд точных решений путем подбора функций Ф. Пусть и qy постоянны. Тогда уравнению (19.11) можно попытаться удовлетворить, задав функцию Ф в виде полинома по степеням хну, например, вида [c.445]

Вводя в рассмотрение функции напряжений (см. параграф 3 гл. II), тождественно удовлетворим уравнения равновесия, а из (IX.12) получим разрешающие уравнения для определения функций напряжений. [c.191]

Из уравнений (8.2) вытекает, что компоненты Оз и Оа2 не зависят от координаты Лд и, следовательно, во всех поперечных сечениях каждая из них является одной и той же функцией только Xj и Хг. Эти функции Оз (a i, Х2) и Оз2 (Xi, Х2) должны удовлетворять уравнению равновесия (8.3) и условиям совместности Бельтрами. При принятых значениях (8.1) для других компонент тензора напряжений первые четыре уравнения (4.55) удовлетворяются тождественно, а остальные два приводятся к виду [c.203]

Если пренебречь объемными силами, то дифференциальные уравнения равновесия (4.1) при подстановке в них напряжений (в) обращаются в тождества. Точно так же тождественно удовлетворяются уравнения сплошности в напряжениях (4.12), так как в них входят вторые производные от напряжений по координатам, а в этой задаче напряжения являются линейными функциями или постоянны. Выполняются условия сплошности и на границе между упругой и пластической зонами, так как при х = получаем аг" = о" ". [c.273]

Решение плоской задачи в перемещениях сводится к отысканию таких функций перемещений и г, 0), у(г, 0), которые бы удовлетворяли уравнениям равновесия (5.10), (5.11) и условиям на границах тела. При решении задачи в перемещениях условия совместности деформаций удовлетворяются тождественно. [c.93]

Отметим, что так ке, как и в случае плоской задачи, при использовании функции напряжений ф уравнения равновесия усилий, действующих в срединной плоскости (6.13), удовлетворяются тождественно. [c.128]

Если задача о напряженном и деформированном состоянии пологой оболочки решается в перемещениях, то необходимо отыскать такие функции перемещений и, и, ш, которые бы удовлетворяли уравнениям равновесия (9.62)—(9.64) и заданным граничным условиям, В этом случае не приходится заботиться об удовлетворении уравнений совместности деформаций — они будут удовлетворяться тождественно. [c.257]

Второй этап. Коль скоро функции а ,. .., Хгх представляют собой алгебраические функции степени не выше первой, условия совместности деформаций тождественно выполняются и задача, таким образом, является простейшей. Остается проверить, удовлетворяют ли функции (9.48) уравнениям равновесия. [c.638]

Выражение (5.43) тождественно равно нулю контурный интеграл в правой части этого выражения равен нулю в силу граничных условий, которым подчинена функция усилий фд. Интеграл по площади обращается в нуль, поскольку статически возможные начальные усилия Т%, S, Т1 удовлетворяют уравнениям равновесия (5.37). [c.197]

Дифференциальные уравнения равновесия (7.67) будут тождественно удовлетворены, если ввести функцию напряжений q>(r, 0) [c.151]

Таким образом, задача Ламе сводится к определению двух неизвестных нормальных напряжений и о<, являющихся функциями радиальной координаты г. Для решения этой задачи нужно прежде всего выяснить, что могут дать уравнения равновесия элемента. К сожалению, в данном случае содержательным оказывается только уравнение равновесия в проекциях на направление радиуса. Второе уравнение — в проекциях на касательную — здесь тождественно удовлетворяется. [c.107]

Очевидно, что уравнение равновесия (10.36) удовлетворяется тождественно. После подстановки соотношений (10.38) в условие текучести (10.37) получим нелинейное уравнение относительно функции Р [c.317]

Функции (9.53) тождественно удовлетворяют первым двум дифференциальным уравнениям равновесия (2.30), а третье уравнение принимает вид [c.237]

Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями щ. При заданных непрерывных функциях щ = = Ui Xk) дифференциальные зависимости Сен—Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используются. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке на основании формулы закона Гука (4.4) определяются компоненты тензора напряжений atj (Хи), соответствующие принятым функциям и, (лгй), а из уравнений равновесия (4.3) и граничных условий (4.6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения. [c.72]

Основной тензор (Та) строится в форме общего решения (1.3.56), при этом уравнения равновесия фиктивного тела тождественно удовлетворяются. Функции кинетических напряжений Па (а = 1, 2, 3, 0) основного тензора определяются при нагрузке граничными условиями в напряжениях (1.3.24) и условиями (1.3.48) при разгрузке. Внешние поверхностные силы, действующие на фиктивное тело, задаются матрицей нагрузок д = (( ар))), элементы которой [c.44]

Обратимся теперь к уравнениям равновесия (1.10) гл. II. Первые два уравнения при таком представлении удовлетворяются тождественно, а последнее сводится к уравнению Лапласа для функции (р х,у) [c.266]

Если ввести функцию Ф согласно формуле (19.10), то уравнения равновесия тождественно удовлетворяются, а условие совместности [c.443]

Условия совместности содержат только вторые производные от компонент напряжения. Следовательно, если внешние силы таковы, что уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) могут удовлетворяться, когда компоненты напряжения принимаются или постоянными, или линейными функциями координат, то уравнения совместности в таком случае удовлетворяются тождественно и такая система напряжений представляет собой корректное решение задачи. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в главе 9. [c.249]

При исследовании уравнений равновесия (123) и граничных условий (124) было установлено, что корректное решение задачи должно удовлетворять не только уравнениям (123) и (124), но и условиям совместности ( 85). Эти последние условия при отсутствии объемных сил или при их постоянстве содержат лишь вторые производные от компонент напряжения. Таким образом, если уравнения (123) и граничные условия (124) можно удовлетворить, принимая компоненты напряжения постоянными или линейными функциями координат, то условия совместности удовлетворяются тождественно и эти напряжения представляют корректное решение задачи. [c.288]

Следовательно, если использовать функцию напряжений, то для решения плоской задачи в полярных координатах необходимо подобрать такое выражение функции ср, которое бы удовлетворяло уравнению (5.17) и граничным условиям. При этом уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.95]

Хорошо известно, что при отсутствии массовых сил уравнения равновесия тождественно удовлетворяются, если напряжения выразить через функцию напряжений Эри V х , Х2) следующим образом [c.50]

Третье уравнение равновесия удовлетворяется тождественно, если функции (13.71) принимаются такими [c.339]

Таким образом, силы и моменты, выраженные по формулам (5.64) через три функции усилий, тождественно. удовлетворяют однородным уравнениям равновесия. [c.257]

Первые два уравнения системы (9.2.7) совпадают с уравнениями равновесия плоской задачи теории упругости, и если ввести функцию напряжений Щх, у), то они тождественно удовлетворяются. [c.121]

Покажем, что в теории оболочек, так же как и в теории упругости, можно построить функции напряжений, т. е., что десять усилий и моментов теории оболочек Т , S i, Si , Т , Gy, Я х, Я12, Ga, N2 можно выразить через некоторые произвольные функции и их производные так, что однородные уравнения равновесия будут тождественно (при любом выборе этих функций) удовлетворяться [38, 77]. [c.44]

Оставшиеся неизвестные т, G , G , Н и la, Л 1, Л 2. -можно выразить через другую произвольную функцию т так, что будут тождественно удовлетворяться первое уравнение неразрывности, последние четыре уравнения состояния, третье, четвертое и пятое уравнения равновесия. Соответствующие формулы аналогичны (11.29.8) и имеют вид [c.160]

Тогда все соотношения (24.11.17)—(24.11.19) будут удовлетворяться тождественно, кроме третьего уравнения равновесия, которое даст для определения функции Ф разрешающее уравнение [c.369]

Эти уравнения вместе с дифференциальными уравнениями равновесия образуют систему шести уравнений с шестью неизвестными функциями v , v , Оу, 0 , (напомним, что компоненты напряжения по формулам (55.5) тождественно удовлетворяют условию текучести). Как показывает анализ [ ], эта система — эллиптического типа (кроме осесимметричного случая плоской деформации. [c.235]

Одновременно и независимо друг от друга А. И. Лурье [78] и А. Л. Гольденвейзер [35] показали, что при отсутствии поверхностной нагрузки (pi = Pt — Рп — 0). т. е. при нагружении оболочки только по краям, все десять усилий и моментов можно выразить через четыре произвольные функции координат о , ос, так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.40]

Как известно (см. 1.2), дифференциальные уравнения равновесия будут тождественно удовлетворяться, если напряжения связаны с некоторой функцией ф (функцией напряжений) соотношениями (1.27). [c.146]

Если ввести в рассмотрение функции напряжений ( 4, гл. 3), то уравнения равновесия (1.2) будут тождественно удовлетворены, а четыре искомые функции напряжений определятся из четырех условий совместности (1.4.6). [c.42]

Если ввести в рассмотрение функции напряжений (см. параграф 3 гл. И) то уравнения равновесия (И 1.34) будут тождественно удовлетворены, а четыре искомые функции напряжений будут определяться из четырех условий совместности (1.35). [c.47]

Тогда уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, если ввести симметричный тензор функций напряжений ф по правилу [c.111]

Тогда, как нетрудно убедиться, уравнения равновесия (2.12) при условии (2.21) удовлетворяются тождественно, а основные величины, связанные с тензором напряжения, можно выразить через функцию напряжений (при отсутствии массовых сил) [c.124]

В дальнейшем будем опускать черту как обозначение усредненных величин. Тогда, очевидно, можно ввести функцию напряжения Ф по формуле (2.23). Уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнение совместности (2.19) примет вид [c.129]

При этом уравнения равновесия в (3.19) удовлетворяются тождественно, а для функции ф на основе (3-16) и (4.1) имеем [c.205]

Простая подстановка показывает уравнения равновесия V о = = О удовлетворяются тождественно для, любых комплексных потенциалов, если они являются голоморфными функциями. Следовательно, в двумерной постановке, решения задачи об определении поля напряжений или перемещений сводится к выбору функции из класса голоморфных, удовлетворяющей граничным условиям поставленной задачи. . [c.126]

Работу можно в дальнейшем еще более упростить, используя в выражениях (3.16а) для мембранных напряжений функцию Эри ф. Она тождественно удовлетворяет уравнениям равновесия в направлении осей X ш у, аналогичным уравнениям двумерной теории упругости, и поэтому не учитывающем влияние начальной кривизны и конечных перемещений на условия равновесия в направлении осей X ш у. Приравнивая мембранные (не зависящие от координаты z) напряжения (6.15) мембранным деформациям, выраженным через функцию ф с помохцью закона Гука, из [c.410]

Значительный вклад в теорию оболочек внес А. Л. Гольденвейзер. Им были введены уравнения неразрывности деформаций [34], которые являются аналогом известных уравнений Сен-Венана в общей теории упругости. Тем самым открылась возможность решения задач теории оболочек непосредственно в усилиях и моментах, не прибегая к предварительному определению смещений. При этом обнаружилось примечательное подобие вновь выведенных уравнений неразрывности и более полувека используемых уравнений равновесия оболочки, получившее название статико-геометрической аналогии. Указанная аналогия позволяет тождественно удовлетворить уравнениям равновесия путем введения четырех функций напряжения (что было подмечено почти одновременно А. Л. Гольденвейзером [35] и А. И. Лурье [78]). [c.8]

В частности, остановимся на подходе, предложенном еще Сен-Венаном [126, 143], Вводя функцию напряжений Р (х, у), позволяющую тождественно удовлетворить уравнениям равновесия, из условия текучести ]Иизеса или Треска — Сен-Венана получаем дифференциальное неравенство [c.117]

Ст 2 = -3 Р / дх дх2. (4.4.23) Уравнения равновесия при использовании соотношений (4.4.23) удовлетворяются тождественно. Из одного (для обобщенного плоского напрд-женно-деформированного состояния) условия совместности деформаций следует бигармони-ческое уравнение для функции напряжений [c.215]

Полные (не упрощенные за счет отбрасывания Л ,, N ) однородные уравнения равновесия будут тождественно удовлетворяться в силу формул (7.4.5), каковы бы нн были достаточное число раз дифференцируемые функции ij) . ijJj, Х- Свяжем их равенствами [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...