ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гармонические функции. Методы потенциала из "Методы математической теории упругости " Выше (в 4) для решения краевых задач предлагалось использовать то или иное интегральное представление, тождественно удовлетворяющее дифференциальному уравнению при произвольной функции, входящей в представление. Эта функция находилась из интегрального уравнения, соответствующего поставленной краевой задаче. При этом ядра интегральных представлений выбирались таким образом, чтобы получаемые интегральные уравнения (первого рода) решались посредством тех или иных частных приемов. [c.88] Потенциал (6.2) называется потенциалом простого слоя, я функция ф( /)— его плотностью. [c.89] Здесь a — поверхность сферы единичного радиуса с центром в точке р, а р — точки, расположенные на этой поверхности. [c.90] Для изучения гармонических функций используются три специальных класса функций так называемые потенциалы простого слоя (о котором уже говорилось), двойного слоя и объемный потенциал. [c.92] Здесь д/дп — производная по направлению внешней нормали в точке я, которое и считается положительным. [c.92] В этих представлениях функцию ф(р) принято называть плотностью. [c.92] Допустим, что функция /( J, г) С т. е. имеет А-ю производную, принадлежащую классу Г. — Л. с показателем а. Тогда пищут, что поверхность принадлежит классу Д (а). Принята следующая классификация. Поверхность класса Л ф) называют гладкой поверхностью, поверхность класса Л1(а) — поверхностью Ляпунова, а поверхность класса Лг(0) — поверхностью с непрерывной кривизной. [c.93] Интеграл Гаусса допускает наглядную геометрическую интерпретацию это есть телесный угол, под которым поверхность 5 (вообще говоря, не обязательно замкнутая) видится из точки р. [c.94] Перейдем к рассмотрению потенциала простого слоя (6.21). Выражение для этого потенциала имеет смысл и при подстановке в него точек, принадлежащих поверхности 5. При этом оказывается, что прямое значение и предельное (изнутри и извне) совпадают между собой. Таким образом, потенциал простого слоя представляет собой непрерывную во всем пространстве функцию. [c.94] Соотношение (6.32) весьма полезное оно сразу позволяет перейти от рассмотрения неоднородного уравнения Лапласа к однородному посредством частного решения неоднородного уравнения, определяемого объемным потенциалом. [c.96] Здесь функции v, V2, f и /2 не зависят от времени, to — заданное число, называемое частотой периодических колебаний и равное числу колебаний за 2л единиц времени. [c.96] Зафиксируем в какой-либо точке в тот или иной момент времени значение амплитуды и проследим за изменением со временем положения точки, в которой амплитуда будет иметь постоянное значение. Из первой формулы (6.40) следует, что такая точка удаляется в бесконечность. Само решение называется поэтому расходящейся сферической волной. Второе же решение приводит к сходящейся сферической волне. [c.97] Вернуться к основной статье