ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бесконечно малые повороты из "Классическая механика " Уравнение (4.87) показывает, что матрица бесконечно малого преобразования имеет вид 1 е, т. е. описывает почти тождественное преобразование, отличающееся от него лишь бесконечно малым оператором. [c.144] что величины dQi, (IQ2, dQs можно рассматривать как три независимых параметра, определяющих рассматриваемое вращение. Покажем теперь, что эти три величины являются составляющими некоторого вектора. [c.146] Но величины dQi были введены нами как элементы антисимметричной матрицы, и совсем не очевидно, что элементы этой матрицы будут преобразовываться согласно уравнениям (4.95). Как мы увидим позже, формальный вывод уравнений преобразования для составляющих dQi оказывается довольно сложным. [c.146] Однако имеется несколько простых соображений, показывающих, что dQ в основном выдерживает эти испытания на вектор , хотя в одном отношении он здесь терпит неудачу. [c.147] Посмотрим, однако, как ведут себя уравнения (4.93) при инверсии S (см. 4.6). Составляющие векторов г и dr, очевидно, изменяют при этом свой знак, и если вектор dQ действительно является вектором, то то же самое должно произойти и с его составляющими Но уравнения (4.93) сохраняют свою форму во всех координатных системах, что может иметь место лишь в том случае, когда составляющие вектора dQ не меняют своего знака. Таким образом, dQ обладает всеми свойствами вектора, за исключением свойств, связанных с его поведением при несобственном вращении. [c.147] Наконец, так как величины Ьц являются элементами произвольной ортогональной матрицы, то тождество (4.97) можно считать установленным. Учитывая это, мы получаем следующие уравнения преобразования для dQi. [c.149] Когда в начале этого параграфа ставился вопрос о связи вектора с поворотом, считалось очевидным, что направление этого вектора должно совпадать с направлением оси вращения, а его величиной должен быть угол поворота. При этом было установлено, что в случае конечных поворотов такой вектор построить нельзя, но в случае бесконечно малых поворотов эта трудность отпадает, так как, описывая эти повороты с помощью матриц, мы приходим к векторам dQ, определяющим эти повороты. Теперь мы можем показать, что величина вектора dQ и его направление совпадают с теми, которые мы предполагали вначале, когда говорили о векторах конечных вращений. [c.150] Вернуться к основной статье