Частные производные , по переменным

При приближенных расчетах достаточно ограничиться метрикой Приравняв нулю частные производные (6) по переменным А, В ш С при р = 2, получим [c.55]

Аналогичные формулы получаются для частных производных векторов по переменной р. [c.226]

Согласно формуле (5.01 Ь),сила в любом сечении стержня определяется частной производной перемещения по переменной л. Даламбер показал, что уравнение (5.01с) имеет решение [c.225]

Отметим, что частные производные И по переменным р, Т и I могут быть легко получены из формул (2.25) [c.34]

Хотя процесс распределения тепла в любой точке тела в каждый момент времени удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности (IV. 17), связывающему частные производные температуры по переменным координатам, для расчетов распространения тепла в различных случаях необходимо знать краевые условия начальное распределение температуры в теле и условия теплообмена на границах тела. [c.143]

Найдем отсюда выражение частной производной потенциала по переменному х имеем [c.133]

Частные производные 1па по натуральным логарифмам соответствующих переменных заменим величинами 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 . Эти величины в общем случае переменные, но при интегрировании уравнения (а) их можно вынести за знак интеграла в виде средних величин. [c.107]

Операторы, задаваемые системами уравнений в частных производных. Операторы такого вида встречаются во всех сложных технологических системах, математические модели которых включают дифференциальные уравнения в частных производных. Внутренние параметры таких объектов изменяются не только во времени, но и распределены по пространственным координатам. В общем случае каждый внутренний параметр 2 зависит от трех пространственных координат z = z(Xi, Х2, Хз, t) и дифференциальные уравнения математической модели содержат частные производные по каждой пространственной переменной. Такие математические модели, однако, сложны для исследования и редко применяются для описания химико-технологических объектов. Значительная часть моделей основных процессов химической технологии представляет собой системы дифференциальных уравнений, содержащих частную производную только по одной пространственной переменной. Соответственно, и все внутренние параметры объекта меняются только по одной пространственной координате. При этом координатная ось совпадает, как правило, с осью аппарата, а в каждом сечении, перпендикулярном этой оси, параметры процесса не зависят от пространственных координат. Значения внутреннего параметра z(x,t) в точках, соответствующих входу и выходу, представляют собой входные и выходные параметры системы, например г х, 2 (х, t) lx=i вых (0> где I — [c.45]

Согласно этому принципу при выполнении операции дифференцирования кинетической энергии принимается, что система мгновенно затвердела в момент времени t, и начиная с этого момента прекращается процесс изменения массы. При этом предположении нахождение полных и частных производных производится по обычным правилам дифференцирования, считая массы постоянными. Чтобы отличить дифференцирование затвердевшей системы от дифференцирования переменных масс, вводятся символы [c.302]

Мы заменяем первоначальный интеграл суммой (2.7.13) и ищем стационарное значение этой суммы. Это уже задача обычного типа задана функция S п переменных yi,. .., г/ (вместо фигурировавших раньше переменных Ui,. .., u ). Мы знаем, что задача решается приравниванием нулю частных производных S по у . В заключение придется лишь исследовать переход /S.x 0. [c.75]

При образовании частной производной S по одной из переменных, например, ум+[, следует иметь в виду, что yk+ появляется в сумме S в двух соседних членах при j = k и / = /г + 1. Это видно из определения в (2.7.12). Частная производная S по будет поэтому иметь вид [c.75]

Обозначим через частные производные и по отношению их и у, найденные и предположении, что z — функция этих переменных. Ясно, что тогда [c.141]

В пункте 60 мы допустили, что силы X, У, 2 могут быть выражены с помощью частных производных по и , у, ъ одной и той же функции 2. Это допущение упрощает расчет, но оно не является соверщенно необходимым для его правильности, так как дифференциальные уравнения всегда независимы от природы ускоряющих сил движущегося тела вопрос сводится лишь к тому, чтобы знать, что следует подставить вместо частных производных 2 по произвольным постоянным а, Ь, с,. .. Но эти постоянные входят в функцию 2 лишь потому, что они входят в выражения переменных х, у, г, функцией которых является 2 таким образом, мы имеем дх да дх да [c.96]

У — частная производная Z по у, у — произвольная физическая переменная, [c.20]

Соотношение Максвелла (19-7,в) дает частную производную энтропии по одной из независимых переменных ib функции частной производной объема 1П0 другой переменной [c.200]

Символ или или или обозначает. частную производную этой функции по переменной х . Частная производная вычисляется по обычным законам дифференцирования в предположении, что все Xi(i ф к) постоянны. Символ [c.20]

В этих равенствах мы вернулись к первоначальным переменным i, а , учли (П. 10.9) и искусственно записали уравнение первого приближения в виде цепочки двух уравнений. Последнее сделано, чтобы подчеркнуть, что в уравнении первого приближения существуют решения, в которых частные производные отФ по а , или, что то же, по 1 , обращаются в тождественные нули, начиная с некоторого порядка. Это — решения, соответствующие тривиальным интегралам У = О первого уравнение (П. 10.10). Их, как уже говорилось, следует отбрасывать, как не обладающие нужными свойствами. [c.486]

Читатель может самостоятельно убедиться в том, что, например, из равенства (18.11) можно получить выражения для трех остальных первичных характеристик р, U и S через независимые переменные V и Т. Таким образом, видно, что в этом уравнении также содержится вся информация, необходимая для расчета всех термодинамических характеристик, как и в случае уравнения (18.10). То же относится и к уравнениям (18.12) и (18.13). В работе [17] можно найти таблицу, в которой имеются выражения для многих термодинамических характеристик через частные производные, вычисляемые по одному из четырех выписанных характеристических уравнений состояния. [c.317]

В приложении Ж к настоящей главе имеются некоторые полезные теоремы о якобианах. Это позволяет продемонстрировать их применение при выводе выражений для различных термодинамических характеристик через частные производные, вычисленные по соответствующему характеристическому уравнению состояния. Наконец, после вывода нужных термодинамических соотношений в приложении Ж описывается способ построения характеристического уравнения при известном уравнении состояния в переменных р — V — Т с использованием других данных. [c.332]

Если F является функцией двух переменных х и Хг, то подобным образом можно оценить частные производные f по и х > Уравнение Лапласа имеет вид [c.77]

Но частная производная функции по первому переменному есть производная функции положения по углу поворота звена Л при постоянном значении второй переменной величины — fg, т. е. при неподвижном звене В [c.14]

Функция экспоненциальная. ... Частные производные функции / нескольких переменных х, у, z. . . по соответствующим переменным [c.278]

Это обстоятельство определило метод решения, общий почти для всех работ. Система уравнений в частных производных преобразованием по Лапласу приводится к системе обыкновенных уравнений. В последней переменная преобразования s заменяется на со и для ряда существенных значений со находятся отдельные точки частотной характеристики. Переменные коэффициенты исходных уравнений предварительно вводятся в память машины в численном виде. [c.132]

Заметим, что (3.18) применимо и к методу наискорейшего спуска, если Hft — единичная матрица. Если принять Н/г=Я , где Я — обратная матрица вторых частных производных F ) по X, называемая матрицей Гессе, то имеем метод Ньютона, относящийся к методам второго порядка. Методы второго порядка в САПР практически не применяются из-за трудностей расчета матрицы Гессе. Поэтому вместо Я используется ее приближение, рассчитываемое в методе переменной метрики без использования вторых производных F(X) по X. [c.74]

Частные производные давления по i и по д выразятся через производные по новым переменным следующим образом [c.50]

Частные производные функции ряда переменных Z(Xi, Х2,..., Хд) вычисляются по приведенным выше формулам, если задавать приращение одной из переменных и оставлять неизменными (равными заданным значениям) остальные переменные. [c.83]

Термодинамическое давление можно определить прп помоши энергетического уравнения состояния как частную производную внутренней энергии по удельному объему, взятую с обратным знаком. Частное дифференцирование энергии предполагает, что все остальные независимые переменные, среди которых находятся и кинематические переменные, описывающие деформацию, остаются постоянными. Это вносит некоторую внутренне при- [c.46]

Частная производная от давления р использована потому, что давление, так же как и скорость v, является функцией двух переменных — I и t, а уравнение движения записано для определенного момента времени. В правой же части уравнения записана полная производная от v по t, т. е. полное ускорение, которое равно [c.136]

Выразить полный дифференциал термодинамической величины ф в функции ее частных производных по двум произвольно выбранным независимым переменным л и у, используя математическое уравнение [c.150]

Но если переменные о, зависимые, например существует связь ш=и(1 ) (ср. (5.9)), то частные производные dS/dV)u,a и dS/du))u,v оказываются лишенными физического смысла, поскольку для их вычисления необходАо выполнять противоречивые требования изменять со, сохраняя V, и наоборот. Такое противоречие устраняется исключением из (6.29) зависимых переменных с помощью связывающих их уравнений. Выражения частных производных энтропии по рабочим координатам через обобщенные силы при этом, конечно, изменяются (ср. [c.55]

Второе уравнение можно разрешить относительно k", выразив последнее через частные производные функции / по определению частные производные dfjdk и т. д. равны производным от упругой функции /, в которых соответствующие упругие модули заменены переменными k, Е и т. д. [c.180]

Подставив эти значения со,- в аргументы (8.4.19) членов разложения в кратный ряд Фурье, получим, что все движение аналитически представляется в виде суперпозиции простых гармонических колебаний с основными частоталш V,-. Таким образом, частоты движения получаются из полной энергии, выраженной через переменные действия. Частные производные Е по У,- дают непосредственно частоты системы. [c.287]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

Если это выражение подставить в уравнение (1) и принять во внимание, что отличается от на величины, не зависящие от у. и г , так что при дифференциревании по или равны между собою не только производные от W и TV"i, но также и производные от iFj и W , то уравнение (1) перейдет в уравнение в частных производных для зависимой переменной W . Это дифференциальное уравнение не содержит больше Зп независимых переменных х 2/р 0j, НО только Зи—1 действительно, и переменных. т заменены через п — 1 переменных I, а ваовь введенная величина л должна рассматриваться как постоянная в виду того, что производная от по этой величине отсутствует. Проинтегрировав уравнение в частных производных для Fj и определив TFj из при помощи уравнения (6), вводим, как уже заме- [c.158]

В разд. 18.6 мы установили необходимость какого-то систематического метода работы с заменой переменных, используемой при выводе более сложных выражений для термодинамических характеристик через частные производные, вычисленные по характеристическому уравнению состояния. Такое уравнение определяет трехмерную поверхность, которую можно назвать характеристической поверхностью. В принципе любую заранее выбранную термодинамическую характеристику простой системы можно представить как функцию двух других термодинамических характеристик, что даст еще одну трехмерную поверхность. Однако, как мы видели, все термодинамические характеристики взаимосвязаны, так что между площадью некоторого элементарного участка характеристической поверхности и площадью аналогичного участка другой возможной поверхности должна существовать какая-то связь. Как будет выяснено в дальнейшем, эта связь устанавливается соответствующей теоремой о якобианах, что и обусловливает целесообразность их использования. Некоторые дополнительные простые теоремы облегчат нащу задачу. [c.333]

Мы можем продиффер рнцировать условия равновесия [уравнения (5.20)] по времени сложить результат дифференцирования с уравнениями (5.20) и подставить в полученные суммы предыдущие уравнения (5.102). Тогда мы получим для составляющих перемещений и и V два дифференциальных уравнения в частных производных от независимых переменных х, у, /, описывающих задачу о вязко-упругой деформации несжимаемого материала. [c.255]

Частная производная функция нескольких переменных г= (х, у, г) по од-вой ив них, например, по х, обозначается символом дг дх г дЦдх [c.189]

Правые части этих уравнений являются частными производными квадратичной функции переменных X, У, Z, которую обозначим через Е. Отсюда следует, что для всех ударных импульсов, приложенных в одной и той же точке Р одного и того же тела, результирующее изменение скорости точки Р перпендикулярно к диаметральной плоскости направления удара по отношению к некоторому эллипсоиду с центром в точке Р, уравнение которого есть Е = onst. [c.275]

Если за независимые переменные принять коэффициенты Kj, то объем будет представлять собой непрерывную функщ1ю от этих коэф-фищ1ентов. Условием минимального объема является равенство нулю частных производны с от функции объема по независимым переменным, а именно [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...