Бесконечно малые повороты

Согласно теореме II любое элементарное перемещение фигуры можно осуществить одним только поворотом на бесконечно малый угол вокруг некоторого определенного центра, называемого мгновенным центром вращения. Отсюда вытекает, что всякое непоступательное движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных центров вращения. При этом положение мгновенного центра вращения непрерывно изменяется как в неподвижной плоскости, так и в плоскости, связанной с движущейся фигурой. [c.104]

Полученные результаты позволяют представить картину движения свободного твердого тела как непрерывную последовательность элементарных перемещений одним из следующих двух способов. Из первой формулировки теоремы Шаля вытекает, что движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. В свою очередь движение вокруг неподвижной точки представляет собой непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. [c.154]

Полученный результат составляет содержание теоремы Даламбера движение тела, обладающего неподвижной точкой, в каждый данный момент осуществляется бесконечно малым поворотом относительно мгновенной оси вращения. [c.27]

Если считать, что s vdt и = —бесконечно малые перемещения точек твердого тела и бесконечно малый поворот его, то формулу (23.66) можно преобразовать [c.30]

Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси 00, совершило за время бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором d((), модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью 00, причем [c.17]

Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота dф. Другими словами, только бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы . [c.18]

Отсюда сразу видно, что перемещение Дг нельзя представить как векторное произведение векторов Л 9 и г. Это возможно лишь в случае бесконечно малого поворота с1ф, в пределах которого радиус-вектор г можно считать неизменным, [c.18]

Запись в виде векторного произведения особенно удобна для выражения угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Мы видели, что повороты на конечный угол не являются векторами, потому что два таких поворота не подчиняются закону сложения векторов. Но угловая скорость, по определению, представляет собой предел отношения бесконечно малого угла поворота к бесконечно малому интервалу времени, за который происходит этот поворот. Порядок, в котором совершаются два бесконечно малых поворота, не влияет на окончательное положение предмета, если исключить слагаемые такого же порядка малости, как квадрат величины бесконечно малых поворотов, а эти слагаемые исчезают при соответствующем переходе к пределу. В одной из последующих глав мы докажем это и рассмотрим элементарную динамику вращающихся тел. [c.62]

В гл. 2 мы видели, что повороты на конечный угол не являются векторами, потому что при сложении двух таких поворотов не сохраняются свойства сложения векторов. Эта трудность не возникает при переходе к пределу для бесконечно малых поворотов, так как порядок, в котором производятся два бесконечно малых поворота, не влияет на конечное положение предмета (за исключением слагаемых одного порядка малости с квадратом величины бесконечно малых поворотов, а эти слагаемые в пределе исчезают). Если повернуть тело на бесконечно малый угол Дф1 вокруг оси е, и на бесконечно малый угол Дф2 вокруг оси то при достаточно малых Дф и Афа последовательность, в которой совершаются эти повороты, не влияет на результат (мы предполагаем, что обе оси проходят через общую точку). Существует один поворот вокруг оси ез на угол Дфз, который в пределе для бесконечно малых Дф равносилен сумме поворотов I и 2. Этот поворот определяется следующим векторным уравнением (рис. 3.34) [c.110]

Если эти бесконечно малые повороты совершаются за бесконечно малое время At, то мы можем дать следующее определение вектору угловой скорости [c.110]

Чтобы указать направление вектора М М[, введем в рассмотрение вектор-радиус г точки М относительно полюса и вектор бесконечно малого поворота 0, определив последний следующим образом 1) величина вектора поворота равна величине угла поворота, 2) вектор 0 перпендикулярен к плоскости перемещения, причем направлен в ту сторону, откуда поворот фигуры виден происходящим в положительном направлении. [c.235]

Мгновенная ось была выше определена как ось бесконечно малого поворота тела. Мгновенную ось можно также определить как геометрическое место точек тела, имеющих в данный момент нулевую скорость. Если обозначить вектор-радиус какой-нибудь точки М мгновенной оси через г, то из условия равенства нулю скорости этой точки получим [c.274]

При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки вектор 0 бесконечно малого поворота определяется, как следует из 61, следующей формулой [c.203]

Обозначая через бф угол бесконечно малого поворота балки вокруг опоры 0 и замечая, что возможные перемещения будут равны (/ — расстояние между опорами, 1 и /2 — соответственно расстояния от опоры 0 до точек приложения сил Р и Р2) [c.326]

Приращение l/(R, Оп) при бесконечно малом повороте твердого тела А / = ЭП/(ЗГа ДГа. Поскольку [c.204]

При переходе от одного момента времени к другому мгновенный центр скоростей меняет свое положение на плоской фигуре. Движение плоской фигуры в своей плоскости представляет собой бесконечную последовательность бесконечно малых поворотов фигуры вокруг своих мгновенных центров скоростей. [c.91]

НИИ а ОТ этой оси нормально к плоскости АгВ, а сопротивление Я действует вдоль самой оси. При бесконечно малом повороте 58 — единственном перемещении, допускаемом связями, проекция на Р дуги винтовой линии, описываемой точкой А, есть дуга круга радиуса а с центральным углом 50 [c.223]

Бесконечно малые повороты. Целесообразно попытаться установить соответствие между векторами и конечными поворотами, описываемыми ортогональными матрицами. Вектор, который мы поставим в соответствие некоторому повороту, должен, конечно, иметь определенное направление —направление оси вращения и определенную величину, например равную углу поворота. Мы сейчас увидим, что успешно осуществить такое соответствие оказывается невозможным. Предположим, что А и В будут двумя такими векторами , связанными с преобразованиями А и В. Тогда, поскольку это векторы, они должны обладать свойством коммутативности при сложении, т. е. для них должно выполняться равенство [c.142]

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОВОРОТЫ [c.143]

Хотя конечное вращение нельзя представить некоторым вектором, однако это препятствие отпадает, если рассматривать лишь бесконечно малые вращения. Бесконечно малый поворот [c.143]

Рис. 47. Бесконечно малый поворот

S 4.71 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОВОРОТЫ U9 [c.149]

Когда в начале этого параграфа ставился вопрос о связи вектора с поворотом, считалось очевидным, что направление этого вектора должно совпадать с направлением оси вращения, а его величиной должен быть угол поворота. При этом было установлено, что в случае конечных поворотов такой вектор построить нельзя, но в случае бесконечно малых поворотов эта трудность отпадает, так как, описывая эти повороты с помощью матриц, мы приходим к векторам dQ, определяющим эти повороты. Теперь мы можем показать, что величина вектора dQ и его направление совпадают с теми, которые мы предполагали вначале, когда говорили о векторах конечных вращений. [c.150]

Скорость изменения вектора. Понятие бесконечно малого поворота дает мощный инструмент для описания движения твердого тела. Рассмотрим какой-нибудь вектор G, например радиус-вектор материальной точки или вектор кинетического момента. В процессе движения такой вектор обычно изменяется и изменение его часто зависит от координатной системы, в ког торой производится наблюдение этого вектора. Возьмем, например, систему координат, связанную с твердым телом, и рассмотрим вектор, идущий из начала координат этой системы в некоторую точку тела. Ясно, что в системе координат, связанной с этим телом, такой вектор будет постоянным. Однако наблюдатель, связанный с неподвижной системой координат, будет считать, что составляющие этого вектора изменяются в процессе движения тела. [c.151]

Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с w, следует рассматривать как совокупность трех последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями (Оф = ф, со0 = 0, = Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трех отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы <0ф, <ое, расположены несимметрично вектор Шф направлен вдоль неподвижной оси 2, вектор (00—вдоль линии узлов, а — вдоль подвижной оси г, связанной с телом. Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В, С, D (см. 4.4). [c.153]

Бесконечно малые канонические преобразования. Константы движения и свойства симметрии. В связи с дальнейшим рассмотрением скобок Пуассона мы введем понятие бесконечно малых канонических преобразований. Как и в случае бесконечно малых поворотов, это будут такие преобразования, при которых переменные q, р изменяются на бесконечно малые величины. (Поэтому все расчеты мы будем производить лишь с точностью до членов первого порядка малости относительно этих величин.) Уравнения такого преобразования можно записать в виде [c.285]

Так как ось z может иметь произвольное направление, то мы приходим к выводу, что производящая функция, осуществляющая любой бесконечно малый поворот, имеет вид [c.290]

Скобки Пуассона и кинетический момент. Отождествление кинетического момента с производящей функцией вращения приводит к ряду интересных и важных соотношений, содержащих скобки Пуассона. Согласно равенству (8.66) изменение векторной функции F (q, р) при бесконечно малом повороте системы равно [c.290]

Рассмотрим, например, бесконечно малый поворот вокруг оси г. В этом случае старые и новые составляющие вектора F будут связаны друг с другом соотношениями [c.291]

Поэтому изменение F при бесконечно малом повороте вокруг произвольной оси будет равно [c.292]

Q угол, характеризующий направление в задаче о рассеянии, й угловая скорость прецессии, dQ вектор бесконечно малого поворота, и угловая скорость, [c.411]

Аолюс. Если рассматривать только бесконечно малые перемещения тела, соответствующие переходу тела из данного положения в бесконечно близкое, то с точностью до бесконечно малых высших порядков можно представить вращательное перемещение как векторное произведение вектора бесконечно малого поворота 0 = tdd< на вектор-радиус г рассматриваемой точки по отношению к полюсу. [c.284]

Деля обе части равенства (45) на Ш, перейдем от бесконечно малых перемещений р к векторам скорости V, от вектора бесконечно малого поворота 0 — к вектору угловой скорости ш вращения затвердевщего элемента, а от тензора деформации 5 —к тензору скоростей деформаций отличающемуся от 3 точкой, стоящей сверху и обозначающей производную по времени t. При этом справедливо равенство [c.341]

Рассмотрим случай, когда центр вращения расположен в самом теле. Для упрощения будем считать, что твердое тело закреплено в центре вращения, т. е. оно не может соверщать поступательное движение, так как скорость одной его точки всегда равна нулю . В каждый данный момент времени вращение такого тела можно рассматривать как бесконечно малый поворот вокруг оси, называемой мгновенной осью вращения, так как в каждый бесконечно малый промежуток времени все точки, лежащие на некоторой прямой — мгновенной оси, можно считать неподвижными. Мгновенная ось изменяет свое положение и в,теле, и в пространстве, но всегда проходит через неподвижную точку тела — центр вращения. [c.71]

В качестве примера таких веществ можно назвать древесину, пьезоэлектрические керамики и др. Сим-метрийные свойства таких сред описывают с помощью предельных (непрерывных) точечных групп симметрии, которые содержат операции бесконечно малых поворотов, т, е. оси симметрии бесконечного порядка (оо). Таких групп семь < , оотт, оо22, < /т, oo/mmm, оо/оо, oo/oomm. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...