ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сингулярно-возмущенные уравнения из "Задачи по теоретической механике Изд2 " Теория возмущений занимает центральное место среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Однако в задачах с малым параметром s при старшей производной сколь угодно малые изменения параметра приводят к конечным приращениям решения. При = О понижается порядок уравнения. Различие фазовых траекторий исходной и вырожденной систем существенно усложняет получение приближенных решений. Сингулярные уравнения встречаются в механике, релятивистской теории поля и, в основном, в теориях движения плазмы, жидкости и газа. [c.463] Трудности решения подобных систем явились причиной создания нескольких асимптотических методов [77, 78,126-128. Известные методы внешних и внутренних разложений, сращивания, многих масштабов и другие, представляют весьма громоздкую процедуру в ряде методов отыскивается лишь решение конкретной краевой задачи, отсутствует алгоритм построения высших приближений. [c.463] Гамильтонов подход в теории сингулярно-возмущенных уравнений существенно упрощает вычисления. Более того, необходимость оставаться в группе движений кососимметричной метрики позволяет построить единый алгоритм общего решения [1, 126]. [c.463] 1) = Н г, 1) — // (2 , 1). Теперь высшие приближения могут быть получены на основе канонической теории возмуш ении. [c.465] Решение краевой задачи гг(0) = а, гг(1) = приведенное в [78 получим при х = —Зр + а, у = 313/2. [c.466] Решение линейного сингулярно-возмуш енного уравнения на основе методов внешних и внутренних разложений, сраш ивания или метода многих масштабов суш ественно сложнее изложенного здесь подхода. [c.467] Рассмотрим вырожденную систему. В области —2/3 2/3 уравнение у = Г(х) определяет три действительных корня Хп у) гг = 1, 2, 3. При у —2/3 остается действительный корень Х1 у), а при у 2/3 — действительный корень жз( ). [c.469] Очевидно, [ж, р] = 1. Поскольку 1 при 2 3, то (2) описывает быстрое движение системы. [c.469] Подставляя в (2) функции жз( ), ж ( ), получим равномерно-пригодное решение уравнения Ван-дер-Поля. [c.470] Решения (6), (7) определяют xs t) в наиболее важных областях. Подставляя xs t) в (2), найдем равномерно-пригодное решение уравнения Ван-дер-Поля. Движение в области у 2/3, х Х2 у) можно рассмотреть аналогичным образом. [c.471] Вернуться к основной статье