Сингулярно-возмущенные уравнения

ПРИМЕР. Линейное сингулярно-возмущенное уравнение [c.298]

СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ [c.331]

Решение линейного сингулярно-возмущенного уравнения на основе методов внешних и внутренних разложений, сращивания или метода многих масштабов существенно сложнее изложенного здесь подхода. [c.336]

Гамильтонов подход в теории сингулярно-возмущенных уравнений существенно упрощает вычисления. Более того, необходимость оставаться в группе движений кососимметричной метрики позволяет построить единый алгоритм общего решения [1, 126]. [c.463]

Линейные сингулярно-возмущенные уравнения. Рассмотрим задачу Коши и(0) = О, м(0) = V для уравнения [c.337]

Системы сингулярно-возмущенных уравнений встречаются в механике, релятивистской теории поля, в гидродинамике вязкой жидкости и магнитной гидродинамике. Трудности решения подобных систем явились причиной [c.337]

Представим решение сингулярно возмущенного уравнения (И.25) в блочном виде [c.92]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Звонкий А. К Шубин М. А., Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи мат. наук, 1984, 39, вып. 2, 77—127 [c.213]

Теория оболочек является асимптотической теорией, существенно опирающейся на малость относительной толщины Л. С этим обстоятельством связаны положенные в основу вывода двухмерных уравнений гипотезы Кирхгофа-Лява и их модификации [80] для случая больших деформаций оболочек из нелинейно-упругого материала. Система двухмерных уравнений теории оболочек является сингулярно возмущенной — она содержит малый параметр Л при старших производных. В результате асимптотического анализа этой системы (главным образом, в линейном приближении) получены решения многих задач статики (см. [13, 52] и др.), динамики [3, 5, 14, 30, 89] и устойчивости [16, 65, 67, 71]. [c.328]

Отметим, что при значениях г=а и а=Ь приходим к задаче о центральной трещине в круглом диске радиуса а. Путем исключения неизвестной функции на границе диска эта задача сведена [70, 95] к одному сингулярному интегральному уравнению, которое затем решалось численно прямым методом и методом возмущений [55]. В последнем случае определены коэффициенты интенсивности напряжений в виде ряда по степеням безразмерного параметра [c.111]

Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость vV u, в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости V относительно значения v = О есть сингулярное возмущение ). Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как гу" -f i/ = О, с краевыми условиями у(0)—а,у( )=Ь, мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли e-i- + О или е-4— 0. [c.61]

Современные исследования указанного выше сингулярного возмущения в большинстве исходят из идеи Прандтля о том, что завихренность имеет место лишь в тонком пограничном слое жидкости у любой твердой границы, в котором происходит резкий перепад касательных напряжений, и в следе (часто близкого к вихревому слою) позади тела. Вне этого пограничного слоя и следа течение является почти безвихревым, и к нему применимы уравнения Эйлера. [c.61]

Изложим теперь метод сингулярных возмущений. Исследуем уравнения (5.5) при X < 1 методом сращиваемых асимптотических разложений, ограничиваясь рассмотрением лишь главных членов асимптотических рядов. Для возможности построения этих членов достаточно, чтобы выполнялись условия (5.4). Будем также предполагать, что f ix) удовлетворяет условию Гельдера nd отрезке [—1,11. [c.366]

И последнем параграфе гл. III кратко изложены некоторые м иул1.таты из теории сингулярно возмущенных уравнений. Эти ( цул ти,ты берут начало в идеях Л. С. Понтрягина, и им свой-гтиопип весьма высокая степень законченности. Этим, в сущно-I 1И, и обусловлен наш выбор. [c.17]

Математически модель Брезертона является одним из примеров сингулярно-возмущенных задач (Найфэ, 1984). Если рассматривать ее как задачу Коши для уравнения (6.5), то такая задача допускает однопараметрическое семейство решений, параметр же определяется асимптотикой решения на бесконечное- [c.128]

Здесь не рассматривается случай так называемых сингулярных возмущений, когда дифференциальные уравнения содержат малый параметр ирн вронзводных [c.52]

Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Хотя его и можно использовать для оправдания закона Стокса, но нельзя непосредственно применить для получения поправки первого порядка к этому закону того же типа, что и в уравнении (2.6.5). Если обозначить решение уравнения Озеена через (vq, Ро), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмуш,ений типа Уайтхеда, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда — Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это — внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [c.63]

Тамада и Фудзикава [61], используя уравнения Озеена, исследовали двумерное обтекание бесконечной полосы параллельных цилиндров в общем случае, когда направление набегающега потока образует произвольный угол с осью полосы. Они пока- зали, что для течения, перпендикулярного к полосе, сопротивление каждого цилиндра стремится в пределе при числе Рейнольдса, стремящемся к нулю, к результату, полученному на основе уравнений Стокса. Для течения, параллельного полосе цилиндров (но перпендикулярного продольной оси каждого цилиндра в полосе), ограниченное решение уравнения Стокса не получается, как это и предполагалось из результатов Краковского и Чэрнеса. Таким образом, при любом косом обтекании плоской сетки равновеликих параллельных цилиндров не может существовать решение уравнения Стокса. Однако возможно получить удовлетворительную аппроксимацию, основываясь на решении уравнений Озеена или, более точно, используя методы сингулярных возмущений [c.67]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Оказывается, уравнения доопределенной таким образом системы можно привести к сингулярно возмущенному, тихоновскому, виду. Это позволяет воспользоваться эффективным формализмом теории сингулярных возмущений [10, 11 Рассмотрим систему дифференциальных уравнений [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...